高考數學題-附加題部分————干合歸拓————第步

核知再合1．何證明選講部分，需要核關注與圓有關的比例線段、圓冪定理的應用及推理論證，相似三角形與圓內接四邊形是主要的轉換形式．2．矩陣與變換部分，著重掌握二階行列式求逆矩陣、二階矩陣的乘法等基礎計算．3．標系與參數方程部分，著掌握極坐標與直角坐標、參數方程與普通方程的互化，通過極坐標方程、參數方程考查直線與圓、橢圓的位置關系是命題的熱點．4．等式選講部分，以考查含個或兩個絕對值號的不等式的求解為主，通常不等式中帶有參數，分類討論去絕對值是必然的選擇．5．離散型隨機變量的均值與方(1)均值：(＝x＋＋；nn(2)方差：(＝(－)p＋－)p＋＋x－μ)pnn(3)性質：(ax)＝()＋b；(axb＝V()6．兩點分布與二項分布的均值方差(1)若服兩點分布，則E(X＝，()＝p(1－)；(2)若～(，)，E(X)＝np()np(1)．7．直方圖的三個常用結論頻率(1)小長方形的面積＝組距×＝率；組距(2)各長方形的面積和等于1；頻率(3)小長方形的高＝.組距8．排列、組合數相關性質排列：＝＋A；nn組合：＝＋(m≤，n∈N)，kC＝C.nC

＋＋＋＝＋＋＋＝nnn

.9.二式定理(＋)＝＋C＋…＋＋…＋*，n10．(1)直與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法：設直線l的向向量為a＝(a，，)，平α，β的法向量分別為μ＝a，，)v＝，)，則①線面平行：l∥⊥μa·＝＋＋＝-1-

|b|π②線面垂直：l⊥∥μa＝＝，＝，＝.③面面平行：α∥μ∥v＝λva＝λa，＝λ，＝λc④面面垂直：α⊥μ⊥vv＝a＋＋＝0.(2)直線與直線、直線與平面、面與平面的夾角計算：設直線，的向向量分別為(，，)，＝(，)，平面α，β的向量分別為μ＝，，)，＝(，，)(以相同．①線線夾角：設，的角

≤

，則|||a＋＋cccosθ＝＝a＋＋a＋＋②線面夾角：

.設直線l與面的夾角為≤|·μ|則sinθ＝＝|cos，μ〉|.||③面面夾角：設平面α，β的角為θ(0≤＜π，|v|則cosθ＝＝|cosμ，v〉|.|v|

，[2步高頻點突破幾證選【1如AB是圓O的直，弦BD的延長線相交于點E，EF垂直的長線于.求證：＝·－·.證明連(圖略，AB為圓的直徑，AD，又⊥，則，，，四點共圓，∴·＝·BF.-2-

101101又△ABCAEFABAC∴＝，AB＝·，AEAF∴·－·AC＝BA·－·＝·(－)＝AB

.[規(guī)方法]與有關的線段求解，主要是通過相似三角形建立相似比來求解，從而證明三角形相似是核心，而在圓內證明三角形相似主要是通過圓周角定理或圓心角定理證明角相等．舉一三圖，為半圓的徑，直線切圓O于CAP⊥，垂足．求證：(1)∠CAB(2)＝·.解](1)證明：因為切半圓O于點C，所以∠＝∠CBA.因為AB為圓O的直，所以∠＝90°.因為APPC所以∠＝90°.因此∠＝∠CAB.AP(2)由(1)知△APC∽△，＝，AC即＝·.矩與換【2

已知矩陣A

01

0

10

02

.(1)求ABxy(2)若曲線C＋＝在陣對的變換作用下得到另一曲線，求C的方.82解](1)因為A＝

10

10

02

，所以AB＝

01

110002

20

.(2)設(，)曲線C上的任意一點，它在矩陣AB對應變換作用下變?yōu)辄cPx，)-3-

22π則

01

20

，即

，所以xy.2xy因為點Qx，)在曲線上，＋＝，82y從而＋＝，x＋＝8.88因此曲線C在矩AB對的變換作用下得到曲線C：＋

＝[規(guī)方法]本題主要考查矩陣的乘法、特征向量的求法，考查運算求解能力．注意矩陣乘法不滿足交換律，即B≠，陣與變換所及的內容并不多，在平時只要注意歸納，并且計算過關此題可以輕松拿下．舉一三已知α＝A

1－

a4

屬于λ的個特征向量，求實數a，的值及A.[解

由條件可知

1－

，，∴，

解得a＝λ＝1因此A＝1所以A＝

24212－104414坐系參方【】在面直角坐標系中，以O為點，軸正半軸為極軸，取相的單位長度，＋2cosα建立極坐標系．已知曲線C參數方程為2sinα

，α∈[0,2π]α為數，曲線的坐方程為ρsin＋R)若曲線C與線C且僅有一個公共點，求實數a的值解]

曲線的方程－3)＋y－＝，心坐標(3，3)半徑為2.π13∵曲線C的極標方程為ρsin＋∈，∴ρsin＋cos＝，322∴曲線C的直坐標方程為3x－2＝，-4-

5555∵曲線C與曲C有僅有一個公共點，|3＋－a|∴＝，得a1或a＝5.2規(guī)律方]

參數方程與普通方程、極坐標與直角坐標之間的互化，熟練簡單曲線的極坐標是解答本類問題的關鍵．舉一三8，在平面直角坐標系中知直線參數方程ty＝2

(為數曲線Cx＝，的參數方程為最小值．

(為數)設P為曲線C上動點求點P到線的離的解]

直線的通方程為－＋＝因為點P在線C上設(2

22)，從而點P到線l的離|242s＋8|d＝＝1＋－

s－25

＋.45當＝2，＝.45因此當點P的坐標為(時曲線C上的點P到線l的離取到最小值.5不式講【4解]

求函數y3sin＋22cosx的最大值．y＝3sinx222cosx＝3sin＋cosx.由柯西不等式得(3sinx4cosx)≤(3＋)·(sinx＋cosx)＝，3所以＝，此時x＝.所以函數y3sin＋22cosx的最大值為規(guī)律方]

不等式證明的基本方法是比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法和數學歸納法，其中以比較法和綜合法最為基礎，使用綜合法證明不等式的關鍵就是通過適當的變換后使用重要不等式，證明過程注意從重要不等式的形式入手達到證明的目的．舉一三已知，，c，實數，且a＋＝，c＋＝16，證明：ac≤8.[證明]由西不等式，(acbd)≤(＋)(c＋)-5-

nn·.nnnn·.nn因為＋＝，d所以(＋)≤64，因此acbd≤8.

＝16，均值與方差的實際應用【5已知一個口袋中有個球n個球m∈≥2)些球除顏色外完全相同將口袋中的球隨機地逐個取出，并放入如圖所示的編號為1,2,3，…，＋n的屜內，其中第次出的球放入編號為k的抽(k＝1,2,3…＋n).123…

＋(1)試求編號為2的屜內放的是黑球的概率；(2)隨機變量X表示最后一個取的黑球所在抽屜編號的倒數)是X的數學期望明：E()<

nm＋n－

.C解](1)編號為2的屜內放是黑球的概率＝＝.C＋n(2)證明：隨機變量的概率分為XP

1nCCn

1n＋CCn

1＋CCn

……

1kCCn

……

1n＋CCn隨機變量X的期望為n1C1nE()＝·＝kCCn

1－！kn－?。?n所以()<Cn

n－

k－?。。。?/p>

n－

1

nn

n－

k－！！－n?。?/p>

n－

1

(1＋＋＋＋)nn＝

n－

1

(C＋＋n

＋…＋)＝

n－

1

(C＋nnn

＋…＋)＝…＝

n－

1

(C＋)n-6-

＝

Cn－

＝n

＋

n

－

，即()<

m＋

n

n－

.規(guī)律法

求解離散型隨機變量均值與方差的主要步驟求隨機變量的所有可能的取值；(2)計隨機變量取各個的概率，列出概率分布列按公式計算均(數學期望與差．舉一三甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一次籃，先投中者獲勝．投籃進行到有人獲勝或每人都22已投球3次時結束．設甲每次籃命中的概率為，每次投籃命中的概率為，各次投53籃互不影響．現由甲先投．(1)求甲獲勝的概率；(2)求投籃結束時甲的投籃次數X的布列與期望．解](1)設甲第次中獲勝事件為(＝1,2,3)，則A，彼互斥．甲獲勝的事件為A＋＋2P(＝；53122P(＝×＝；5352531P(＝

2×＝5

2.12522262所以(＋＋)＝P(＋P(A＋()＝＋＋＝.52512512562所以甲獲勝的概率為.125(2)所可能取的值為2324則(＝1)＝＋×＝；5535231324P(＝2)＝＋×××＝；255353251P(＝3)＝.25即的率分布列為XP

145

2425

3125-7-

2212.；2212.；44131所以的學期望E(＝1×＋2×＋3×＝.5252525排、合性【6已知整數n≥4合＝{1,2,3}的所有含有個元的子集記為A，AC

.設A，，，中所有元素之和為S.n(1)求，S，并出S；n(2)證明：＋…＝10C.n解](1)當＝時集合有個符合條件的子集，S＝1＋2＋＋＝，當＝，集合M每個元素出現了次，＝(1＋＋3＋＋5)＝，當＝，集合M每個元素出現了次，＝

(1＋＋＋＋＋6)＝210，nn＋所以，當集合M有n個元素時，個元素出現了C，故S＝·n

.n＋(2)證明：因為S＝·

1＝(＋1)(－1)(－2)(－＝10C

，則＋＋…＋＝10(CC＋C

＋…＋)＝10C.[規(guī)方法]通觀察式子的結構，利用排列數和組合數的相關性質及二項式系數的相關性質以含有排列、組合數結構的代數式進行化簡，有時需要拆分、拼湊項來進行結構重組．舉一三n＋現有2陣：

(n≥2，∈)個給定不同的數隨機排成一個如圖11－所的三角形數設是k行的最大數，其中1≤k≤，∈.記M＜＜…＜的概為pnn(1)求的值；C(2)證明：＞n＋！2A22解](1)由題意知p＝＝，p的為A33n(2)先排第n行，最大數在第行概率為n＋2去掉第n行經排好的個，

＝

2n＋-8-

n＝iiiin＝iiiin＋則余下的2

n－－＝2

n－個數中最大數在第n－行概為n－

2＝；2…222故＝××…×＝n＋3＋

2

×…×3

2n＋

.！由于2＝＋＝＋＋＋…≥C＋＋＞＋＝，nnnn故

2n＋

CC＞，.！n＋！＋！二式理其知交【例7】若個正實數能寫成＋＋n(∈的形式，則稱其為“兄弟數”．求證：(1)若為兄弟數”，

也為“兄弟數”；(2)若為兄弟數”是定的正奇數，則x也“兄弟數”證明(1)＝＋＋n(n∈N)，則2＋＋2

n＋＝4＋4n＋＋4n

＋n，是“兄弟數”．(2)設＝n＋＋n，y＝n＋－(n∈)，xy＝，而＝(n＋(n)，＝(n＋1)(－n)，k

k故＝C(＋1)(n＋C(n1)(－n)k

＝2[C(n1)＋(n＋1)

·＋(＋

·＋…＋

k－＋·]，2不妨記：＋＝n＋1，∈，k同理：由x－＝C＋1)(n)－＋1)(－n，k不妨記：－＝n，∈，

進而，x＝4

＋

＋4n，即＝a

n＋＋bn.又4(＋－b＝(＋)－－)＝y(tǒng)＝，故(＋1)＝＋1.因此＝bn＋1＋b亦為“兄弟數”．規(guī)律方]

二項式定理內容的考查常出現二項式內容與其它知識的交匯、整合，這是命題的一個創(chuàng)新方向．如二項式定理與函數、數列、復數、不等式等其他知識點綜合成題時，對其他模塊的知識點要能熟練運用．舉一三-9-

在自然數列1,2,3，中任取元素位置保持不動，將其余n－k個素動位置，得到不同的新數列．由此產生的不同新數列的個數記為k).(1)求(1)(2)求(；(3)證明()P

()，并求出()的值．

[解](1)因數列1,2,3中持其中個元位置不動的排列只有1,3,2或3,2,1或2,1,3，所以P(1)＝(2)()＝P(0)＋(1)＋(2)＋P＝CC＋C＋＋＋＝＋＋＋0＋＝24.(3)把數列1,2，…中取其中k個元素位置不動，則有C種其余－個素重新排列，并且使其余－個元素都改變位置，則有P()＝P(0)，nkn故kPk＝kCP(0)，又因＝nCnkn

，

所以

(k＝

CP(0)＝nC

(0)＝P()

0

令＝()則a＝，且＝1.n于是a…＝a×3a×…×，n左右同除以aa，a＝2×3×4×…×n＝！所以(＝！立幾中向方【8如，在平行六面體ABCD－BCD中AA⊥平面ABCD，且AB＝＝AA＝3，BAD＝120°.-10-

7→7→(1)求異面直線A與AC所角余弦值；(2)求二面角B－－的弦值．解]

在平面ABCD內，點A作⊥，于.因為⊥平面ABCD所以AA⊥AE⊥.→→→如圖，以{AE，，為正交基底，建立空間直角坐標系A－.因為ABAD，AA＝3，BAD＝120°，則(0,0,0)(3，－1,0)，(0,2,0)，(3，0,0)A(0,0，3)，C(3，，3)．→

→(1)＝(3，－，3)，＝(，1，3)，→→則〈，〉

→→A·AC→→|||AC|＝

1＝－，1因此異面直線AB與AC成角的余弦值為.7→(2)平面A的個法向量為A＝3，0,0)設m＝，，為平面D的個法向量，→

→又＝(3，1－3)BD＝(－3，3,0)，則

→m·＝，→mBD＝，

x－y－3＝0，即3＋y＝不妨取x＝3則＝3＝，所以m＝(3，3，2)為平面BAD的一法向量．→AE·從而〈，m〉＝＝→|||m

3，0，

3

，3，3＝4-11-

21122111222211221112223設二面角BA－A的小θ，|cos|＝4因為∈[0，π]，以sinθ＝1－θ＝7因此二面角B－AD－的弦值為.4

74

.規(guī)律法(1)用法向量求解空間線面角的關鍵在于“四破”：第，破“建系關”，構建恰當的空間直角坐標系；第二，破“求坐標關”，準確求解相關點的坐標；第三，破“求法向量關”，求出平面的法向量；第四，破“應用公式關”．(2)利用法向量的根據是兩個半面的法向量所成的角和二面角的平面角相等或互補能斷定所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角的情況下，這種方法具有一定的優(yōu)勢，但要注意，必須能斷定“所求二面角的平面角是銳角、直角或鈍角”，在用法向量法求二面角的大小時，務必要作出這個判斷，否則解法是不嚴謹的．舉一三PM1如圖，已知正四棱錐P－ABCD中＝AB＝，，N分別，上且＝＝.PA3(1)求異面直線與所成角的大小；(2)求二面角N－PC－的余弦.解](1)設與BD的交點為O，＝2.點為標原點，→→→DA，，方向分別是x軸、y軸軸方向，建立空間直角坐標系－xyz.則(1，－1,0)，(1,1,0)(－1,1,0)，(，－1,0)，→設(0,0)，則＝(－1,1p)，又＝，∴＋＋＝，∴＝2，→→→→→∵＝＋＝＋AP－，333→→ON＝＝，033

，→→∴＝－1,1－2)＝，33-12-

24＋·4311→||·|n3324＋·4311→||·|n33設異面直線與PC所成角為θ，→→|·|333則cosθ＝＝＝.→→42|PC|∴＝30°∴異面直線與PC所成角為30°.→→→(2)＝－，2)，＝(1,1，－2)，＝，－23設平面的法向量n＝(x，y，)，→n·PB＝＋y－2＝，則→nPC＝x＋－2z＝，?。剑胣＝(0，1)，

，設平面的法向量m＝(a，b，)，則

11mPN＝a＋b－33→mPC＋b－

2＝0，2＝0，

取c＝，＝(222，1)，設二面角NPC－的面角為θ，||5533則cosθ＝＝＝.3·11533∴二面角NPC－的弦值為.33第步．忽參的號

高易明析例已知f()|＋1|(∈，不等式f(x≤3解集為|－2≤≤1}-13-

x4a2x14a2ax11x4a2x14a2ax11(1)求的；(2)若x－f

≤恒立，求k的值范圍．42錯](1)由ax＋1|≤3得4≤≤2即－≤≤，(x)≤3的集為{|a2≤≤1}，＝－2，∴

即＝2.(2)記(＝fx－

1，x≤－1，，則h()＝－x＜－，2

∴h()|，因此≥1.正解(1)|＋1|得－4≤≤2f()的解集{|－2≤1}當≤0＝－，42時，不合題意；當＞時，≤，得a1，

即＝2.(2)記(＝fx－因此≥1.．基概理不

1，x≤－1，，則h()＝－x＜－，2

∴h()|，例直線2cosθ＝與圓ρ＝θ相的弦長為________．錯解]

＝由θ

＝，1cosθ＝2

＝－，或1cosθ＝2

，則弦長＝[1－－

1＋2正解ρcosθ＝是過

且垂直于極軸的直線＝2cos是以(1,0)為圓-14-

ππeq\o\ac(△ππeq\o\ac(△,S)AOB心，1為半的圓，則弦長＝

11－

＝3.——————專預·固升———————．原創(chuàng)題如圖，⊥，BE⊥AB，＝10，＝，用一塊三角尺進行如下操作：將直角頂點P在段AB上動，一直角邊始終經過點C，另一直角邊與BE相交于點D，若＝，AP的長為．APAP22或8[由題意，知△∽△，＝，＝.AP2或8.]BD810AP[題反思]本強調動手能力，用身邊的實物建模，構造相似三角形，這是此題的一個亮點．．新題在坐標系中，已知兩點A，的坐標分別6為極點的積________．1π3[如圖，＝×3×4×sin－26

，eq\o\ac(△,則)AOB(其中[題反思]本把極坐標放在三角形內進行考查，角度新穎，而且難度降低，體現新課標注重知識點的內涵與本質這一特點．．改題若等式x－|≤|3＋恒立，則實數的值范圍為_______.{－4}[在同一直角坐標系中分畫出函數＝|2x－|及y＝x＋的象如，由于不等式|2x－|≤|3＋恒立∴函數＝x－的圖象在y＝＋6|的圖象的下方，因此，函數＝|2－|的圖象也必須經過(－，∴m＝－4.]．原題設數fx＝x－－x＋，∈R.(1)解不等式fx＜－；(2)設函數gx＝x＋－，(x)≤(x)在－2,2]上恒成立，求實數的值范圍．-15-

x1，解](1)由條件知f()＝|x－－＋1|2，－1≤≤3＞，

由f)＜3－，得x2(2)由g(x≤()得|＋a－4≤|－3|－x＋，函數的圖象可知a的值圍－4,0].．改題在坐標系內，已知曲線C的程為ρ

－ρ(cosθ－2sin)4＝，以極點為原點極方向為正軸方向利用相同單位長度建立平面直角坐標系線的數方程為t

(為數．(1)求曲線C的角坐標方程以及曲線C的普通方程；(2)設點P為曲線上動點點作線C的兩切線求這兩條切線所成角弦值的取值范圍．[解](1)對曲線方程為

－ρ(cosθ－θ)＋4＝，可化為直角坐標方程x＋－＋＋4＝即－1)＋y＋2)＝對曲線

的參數方程t(為數，可化為普通方程xy－15＝0.(2)過圓心1，－作線3＋y－＝的線，此時兩切線角θ最大，即余弦值最|3×1小由到直線的距離公式可d＝

－3＋

－15|θ1＝sin＝此cos24θ7θ＝－2sin＝，因此兩條切線所成角的余弦值的值范圍28

.強訓：．圖在平面直角坐標系xOy中，已知直線l：－－＝，拋物線：＝px(p>0)．(1)若直線l過拋線的點，求拋物線C的程．(2)已知拋物線C上存關于直稱的相異兩點PQ-16-

p→p→→，，AP①求證：線段的中點坐標(2－，p)；②求的值范圍解](1)拋物線：px(>0)的焦點為0

，由點0：x－－0，得－－2＝0，2即＝所以拋物線C的方為y＝x.(2)設(，)，()線段的點)．為點P和Q關直線l對，所以直線l垂平分線段，是直線的率1，則可設其方程為y＝－＋.①證明：由

消去x得

＋pypb0.(*)因為和是物線C上相異兩點，所以y≠，從而Δ(2)－4×(2)>0，化簡得＋>0.方程(*)的兩根為＝p±p＋，y從而＝＝－.2因為(，)直線l上，以x＝－因此，線段的點坐標(2－，－)．②因為M(2p，－p)在直線y－＋上所以－＝－(2－)＋，即＝－p.4由①知p＋2>0，于是p＋－)>0所以<.34因此，的取值圍

.如圖在棱錐－中已知⊥平面且邊形ABCD為直角梯形∠＝BADπ＝，＝＝，＝＝2(1)求平面PAB與平面所二面角的余弦值；(2)點是段上動點，當直線與所的角最小時，求線段的．解]

以交底建立如圖所示的空間直角坐標系－xyz則各點的坐標-17-

→→→10＋22→→→10＋22為(1,0,0)(1,1,0)，(0,2,0)，(0,0,2)→→(1)由題意知，⊥平面PAB所AD是平面PAB一個法向量AD＝(0,2,0)．→→因為＝(1,1，－2)，＝，－2)，設平面的法向量為m＝，，)→→則m·＝，mPD0，0即

令y＝，得z＝，＝1.所以m＝(1,1,1)是面PCD的個法向．→AD·m3從而〈，m〉＝，→3|||m|所以平面與平面所二角的余弦值為

33

.→(2)因為B＝－1,0,2)，→→設＝λBP＝－λ，0,2λ)(0λ≤1)→→→→又＝(0，1,0)則＝＋＝－，1,2λ)→又＝(0，2,2)→→·1＋λ從而〈，〉＝.→→||||設1＋λ＝，∈，→→則cos〈，〉＝5t－10＋-18-

9→→{9→→{29＝≤.520109992310當且僅當t，即λ＝時，|cos〈CQ，〉的最大值為5510π因為＝cosx在2

上是減函數，所以此時直線與所角取得最小值．又因為BP＝1＋＝5，225所以BQBP＝.553．(1)求－4C

的值；(2)設m，∈，≥，求證：(m＋1)C＋m＋2)C＋＋3)C＋…＋C＋n1)C＝m＋1)C.6×5×47×6×5×4解](1)7C－4C＝7×－4×＝0.3×2×14×3×2×1(2)證明：當n＝時結論顯然成立．k＋k當>時，k＋1)C＝＝＋1)·m！km！＋！

＋！k＋－＋?。絤＋1)C，m＋1，