關(guān)于直線和拋物線的位置關(guān)系第1頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月一、直線和拋物線的位置關(guān)系方程組兩組解相交方程組沒有解相離方程組一組解相切若消元得到一次方程，直線和拋物線的對(duì)稱軸平行或重合,為相交關(guān)系.若消元得到二次方程,則思考：只有一個(gè)交點(diǎn)一定是相切嗎？xOy第2頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對(duì)稱軸平行或重合相交（一個(gè)交點(diǎn)）

計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離第3頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

例1求過定點(diǎn)P（0，1）且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程.由{

得{故直線x=0與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).解:(1)若直線斜率不存在,則過點(diǎn)P的直線方程是x=0.由方程組{

消去y得(2)若直線斜率存在,設(shè)為k,則過P點(diǎn)的直線方程是當(dāng)k=0時(shí)，x=,y=1.故直線y=1與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn).y=kx+1,xyO當(dāng)k≠0時(shí)，若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則此時(shí)直線方程為綜上所述，所求直線方程是x=0或y=1或第4頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

練習(xí)：當(dāng)k為何值時(shí),直線y=kx+1與拋物線(1)相交,(2)相切,(3)相離?解：由方程組{

消去y，并整理得當(dāng)K≠0時(shí)，該方程是一元二次方程,所以綜上所述，當(dāng)k<1時(shí)直線和拋物線相交且k=0時(shí)交于一點(diǎn);當(dāng)k=1時(shí)，直線和拋物線相切;當(dāng)k>1時(shí)直線和拋物線相離.當(dāng)k=0時(shí)，直線方程為y=1，與拋物線交于一點(diǎn)第5頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：在拋物線上求一點(diǎn)，使它到直線2x-y-4=0的距離最小.

解：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn)，則P到直線2x-y-4=0的距離

此時(shí)y=1，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P(1,1).當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，，第6頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月

另解:觀察圖象可知,平移直線至與拋物線相切,則切點(diǎn)即為所求.聯(lián)立得

設(shè)切線方程為2x-y+C=0，由得C=-1又由（）得

x=1，∴y=1.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1）.點(diǎn)評(píng)：此處用到了數(shù)形結(jié)合的方法.2x-y-4=0xyOp第7頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月1.過點(diǎn)(0,2)與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有(

）（A）1條(B)2條(C)3條(D)無數(shù)多條C.P互動(dòng)練習(xí)第8頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月2.在拋物線y2=64x上求一點(diǎn)，使它到直線Ｌ：4x+3y+46=0的距離最短，并求此距離。分析：拋物線上到直線Ｌ距離最短的點(diǎn)，是和此直線平行的切線的切點(diǎn)。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵無實(shí)根∴直線與拋物線相離設(shè)與4x+3y+46=0平行且與y2=64x相切的直線方程為y=-4/3x+bL·P第9頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月則由y=-4/3x+by2=64x消x化簡(jiǎn)得y2+48y-48b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切線方程為：y=-4/3x-12

y=-4/3x-12y2=64x解方程組得x=9y=-24∴切點(diǎn)為P（9，-24）切點(diǎn)P到Ｌ的距離d=∴拋物線y2=64x到直線Ｌ：4x+3y+46=0有最短距離的點(diǎn)為P（9，-24），最短距離為2。第10頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月3、斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長(zhǎng).y2=4x第11頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月二、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)例1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長(zhǎng)為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(6)焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。xOyABFθ第13頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長(zhǎng)為2p第14頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.第15頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。123456第16頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;證明：思路分析：韋達(dá)定理xOyABF第17頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月xOyABF第18頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月F過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性質(zhì)焦點(diǎn)F對(duì)A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°。第19頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(xí)(1).若直線過定點(diǎn)M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設(shè)AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(diǎn)(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB第20頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),則直線過定點(diǎn)M(s,0)，(s>0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M為焦點(diǎn)，即過（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M過（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M過（2p，0）（4）M過（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M過。。。。。。。拋物線對(duì)稱軸上的重要結(jié)論lyy2=2pxAMxB第21頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θxOyABFθ證明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦點(diǎn)弦何時(shí)最短？過焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短第22頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則第23頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準(zhǔn)線于C,則直線CB平行于拋線的對(duì)稱軸.xyFABCO第24頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準(zhǔn)線l,垂足為C,則AC過原點(diǎn)O共線.(2001年高考題)xyFABCO第25頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的

兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

1.求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；

2.求證：直線AB過定點(diǎn)；

3.求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；

4.求△AOB面積的最小值；

5.求O在AB上的射影M軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題第26頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；[解答](1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點(diǎn)P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.第27頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點(diǎn)；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB過定點(diǎn)T(2p,0).第28頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；即y02=px0-2p2，∴中點(diǎn)M軌跡方程y2=px-2p2(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，第29頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時(shí)，等號(hào)成立.例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；第30頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月(5)法一：設(shè)M(x3,y3),則例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，

整理得：x32+y32-2px3=0，∴點(diǎn)M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).第31頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月∴M在以O(shè)T為直徑的圓上∴點(diǎn)M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

評(píng)注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論.∴

∠OMT=90,又OT為定線段法二：∵

AB過定點(diǎn)T(2p,0).7.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.第32頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)：

在求軌跡方程問題中易于出錯(cuò)是對(duì)軌跡方程純粹性及完備性的忽略。因此，在求出曲線方程之后而仔細(xì)檢查有無“不法分子”摻雜其中，應(yīng)將其剔除；另一方面又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”“逍遙法外”，應(yīng)將其找回。第33頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月四、點(diǎn)與拋物線點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p>0)的位置關(guān)系及判斷方法.1.點(diǎn)在拋物線外2.點(diǎn)在拋物線上3.點(diǎn)在拋物線內(nèi)y02-2px0>0y02-2px0=0y02-2px0<0第34頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月解：.FM>

即4>

第35頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月.FM第36頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月l1l2【例題5】如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。BAMN分析：1.如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

2.能否判斷曲線段是何種類型曲線。

3.如何用方程表示曲線的一部分。第39頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2

，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。l1l2yxD解法一：3=DANACNRt中，由圖得，CBAMN曲線段C的方程為：即拋物線方程：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O(0,0)O，第40頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2

，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。l1l2yxDCBAMN解法二：曲線段C的方程為：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O(0,0)O第41頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月yxBAMNCD建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為解法三：Q曲線段C的方程為：3=DANACNRt中，第42頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月xyAPMN第43頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月.F第44頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長(zhǎng)為6，則p=__________3xyOy2=2pxABl第45頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)已知拋物線方程=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______,準(zhǔn)線方程為________，若該拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離為___________，若該拋物線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)距離等于4,則M的坐標(biāo)為__________.(2,0)x=-27(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2第46頁，課件共64頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，焦點(diǎn)在

x+2y-12=0上，則它的方