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經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)項目6

項目6行列式二階與三階行列式任務(wù)1任務(wù)2n階行列式行列式的性質(zhì)及應(yīng)用任務(wù)3任務(wù)4行列式依行（列）展開任務(wù)5克萊姆法則任務(wù)1二階與三階行列式章目錄一、二階行列式二、二元線性方程組三、三階行列式四、三元線性方程組一、二階行列式節(jié)目錄章目錄其中數(shù)a11，a12，a21，a22，

叫做行列式的元素，橫排叫做行，豎排叫做列。元素aij的第一個下標(biāo)

i叫做行標(biāo)，表明該元素位于第i

行；第二個下標(biāo)j

叫做列標(biāo)，表明該元素位于第j

列。二階行列式表示的代數(shù)和，可以用畫線的方法記憶，即實線聯(lián)結(jié)的兩個元素的乘積減去虛線聯(lián)結(jié)的兩個元素的乘積(如圖6-1-1)。

圖6-1-1二、二元線性方程組節(jié)目錄章目錄用消元法解二元線性方程組得得利用二階行列式的定義，記則式(3)和式(4)可改寫為

于是，在行列式

的條件下，所給方程組有唯一解：，。三、三階行列式節(jié)目錄章目錄定義2記號

表示代數(shù)和稱為三階行列式，即=四、三元線性方程組節(jié)目錄章目錄類似于二元線性方程組的討論，對于三元線性方程組記D=D1=D2=D3=若系數(shù)行列式D

，則該方程組有唯一解：相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例1例2

設(shè)

，問:（1）當(dāng)

為何值時

;（2）當(dāng)

為何值時

。解，

，則

，。因此可得（1）當(dāng)λ=0或λ=3

時，D=0；（2）當(dāng)λ≠0

且

λ≠3時，

D≠0。

相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例3解方程組解因D≠0

，故題設(shè)方程組有唯一解：相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例4計算三階行列式

的值解=例5求解方程解方程左端

，由

解得x=2或x=3。

相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例6解三元線性方程組解故所求方程組的解為

任務(wù)2n階行列式章目錄一、排序與逆序二、n階行列式的定義三、對換一、排序與逆序節(jié)目錄章目錄定義1

由自然數(shù)1，2，…，n

組成的不重復(fù)的每一種有確定次序的排列，稱為一個n級排列(簡稱為排列)。例如，1234和4312都是4級排列，而24315是一個5級排列。定義3

逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列，逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列。

二、n階行列式的定義節(jié)目錄章目錄=易見：（1）二階行列式共有2=2！項，三階行列式共有6=3！項；（2）每項都是取自不同行不同列的兩個(三個)元素的乘積；（3）每項的符號是：當(dāng)該項元素的行標(biāo)按自然數(shù)順序排列后，若對應(yīng)的列標(biāo)構(gòu)成的排列是偶排列則取正號，是奇排列則取負(fù)號。我們觀察二階和三階行列式：二、n階行列式的定義節(jié)目錄章目錄故二階行列式可定義為：其中

為對所有二級排列

求和；故三階行列式可定義為：其中

為對所有二級排列

求和。二、n階行列式的定義節(jié)目錄章目錄定義5

非主對角線上因素全為零的行列式稱為對角行列式，對角線以下(上)的元素全為零的行列式稱為上(下)三角(行)行列式。三、對換節(jié)目錄章目錄定義6

在排列中，將任意兩個元素(例如)對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的變換稱為對換，記為對換。將兩個相鄰元素對換，稱為相鄰對換。定理1

任意一個排列經(jīng)過一個對換后，其奇偶性改變。推論1

奇排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為奇數(shù),偶排列變成自然順序排列的對換次數(shù)為偶數(shù)。定理2

n個自然數(shù)(n>1)共有n!個n級排列，其中奇偶排列各占一半。推論2

n階行列式也可定義為

。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例1

計算排列32514的逆序數(shù)。解

因為3排在首位，故其逆序的個數(shù)為0；

在2前面且比2大的數(shù)有1個，故其逆序的個數(shù)為1；

在5前面且比5大的數(shù)有0個，故其逆序的個數(shù)為0；

在1前面且比1大的數(shù)有3個，故其逆序的個數(shù)為3；在4前面且比4大的數(shù)有1個，故其逆序的個數(shù)為1；將上述結(jié)果排列成如下形式：易得所求排列的逆序數(shù)為.相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例2判斷排列32514的奇偶性。解由例1知排列32514的逆序數(shù)為5，所以是奇排列。

.例3求排列

的逆序數(shù),并討論其奇偶性。則所求逆序數(shù)為：

易見：當(dāng)n=4k,4k+1

時，該排列是偶排列；當(dāng)n=4k+2,4k+3

時，該排列是奇排列。

解類似例1的討論，可排出下表：

相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄.例4用行列式的定義計算行列式：解

用（i,j）表示行列式中第

i行第j列交叉點處元素的位置。考察給定行列式的非零項，第三行和第一列均只有一個非零元素，因此非零項必?。?，1）和（3，2）

處元素。取（2，1）和（3，2）

處元素后，即不能?。?，3）

和

（1，2）處元素。如?。?，3）

，則有兩個元素取之第二行；如取（1，2）

，則有兩個元素取自第二列；不?。?，3）

和

（1，2），則只有取（4，3）

和

（1，4）。這樣

（1，4），（2，1）

，（3，2）

，（4，3）

處4個“1”取自不同行不同列，其乘積1構(gòu)成行列式的一項。因N（4123）=3為奇數(shù)，故該項前應(yīng)冠負(fù)號，其它項中至少含有一個零元素，因此其它項皆為零。故有相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄.例5計算上三角形行列式相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄.例6試判斷

和

是否都是六階行列式中的項。解

行標(biāo)排列為123456，元素取自不同行；列標(biāo)排列為431265，元素取自不同的列，元素逆序數(shù)N（431265）=6

，即431265為偶排列，所以元素乘積

前面應(yīng)冠以正號，即

為六階行列式中的項。同理，

行標(biāo)排列為341526，元素取自不同行；列標(biāo)排列為234156，元素取自不同的列，元素逆序數(shù)N（341526）+N（234156）=5+3=8，所以元素乘積

前面應(yīng)冠以正號，即

不是六階行列式中的項。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄.例7在六階行列式中,下列兩項各應(yīng)帶什么符號：（1）（2）解

（1）按定義4計算：

而431265的逆序數(shù)

，

所以

前面應(yīng)帶正號。（2）按定義3計算：行標(biāo)排列341526的逆序數(shù)

N（341562）=0+0+2+0+0+4=6列標(biāo)排列324165的逆序數(shù)數(shù)

N（324165）=0+1+0+3+0+1=5N（341562）+N（324165）=6+5=11所以前面應(yīng)帶符號

任務(wù)3行列式的性質(zhì)及應(yīng)用章目錄一、行列式的性質(zhì)二、行列式性質(zhì)的應(yīng)用一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄將行列式D

的行與列互換后得到的行列式，

稱為D

的轉(zhuǎn)置行列式,記作

或

，即若則一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，

即

由性質(zhì)1知道，行列式中的行與列具有相同的地位，行列式的行具有的性質(zhì)，它的列也同樣具有。一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄性質(zhì)2交換行列式的兩行(列)，

行列式變號。證明設(shè)交換D

的第i

行和第s

行，得到行列式一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄推論1

若行列式中有兩行(列)的對應(yīng)元素相同,則此行列式為零。性質(zhì)3

用數(shù)k乘行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k

乘此行列式，

即推論2行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符號的外面。推論3行列式中若有兩行(列)元素成比例，

則此行列式為零。一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄性質(zhì)4若行列式的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和。例如，則一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄推論4

如果將行列式某一行（列）的每個因素都寫成m（m為大于2的整數(shù)）個數(shù)的和，則此行列式可以寫成

個行列式的和。以二階行列式為例，

一般來說下式是不成立的對于

n階行列式也有類似結(jié)論。一、行列式的性質(zhì)節(jié)目錄章目錄性質(zhì)5

將行列式的某一行(列)的所有元素都乘以數(shù)

k后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上，

行列式不變。設(shè)以數(shù)

k乘

D的第s

行各元素后加到第i

行的對應(yīng)元素上，得由性質(zhì)4以及推論3可得二、行列式性質(zhì)的應(yīng)用節(jié)目錄章目錄計算行列式時，常用行列式的性質(zhì)，把它化為三角形行列式來計算。

例如化為上三角形行列式的步驟是:如果第一列第一個元素為0，先將第一行與其它行交換使得第一列第一個元素不為0；然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行，使得第一列除第一個元素外其余元素全為0；再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式，如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角形行列式，這時主對角線上元素的乘積就是所求行列式的值。二、行列式性質(zhì)的應(yīng)用節(jié)目錄章目錄利用行列式的性質(zhì)計算行列式，可以使計算簡化，下面舉例說明。例1

計算行列式解

因為第一列與第二列對應(yīng)元素成比例，根據(jù)推論3，得二、行列式性質(zhì)的應(yīng)用節(jié)目錄章目錄例2

設(shè)

求

。解相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例3

計算5階行列式解相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例4

計算行列式解相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例5

計算行列式解任務(wù)4行列式依行（列）展開章目錄一、行列式依一行（列）展開二、行列式的計算一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄觀察三階行列式定義寫得從中可得到這樣的啟示：三階行列式可依第一行“展開”，對上式重新組合，易見該三階行列式也可依其它行或列“展開”，從而將三階行列式的計算轉(zhuǎn)化為低一階行列式的計算。一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄顯然這一結(jié)果對任意

均成立。同理可證將D

依列展開的情形。一、行列式依一行（列）展開節(jié)目錄章目錄定理2

行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即或

二、行列式的計算節(jié)目錄章目錄行列式的計算在以后各任務(wù)中有廣泛應(yīng)用，是學(xué)習(xí)重點，一般而言，常用的計算方法如下：（1）2階、3階行列式可直接利用“對角線法則”計算。（2）化上(下)三角行列式法。一般情況下，可利用行列式的性質(zhì)將行列式化為上(下)三角行列式，直接求值。（3）降階法。利用行列式性質(zhì)，將行列式化為某行（列）僅有個別元素不等于零，然后按該行（列）展開，化為較低階的行列式計算。相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例1設(shè)四階行列式

，求元素

和

的余子式及代數(shù)余子式。解元素

和

的余子式及代數(shù)余子式分別為相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例2依第二列展開行列式解例3計算行列式解

將D依第三列展開，則應(yīng)有其中相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例4計算行列式解相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例5計算行列式解相關(guān)實踐節(jié)目錄章目錄例6求證：證明任務(wù)5克萊姆法則節(jié)目錄章目錄我們已經(jīng)知道二元一次方程組當(dāng)

時，其解為設(shè)則有任務(wù)5克萊姆法則類似地，對于三元一次方程組設(shè)當(dāng)

時，則有節(jié)目錄章目錄任務(wù)5克萊姆法則稱為n元線性方程組。當(dāng)其右端的常數(shù)項

不全為零時，

線性方程組(6-5-1)稱為非齊次線性方程組，當(dāng)

全為零時，線性方程組(6-5-1)稱為齊次線性方程組，即含有n個未知數(shù)的線性方程組

（6-5-1）（6-5-2）線性方程組(6-5-1)的系數(shù)

構(gòu)成的行列式稱為該方程組的系數(shù)行列式D

，即節(jié)目錄章目錄任務(wù)5克萊姆法則定理2如果一個含有n

個方程的n

元齊次線性方程組的系數(shù)行列式