練習(xí)一設(shè)導(dǎo)彈的可靠度為0.85,兩枚導(dǎo)彈在射擊目標(biāo)時(shí)不是互相統(tǒng)計(jì)獨(dú)立,第一枚未擊中第二枚也擊不中的概率為0.2,然而第一枚擊中,第二枚擊中的概率不變,仍舊是0.85,試問兩枚導(dǎo)彈至少有一枚擊中的概率?解:至少有一枚擊中的概率是:注意本題指的是第一枚未擊中情況下,第二枚的擊中概率會(huì)有變化,如果第一枚擊中話,則第二枚射擊無影響,所以A,B和是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的,故有:但和B是統(tǒng)計(jì)相關(guān)的所以至少擊中一枚的概率為它們之和=0.97試驗(yàn)一種產(chǎn)品,有98%的判斷有缺陷的產(chǎn)品,而4%的概率將好產(chǎn)品認(rèn)為是有缺陷的,如果對(duì)一批試驗(yàn)產(chǎn)品有3%的次品率,問一個(gè)產(chǎn)品歸為次品而真正是次品的概率是多少?解:D表示產(chǎn)品是有缺陷的事件C表示將產(chǎn)品歸為有缺陷事件那么P(D)=0.03P(C|D)=0.98=0.04用貝葉斯定理來計(jì)算P(D|C)練習(xí)二2.1設(shè)有一批零件共100件，其中有5件次品，現(xiàn)從中任取50件，問恰好有一件次品的概率是多少？解：S=“從100件中任取50件”共有多少種抽法，即每一種抽法就是一個(gè)事件，即得到總的樣品空間數(shù)。B=“任取50件，其中恰好有1件次品”，由多少基本事件？顯然，任抽的50件恰好有一件次品，必須從95件合格品中抽出49件合格品，共有種取法，而從5件次品中取1件次品共有種抽法，所以，B事件的數(shù)目為，而它占總的樣品空間的比例即為所求的概率2.2證明：解:設(shè)是一個(gè)有限數(shù)，則對(duì)于任何的，有2.2證明：解:由終值定理有下列等式:￡另外證明可按拉氏變換定義得到:2.3有100臺(tái)儀表工作到1000小時(shí)有10臺(tái)發(fā)生故障,工作到2000小時(shí),總共有22臺(tái)發(fā)生故障,求此儀表的分別在1000小時(shí)與2000小時(shí)的可靠度及累積失效概率?解:t=1000小時(shí)n=(1000)=10,t=2000小時(shí),,78%累積失效概率即不可靠度為F(1000)=%F(2000)=22%2.4有一臺(tái)設(shè)備上的零件在使用了2000小時(shí)期間更換兩次，這零件通常失效率較低，取λ=0.1×10—3小時(shí)，求這臺(tái)設(shè)備發(fā)生二次故障概率？設(shè)備工作是否正常?解：因λt=0.1×10-3×2000=0.2按泊松分布在2000小時(shí)內(nèi)二次故障概率設(shè)備工作是不正常2.5設(shè)有N=100個(gè)產(chǎn)品,從t=0開始運(yùn)行,在50小時(shí)內(nèi)無故障,在50~51小時(shí)內(nèi)發(fā)生1個(gè)故障,在51~52小時(shí)內(nèi)發(fā)生3個(gè)故障,求該產(chǎn)品在50及51小時(shí)的故障率?解:/小時(shí)/小時(shí)2.6已知壓力閥門的失效率為,試求該部件的累積失效分布F(t)和失效函數(shù)f(t).解:F(t)=1-exp=1-exp=1-exp1-F(t)=F(t)=f(t)=2.7已知失效率服從下述關(guān)系試求時(shí)間t系數(shù)的可靠度和失效密度函數(shù)?解:當(dāng)指數(shù)分布2.8已知某部件的失效率λ=/小時(shí),試求:(a)1000小時(shí)部件可靠度?(b)如果有1000個(gè)這樣的部件同時(shí)工作,問1000小時(shí)工作內(nèi)有多少部件已經(jīng)失效?(c)部件在一個(gè)MTTF時(shí)間的可靠度是多少?(d)如果已知部件工作了1000小時(shí),問繼續(xù)工作1000小時(shí)的概率是多少?解:(a)R(1000)=(b)(c)R(MTTF)=(d)根據(jù)指數(shù)分布的無記憶性證明無記憶性簡(jiǎn)單說明如下:2.9進(jìn)行汽車軸承的磨損實(shí)驗(yàn),投試的樣品為46,現(xiàn)將試驗(yàn)結(jié)果統(tǒng)計(jì)表如下:區(qū)間(公里)故障數(shù)目0≤m≤200001920000≤m≤400001140000≤m≤60000760000≤m≤80000580000≤m≤1000004100000≤m0試求失效率函數(shù),可靠度函數(shù)解(1):首先按時(shí)間求出系統(tǒng)各點(diǎn)的可靠度與不可靠度公里數(shù)

(t)累積失效總數(shù)

NfF(t)=

Nf/NR(t)=1-F(t)20000190.4130.58740000300.6520.34860000370.8040.19680000420.9130.087100000461.0000.00.2070.20719460.1200.2041270.0760.2197160.0550.278590.0440.50044解(2)摘自書(9)例：計(jì)算公式：，第一組結(jié)果如下：t20000190.4130.5870.2070.20740000300.6520.3480.1200.20460000370.8040.1960.0760.21980000420.9130.0870.0550.278100000461.0000.00.0440.500練習(xí)三3.1在某一系統(tǒng)中,對(duì)某一種繼電器,要求它必須動(dòng)作2000次,如果隨機(jī)地抽取20只繼電器作動(dòng)作次數(shù)試驗(yàn),作到10000次都沒有失效的,那么在90%的置信度條件下,母體可靠度的置信下限是多少呢?解1:總的動(dòng)作次數(shù)=20×10000=200000; n=工作周期數(shù)=; 因?yàn)闊o效的,所以,n=100;r=0=0.90.解2:在《二項(xiàng)式可靠度表》中,查n=179、r=0那一行和=0.90那一列的數(shù)值,得按零失效估計(jì):解3:,3.2如果某產(chǎn)品的失效分布是指數(shù)分布,如果隨機(jī)抽取80只產(chǎn)品進(jìn)行250小時(shí)壽命試驗(yàn),發(fā)現(xiàn)78只是可靠的，有2只失效,若以90%的置信度推算失效率λ的置信上限?解:因?yàn)?所以 ①利用《二項(xiàng)式可靠度表》,查n=80、r=2那一行和=0.90那一列的數(shù)值,為 ②,將其代入上式,當(dāng)t=250小時(shí),得到 3.4設(shè)某批產(chǎn)品符合指數(shù)分布，從該批中隨機(jī)地抽取20件，進(jìn)行無替換壽命試驗(yàn),試驗(yàn)到11件失效停止試驗(yàn)，它們的試驗(yàn)失效時(shí)間為t(1)=7,t(2)=12,t(3)=15,t(4)=24,t(5)=25，t(6)=48，t(7)=53，t(8)=56，t(9)=72，t(10)=95，t(11)=110，求置信度95%下，λ的雙邊置信區(qū)間和單邊置信上限?解:λ的雙邊置信區(qū)間：=7+12+15+24+25+48+53+56+72+95+(20-10)x110=1507.查表：求得λ的雙邊置信區(qū)間：λ的單邊置信上限：查表：求得λ的單邊置信上限：3.5抽五個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行定時(shí)截尾的可靠性壽命試驗(yàn),截尾時(shí)間定為100小時(shí),已知在試驗(yàn)期間產(chǎn)品試驗(yàn)結(jié)果如下：小時(shí),和小時(shí)產(chǎn)品失效,小時(shí)有一產(chǎn)品停止試驗(yàn)，計(jì)算該產(chǎn)品的點(diǎn)平均壽命值?.解:總試驗(yàn)時(shí)間小時(shí)點(diǎn)平均壽命MTTF=小時(shí)3.6設(shè)產(chǎn)品的壽命服從指數(shù)分布,抽其10個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行無替換定時(shí)截尾試驗(yàn)已觀察到二次失效，第一次在小時(shí),第二次小時(shí),在置信度為0.95下,為滿足平均壽命的單側(cè)置信下限為1000小時(shí),還需繼續(xù)進(jìn)行無失效試驗(yàn)多少小時(shí)?解:設(shè)還需繼續(xù)進(jìn)行無失效試驗(yàn)時(shí)間t總試驗(yàn)時(shí)間無替換定時(shí)截尾試驗(yàn)平均壽命的單側(cè)置信下限：1000=t=小時(shí)3.7設(shè)某批產(chǎn)品符合指數(shù)分布，從該批中隨機(jī)地抽取10件，進(jìn)行無替換壽命試驗(yàn)試驗(yàn)到300hr停止試驗(yàn)，在停止試驗(yàn)前只知道有5件失效，它們的試驗(yàn)失效時(shí)間為t(1)=35,t(2)=85,t(3)=150,t(4)=230,t(5)=250(小時(shí))求置信度90%下θ,λ的置信區(qū)間?解:3.8某飛機(jī)油箱增壓泵43個(gè)，每個(gè)觀察300小時(shí)，觀察過程中共發(fā)生7次故障，若為指數(shù)分布，求該泵的平均壽命，300個(gè)小時(shí)時(shí)的可靠度及90%置信度下平均壽命的雙側(cè)置信區(qū)間。解：為[,,有]試驗(yàn)，平均壽命為小時(shí)；故300小時(shí)時(shí)的可靠度為；90%置信度下平均壽命的雙側(cè)置信限：小時(shí)，小時(shí)。3.9某儀表運(yùn)行一年中共發(fā)生5次故障，經(jīng)調(diào)查，用戶平均每年使用500小時(shí)，試確定其保用期。解：90%把握能夠達(dá)到的小時(shí)95%把握能夠達(dá)到的小時(shí)估計(jì)有一部分用戶使用時(shí)間較長(zhǎng)，可按平均數(shù)的1.5倍計(jì)算。以90%置信度考慮，則保用期年，約合15個(gè)月；以95%置信度考慮，則保用期年，約合13個(gè)月。3.10某設(shè)備只有成功與故障兩種狀態(tài)，現(xiàn)抽取100件試驗(yàn)到某一時(shí)刻，一直未發(fā)生故障，試求可靠度95%置信度的單側(cè)置信下限。解：時(shí)刻，有現(xiàn)，，，即有95%置信度，可靠度不小于0.97。3.11用30件進(jìn)行100小時(shí)試驗(yàn)，故障數(shù)為零，問在90%置信度下，欲保證可靠度不小于0.92，此抽樣數(shù)是否充分？若故障數(shù)為1，可保證的可靠度是多少？解：為定時(shí)截尾試驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，由（5.105）式，有現(xiàn)，所以在90%置信度下，抽樣數(shù)30是可以保證可靠度不小于0.92。當(dāng)時(shí)，3.12某火箭發(fā)動(dòng)機(jī)規(guī)定的全程工作時(shí)間為300秒,現(xiàn)對(duì)該發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行試驗(yàn),試驗(yàn)無失效時(shí)間累計(jì)已達(dá)1.2×10E+4秒,試估算該發(fā)動(dòng)機(jī)可靠性單側(cè)置信下限(置信度=0.8.)解:的近似單側(cè)置信下限：的近似單側(cè)置信上限：可靠性單側(cè)置信下限：R(300)3.13某導(dǎo)彈主動(dòng)段飛行時(shí)間為5分鐘，假定彈上某設(shè)備壽命服從指數(shù)分布，如果要求該設(shè)備主動(dòng)段飛行可靠性下限為0.9試求設(shè)計(jì)師的平均壽命下限θ?解:分鐘3.14在試驗(yàn)過程中無失效時(shí),達(dá)到部件的可靠性下限在置信度為0.90時(shí)為0.86,試問至少要用多少樣品做試驗(yàn)?解:設(shè)試驗(yàn)樣品數(shù)為n,失效數(shù)r=0,部件的可靠性下限,置信度建立下列關(guān)系式:3.15假定從一批雷管中隨機(jī)抽取20只進(jìn)行試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)故障數(shù)等于零。假定這批雷管的可靠性服從二項(xiàng)分布。問：這批雷管的可靠性的95％置信下界是多大？解：，，，按照公式，可行性R的％的下置信界為：當(dāng)時(shí)，公式如下所以得到95％的置信度下限為3.16已知核電站柴油機(jī)啟動(dòng)試驗(yàn)共n=563次,失敗x=3次,求置信度為0.90的啟動(dòng)失敗概率的置信區(qū)間和最佳估計(jì)值.解：最佳估計(jì)值按照公式:代入并查表3.17商用核電站應(yīng)急柴油發(fā)電機(jī)5年內(nèi)35次啟動(dòng)有4次失敗,求置信度0.90時(shí)的啟動(dòng)失敗概率的上下限,如果用定時(shí)截尾指數(shù)分布估計(jì)試問誤差有多少?解：定時(shí)截尾指數(shù)分布估計(jì)誤差不大,但當(dāng)時(shí),定數(shù)截尾指數(shù)分布估計(jì)不適用.練習(xí)四由兩個(gè)相同指數(shù)分布元件組成的貯備系統(tǒng),設(shè)轉(zhuǎn)換開關(guān)的可靠度,為了使貯備系統(tǒng)的可靠度高于二元件并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度,試問轉(zhuǎn)換開關(guān)的可靠度應(yīng)為多少?解:并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度貯備系統(tǒng)的可靠度按題要求:系統(tǒng)由主系統(tǒng)(失效率),第一備用系統(tǒng)(失效率)和第二備用系統(tǒng)(失效率)組成,備用期間不失效且轉(zhuǎn)換開關(guān)完好,系統(tǒng)不維修,試求系統(tǒng)可靠度?解:其中:解2:解3:按公式：系統(tǒng)由貯備系統(tǒng)和表決分系統(tǒng)串聯(lián)組成(如圖),兩個(gè)分系統(tǒng)工作相互獨(dú)立,設(shè)轉(zhuǎn)換開關(guān)的可靠度為.單元1,2的壽命分布函數(shù).求系統(tǒng)的可靠度和平均壽命.解:試證明由2n個(gè)相同部件組成的并串聯(lián)系統(tǒng)(圖(b)可靠度比串并聯(lián)系統(tǒng)(圖(a))可靠度高.證明：求圖的路集,最小路集,割集,最小割集.解：用窮舉法,最小路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).用聯(lián)絡(luò)矩陣法:路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(A,D,B),(E,F,B,D).最小路集:(A,D),(A,B,C),(E,F,C),(E,F,B,D).最小割集:(A’+D’)(A’+B’+C’)(E’+F’+C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’+D’B’+D’C’)(E’+F’+C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’C’+D’B’E’+D’B’F’+D’B’C’+D’C’E’+D’C’F’+D’C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’C’+D’B’E’+D’B’F’+D’C’)(E’+F’+B’+D’)=(A’E’+A’F’+A’B’C’+A’C’D’+D’B’E’+D’B’F’+D’C’)=(A’E’+A’F’+D’C’+A’B’C’+D’B’E’+D’B’F’)已知通訊網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖求a，b兩端之間的最小路集與割集。解：用聯(lián)絡(luò)矩陣法:最小路集(1),(5,2),(4,6),(5,3,6),(4,3,2)最小割集:(1’)(5’+2’)(4’+6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’+1’2’)(4’+6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’+1’2’4’+1’2’6’)(5’+3’+6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’+1’2’4’3’+1’2’6’)(4’+3’+2’)=(1’5’4’+1’5’6’3’+1’5’6’2’+1’2’4’3’+1’2’6’)用全概率分解法寫出系統(tǒng)可靠度公式.解：①②試證明上述兩種分解結(jié)果一致。用聯(lián)絡(luò)矩陣法求圖系統(tǒng)的最小路集、最小割集及求系統(tǒng)可靠度..解：系統(tǒng)的最小路集：AD，BD，CE，BE。系統(tǒng)的最小割集：=（+）（+）（+）（+）=（+++）（+++）=+++系統(tǒng)的可靠度:考慮并聯(lián)系統(tǒng)在兩個(gè)部件都正常運(yùn)行時(shí),部件的失效率為,當(dāng)只有一個(gè)部件工作時(shí)，則部件接受的應(yīng)力發(fā)生變化，系統(tǒng)的失效率增加到,證明這種條件下的并聯(lián)系統(tǒng)的可靠度:解：設(shè)有兩不同部件a和b組成的并聯(lián)系統(tǒng)，在兩個(gè)部件正常運(yùn)行時(shí)的失效率分別是和，當(dāng)只有一個(gè)部件工作時(shí)，則部件接受的應(yīng)力發(fā)生變化，它們的失效率增加到和，建立系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移馬氏過程，并聯(lián)系統(tǒng)共有以下狀態(tài)1：兩件正常2：a部件失效，b部件工作3：b部件失效，a部件工作4：a，b兩部件均失效馬爾可夫轉(zhuǎn)移圖如下系統(tǒng)各狀態(tài)的概率滿足下列方程式組求解