【題型】應(yīng)用題【題目】用3根等長的火柴可以擺成一個(gè)等邊三角形．如圖19-1,用這樣的等邊三角形拼合成一個(gè)更大的等邊三角形．如果這個(gè)大等邊三角形昀每邊由20根火柴組成，則一共要用多少根火柴"【答案】630【解析】把大的等邊三角形分為20“層〞分別計(jì)算火柴的根數(shù)：最上一“層〞只用了3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了3×2＝6根火柴；從上向下數(shù)第三層用了3×3＝9根火柴；……從上向下數(shù)第20層用了3×20＝60根火柴．所以，總共要用火柴3×(1+2+3+…+20)＝630根．【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-2，用長短一樣的火柴棍擺成3×1996的方格網(wǎng)，其中每個(gè)小方格的邊都由一根火柴棍組成，則一共需用多少根火柴棍"【答案】13975【解析】橫放需1996×4根，豎放需1997×3根，共需1996×4+1997×3＝13975根．【難度】難度2【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】圖19-3是一個(gè)跳棋棋盤，請你計(jì)算出棋盤上共有多少個(gè)棋孔"【答案】121【解析】把棋盤分割成一個(gè)平行四邊形和四個(gè)小三角形，如以下圖．平行四邊形中棋孔數(shù)為9×9＝81，每個(gè)小三角形中有10個(gè)棋孔，所以棋孔共有81+10×4＝121個(gè)．或直接數(shù)出有121個(gè)．【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-4，在桌面上，用6個(gè)邊長為l的正三角形可以拼成一個(gè)邊長為1的正六邊形．如果在桌面上要拼出一個(gè)邊長為6的正六邊形，則，需要邊長為1的正三角形多少個(gè)？【答案】216【解析】如圖AB＝6，組成△AOB需要邊長為1的正三角形共：1+3+5+7+9+11＝36個(gè)，而拼成邊長為6的正六邊形需要6個(gè)△AOB，因此總共需要邊長為1的正三角形36×6＝216個(gè)．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-5，其中的每條線段都是水平的或豎直的，邊界上各條線段的長度依次為5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求圖中長方形的個(gè)數(shù)，以及所有長方形面積的和．【答案】100，10664【解析】確定好長方形的長和寬，長方形就唯一確定，而圖中只需確定好橫向線段，豎向線段，即可．于是橫向線段有(1+2+3+4)＝10種選法，豎向線段也有(1+2+3+4)＝10種選法，則共有10×10＝100個(gè)長方形．這些長方形的面積和為：(5+7+9+2+12+16+11+21+18+23)×(4+6+5+1+10+11+6+15+12+16)＝124×86＝10664(平方厘米)．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-6，18個(gè)邊長相等的正方形組成了一個(gè)3×6的方格表，其中包含“*〞的長方形及正方形共有多少個(gè)"【答案】36【解析】我們把所求的長、正方形按占有的行數(shù)分為三類，每類的長、正方形的個(gè)數(shù)相等．其中只占有下面一行的有如下12種情況：于是共有12×3＝36個(gè)正、長方形包含“*〞．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】圖19-7是由假設(shè)干個(gè)一樣的小正方形組成的．則，其中共有各種大小的正方形多少個(gè)"【答案】130【解析】每個(gè)4×4正方形中有：邊長為1的正方形4×4個(gè)；邊長為2的正方形3×3個(gè)；邊長為3的正方形2×2個(gè)，邊長為4的正方形1×1個(gè)．總共有4×4+3×3+2×2+1×1＝30個(gè)正方形．現(xiàn)在5個(gè)4×4的正方形，它們重疊局部是4個(gè)2×2的正方形．因此，圖中正方形的個(gè)數(shù)是30×5－5×4＝130．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】圖19-8中共有多少個(gè)三角形"【答案】22【解析】邊長為1的正三角形，有16個(gè)．邊長為2的正三角形，尖向上的有3個(gè)，尖向下的也有3個(gè)．因此共有16+3+3＝22個(gè)．【難度】難度2【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】圖19-9是由18個(gè)大小一樣的小正三角形拼成的四邊形，其中*些相鄰的小正三角形可以拼成較大的正三角形．則，圖中包含“*〞的各種大小的正三角形一共有多少個(gè)"【答案】6【解析】設(shè)小正三角形的邊長為1，分三類計(jì)算計(jì)數(shù)包含*的三角形中，邊長為1的正三角形有1個(gè)；邊長為2的正三角形有4個(gè)，邊長為3的正三角形有1個(gè)；因此，圖中包含“*〞的所有大、小正三角形一共有1+4+1＝6個(gè)．【難度】難度2【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-10，AB，CD，EF，MN互相平行，則圖中梯形個(gè)數(shù)與三角形個(gè)數(shù)的差是多少"【答案】20【解析】圖中共有三角形(1+2+3+4)×4＝40個(gè)，梯形(1+2+3+4)×(1+2+4)＝60個(gè)，梯形比三角形多60－40＝20個(gè)．【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】在圖19-1l中，共有多少個(gè)不同的三角形"【答案】85【解析】以下圖中共有35個(gè)三角形，兩個(gè)疊加成題中圖形時(shí)，又多出5+5×2＝15個(gè)三角形，共計(jì)35×2+15＝85個(gè)三角形．【難度】難度5【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-12，一塊木板上有13枚釘子．用橡皮筋套住其中的幾枚釘子，可以構(gòu)成三角形、正方形、梯形等等，如圖19-13．則，一共可以構(gòu)成多少個(gè)不同的正方形"【答案】11【解析】按正方形的面積分類，設(shè)最小的正方形面積為1，面積為1的正方形有5個(gè)，如圖a所示；面積為2的正方形有4個(gè)，如圖b所示；面積為4的正方形有1個(gè)，如圖c所示；還有1個(gè)面積比4大的正方形，如圖d所示；于是，一共可以構(gòu)成5+4+1+1＝11個(gè)不同的正方形．【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-14，用9枚釘子釘成水平和豎直間隔都為1厘米的正方陣．用一根橡皮筋將3枚不共線的釘子連結(jié)起來就形成一個(gè)三角形．在這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形共有多少個(gè)"【答案】32【解析】我們分三種情況來找面積為1平方厘米的三角形，這些三角形的底與高分別為1厘米或2厘米，利用正方形的對稱性：(1)等腰直角三角形，如以下圖a所示有△AOC，△COE，△EOG，△GOA，△BOH，△DFB，△FHD，△HBF，共計(jì)8個(gè)，其中以AC，CF，F(xiàn)G，GA為底的各一個(gè)，以BF，DH為底的各兩個(gè)．(2)直角三角形，如圖b所示有△ACH，△CHD，△ACD，△DHA，△BEF，△BCE，△CEF，△CFB，△DEG，△DGH，△EGH，△EHD，△GAB，△GBF，△FAB，△FGA，共計(jì)16個(gè)，其中以AD、CH、BE、CF、DG、EH、FA、GB為斜邊的各兩個(gè)．(3)鈍角三角形，如圖c所示有△ABE，△AHE，△ADE，△AFE，△CBG，△CFG，△CDG，△CHG共計(jì)8個(gè)，其中以AE、CG為邊的各四個(gè)．于是，綜上所述，共有面積為1平方厘米的三角形32個(gè)．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-15，木板上釘著12枚釘子，排成三行四列的長方陣．則用橡皮筋共可套出多少個(gè)不同的三角形"【答案】200【解析】我們先任意選取三個(gè)點(diǎn)，則第1個(gè)點(diǎn)有12個(gè)位置可以選擇，第2個(gè)點(diǎn)有11個(gè)位置可以選擇，第3個(gè)點(diǎn)有10個(gè)位置可以選擇，但是每6種選法對應(yīng)的都是同一個(gè)圖形，如以下圖，ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA均是同一個(gè)圖形．所以有12×11×10÷6＝220種選法，但是如果這3點(diǎn)在同一條直線上就無法構(gòu)成三角形，其中每行有4種情況，共3×4；每列有1種情況，共1×4；2個(gè)邊長為2的正方形的4條對角線，共4種情況．所以，可以套出220－3×4－1×4－4＝200個(gè)不同的三角形．【難度】難度2【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如圖19-16，正方形ACEG的邊界上有A，B，C，D，E，F(xiàn)，G這7個(gè)點(diǎn)，其中B，D，F(xiàn)分別在邊AC，CE，EG上．以這7個(gè)點(diǎn)中的4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的不同四邊形的個(gè)數(shù)等于多少"【答案】12【解析】如果暫時(shí)不考慮點(diǎn)之間的排列位置關(guān)系，從7個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，則第一個(gè)點(diǎn)有7個(gè)位置可選，第二個(gè)點(diǎn)有6個(gè)位置可選，第三個(gè)點(diǎn)有5個(gè)位置可選，第四個(gè)點(diǎn)有4個(gè)位置可選，而不考慮先后，則有4×3×2×1＝24種選法的實(shí)質(zhì)是一樣的，所有可能的組合數(shù)目應(yīng)該是(7×6×5×4)÷24＝35．我們只要從中減去不能構(gòu)成四邊形的情形．對圖19-16而言，任取4個(gè)點(diǎn)而又不構(gòu)成四邊形的情形只能發(fā)生在所取的4個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)來自正方形ACEG的一條邊，而另一個(gè)則任意選取的時(shí)候，例如選定A、B、C3點(diǎn)，第4個(gè)點(diǎn)無論如何選取都不能構(gòu)成四邊形．正方形的4條邊中有3條都存在這樣的情況．而每次這種情況發(fā)生時(shí)，第4個(gè)頂點(diǎn)的選取有4種可能．所取的頂點(diǎn)只有4個(gè)，因此不可能出現(xiàn)同時(shí)選擇了2條有3點(diǎn)共線的邊的情況．則需要排除的情況有4×3＝12種．所以，滿足題意的四邊形個(gè)數(shù)有35－12＝23個(gè)．【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】數(shù)一數(shù)以下圖形中各有多少條線段.【答案】15【解析】要想使數(shù)出的每一個(gè)圖形中線段的總條數(shù)，不重復(fù)、不遺漏，就需要按照一定的順序、按照一定的規(guī)律去觀察、去數(shù).這樣才不至于雜亂無章、毫無頭緒.我們可以按照兩種順序或兩種規(guī)律去數(shù).第一種：按照線段的端點(diǎn)順序去數(shù)，如上圖〔1〕中，線段最左邊的端點(diǎn)是A，即以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC兩條以B為左端點(diǎn)的線段有BC一條，所以上圖〔1〕中共有線段2＋1＝3條.同樣按照從左至右的順序觀察圖〔2〕中，以A為左端點(diǎn)的線段有AB、AC、AD三條，以B為左端點(diǎn)的線段有BC、BD兩條，以C為左端點(diǎn)的線段有CD一條.所以上頁圖〔2〕中共有線段為3＋2＋1＝6條.第二種：按照根本線段多少的順序去數(shù).所謂根本線段是指一條大線段中假設(shè)有n個(gè)分點(diǎn)，則這條大線段就被這n個(gè)分點(diǎn)分成n＋1條小線段，這每條小線段稱為根本線段.如上頁圖〔2〕中，線段AD上有兩個(gè)分點(diǎn)B、C，這時(shí)分點(diǎn)B、C把AD分成AB、BC、CD三條根本線段，則線段AD總共有多少條線段？首先有三條根本線段，其次是包含有二條根本線段的是：AC、BD二條，然后是包含有三條根本線段的是AD這樣一條.所以線段AD上總共有線段3＋2＋1＝6條，又如上頁圖〔3〕中線段AE上有三個(gè)分點(diǎn)B、C、D，這樣分點(diǎn)B、C、D把線段AE分為AB、BC、CD、DE四條根本線段，則線段AE上總共有多少條線段？按照根本線段多少的順序是：首先有4條根本線段，其次是包含有二條根本線段的有3條，然后是包含有三條根本線段的有2條，最后是包含有4條根本線段的有一條，所以線段AE上總共有線段是4＋3＋2＋1＝10條.解：①2＋1＝3〔條〕.②3＋2＋1＝6〔條〕.③4＋3＋2＋1＝10〔條〕.小結(jié)：上述三例說明：要想不重復(fù)、不遺漏地?cái)?shù)出所有線段，必須按照一定順序有規(guī)律的去數(shù)，這個(gè)規(guī)律就是：線段的總條數(shù)等于從1開場的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和，這個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和的最大的加數(shù)是線段分點(diǎn)數(shù)加1或者是線段所有點(diǎn)數(shù)〔包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)〕減1.也就是根本線段的條數(shù).例如右圖中線段AF上所有點(diǎn)數(shù)〔包括兩個(gè)端點(diǎn)A、F〕共有6個(gè)，所以從1開場的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是6—1＝5，或者線段AF上的分點(diǎn)有4個(gè)〔B、C、D、E〕.所以從1開場的連續(xù)自然數(shù)的和中最大的加數(shù)是4＋1＝5.也就是線段AF上根本線段〔AB、BC、CD、DE、EF〕的條數(shù)是5.所以線段AF上總共有線段的條數(shù)是5＋4＋3＋2＋1＝15〔條〕.【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】數(shù)出以下圖中總共有多少個(gè)角.【答案】10【解析】在∠AOB有三條角分線OC1、OC2、OC3，∠AOB被這三條角分線分成4個(gè)根本角，則∠AOB總共有多少個(gè)角呢？首先有這4個(gè)根本角，其次是包含有2個(gè)根本角組成的角有3個(gè)〔即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB〕，然后是包含有3個(gè)根本角組成的角有2個(gè)〔即∠AOC3、∠C1OB〕，最后是包含有4個(gè)根本角組成的角有1個(gè)〔即∠AOB〕，所以∠AOB總共有角：4＋3＋2＋1＝10〔個(gè)〕.解：4＋3＋2＋1＝10〔個(gè)〕.小結(jié)：數(shù)角的方法可以采用例1數(shù)線段的方法來數(shù)，就是角的總數(shù)等于從1開場的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，這個(gè)和里面的最大的加數(shù)是角分線的條數(shù)加1，也就是根本角的個(gè)數(shù).【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】數(shù)一數(shù)以下圖中總共有多少個(gè)角？【答案】55【解析】因?yàn)椤螦OB角分線OC1、OC2…OC9共有9條，即9+1=10個(gè)根本角.所以總共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55〔個(gè)〕.【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如以下圖中，各個(gè)圖形各有多少個(gè)三角形？【答案】〔1〕6〔2〕10【解析】可以采用類似例1數(shù)線段的兩種方法來數(shù)，如圖〔2〕：第一種方法：先數(shù)以AB為一條邊的三角形共有：△ABD、△ABE、△ABF、△ABC四個(gè)三角形.再數(shù)以AD為一條邊的三角形共有：△ADE、△ADF、△ADC三個(gè)三角形.以AE為一條邊的三角形共有：△AEF、△AEC二個(gè)三角形.最后以AF為一條邊的三角形共有△AFC一個(gè)三角形.所以三角形的個(gè)數(shù)總共有4+3+2+1=10.第二種方法：先數(shù)圖中小三角形共有：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC四個(gè)三角形.再數(shù)由兩個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：△ABE、△ADF、△AEC三個(gè)三角形，以三個(gè)小三角形組合在一起的三角形共有：△ABF、△ADC二個(gè)三角形，最后數(shù)以四個(gè)小三角形組合在一起的只有△ABC一個(gè).所以圖中三角形的個(gè)數(shù)總共有：4+3+2+1=10〔個(gè)〕.解：①3+2+1=6〔個(gè)〕②4+3+2+1=10〔個(gè)〕.答：圖〔1〕及圖〔2〕中各有三角形分別是6個(gè)和10個(gè).小結(jié)：計(jì)算三角形的總數(shù)也等于從1開場的幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，其中最大的加數(shù)就是三角形一邊上的分點(diǎn)數(shù)加1，也就是三角形這邊上分成的根本線段的條數(shù).【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如以下圖中，數(shù)一數(shù)共有多少條線段？共有多少個(gè)三角形？【答案】60,30【解析】分析在數(shù)的過程中應(yīng)充分利用上幾例總結(jié)的規(guī)律，明確數(shù)什么？怎么數(shù)？這樣兩個(gè)問題.數(shù)：就是要數(shù)出圖中根本線段〔根本三角形〕的條數(shù)，算：就是以根本線段〔根本三角形〕條數(shù)為最大加數(shù)的從1開場的連續(xù)幾個(gè)自然數(shù)的和.①要數(shù)多少條線段：先看線段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2個(gè)分點(diǎn)，各分成3條根本線段，再看BC、MN、GH這3條線段上各有3個(gè)分點(diǎn)，各分成4條根本線段.所以圖中總共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕.②要數(shù)有多少個(gè)三角形，先看在△AGH中，在GH上有3個(gè)分點(diǎn)，分成根本小三角形有4個(gè).所以在△AGH中共有三角形4+3+2+1=10〔個(gè)〕.在△AMN與△ABC中，三角形有同樣的個(gè)數(shù)，所以在△ABC中三角形個(gè)數(shù)總共：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.解：①在△ABC中共有線段是：〔3+2+1〕×5+〔4+3+2+1〕×3=30+30=60〔條〕②在△ABC中共有三角形是：〔4+3+2+1〕×3=10×3=30〔個(gè)〕.【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】如右圖中，共有多少個(gè)角？【答案】13【解析】分析此題雖然與上幾例有區(qū)別，但仍可以采用上幾例所總結(jié)的規(guī)律去解決.∠1、∠2、∠3、∠4我們可視為4個(gè)根本角，由2個(gè)根本角組成的有：∠1與∠2、∠2與∠3、∠3與∠4、∠4與∠1，共4個(gè)角.由3個(gè)根本角組成的角有：∠1、∠2與∠3；∠2、∠3與∠4；∠3、∠4與∠1；∠4、∠1與∠2，共4個(gè)角，由4個(gè)根本角組成的角只有一個(gè).所以圖中總共有角是：4×3+1=13〔個(gè)〕.解：所以圖中共有角是：4×3+1=13〔個(gè)〕.小結(jié)：由此題可以推出一般情況：假設(shè)周角中含有n個(gè)根本角，則它上面角的總數(shù)是n〔n-1〕+1.【難度】難度4【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】在圖中(單位：厘米)：①一共有幾個(gè)長方形"②所有這些長方形面積的和是多少"【答案】100,12384【解析】①一共有(個(gè))長方形；②所求的和是(平方厘米)?！倦y度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】由20個(gè)邊長為1的小正方形拼成一個(gè)長方形中有一格有“〞圖中含有“〞的所有長方形(含正方形)共有個(gè)，它們的面積總和是?！敬鸢浮?8,360【解析】含的一行所有可能的長方形有：(八種)含的一列所有可能的長方形有：(六種)所以總共長方形有個(gè)，面積總和為。【難度】難度3【知識(shí)點(diǎn)】幾何計(jì)數(shù)【題目】圖