第2課時(shí)線面垂直的性質(zhì)與空間距離學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理．(重點(diǎn))2．能利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行證明．(難點(diǎn))3．理解空間距離相關(guān)定義并會(huì)求相應(yīng)的距離．通過學(xué)習(xí)直線與平面垂直的性質(zhì)定理，提升直觀想象、規(guī)律推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．學(xué)問點(diǎn)1直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行符號(hào)語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用證明兩條直線平行在長方體ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′，BB′所在直線與平面ABCD位置關(guān)系如何？這兩條直線又有什么樣的位置關(guān)系？[提示]棱AA′，BB′所在直線都與平面ABCD垂直；這兩條直線相互平行．1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，假設(shè)直線l(與直線BB1不重合)⊥平面A1C1A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B與l異面但不垂直D．B1B與l相交但不垂直B[由于B1B⊥平面A1C1，又由于l⊥平面A1C1，所以l∥B1B學(xué)問點(diǎn)2空間距離1．過一點(diǎn)作垂直于平面的直線，那么該點(diǎn)與垂足間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離．2．一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．3．假如兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．2．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，那么點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為()A．1B．eq\r(2)C．2eq\r(2)D．2eq\r(3)B[如圖，連接AC，DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD-A1B1C1D1∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，∴AC⊥平面BDD1B1．∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO．∵AB＝2，∴AC＝2eq\r(2)，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2)．]類型1線面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例1】如下圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN⊥平面A1DC．求證：MN∥AD[解]由于四邊形ADD1A1所以AD1⊥A1D．又由于CD⊥平面ADD1A1所以CD⊥AD1．由于A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．又由于MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1．證明線線平行常用的方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．(2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．如圖，平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，直線a?β，a⊥AB．求證：a∥l．[證明]由于EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA．同理l⊥EB．又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB．由于EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB．由線面垂直的性質(zhì)定理，得a∥l．類型2空間中的距離問題【例2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AD＝2PD＝4，AB＝6，PA＝2eq\r(5)，∠BAD＝60°，點(diǎn)Q在棱AB上．(1)證明：PD⊥平面ABCD；(2)假設(shè)三棱錐P-ADQ的體積為2eq\r(3)，求點(diǎn)B到平面PDQ的距離．[解](1)證明：由于AD＝2PD＝4，PA＝2eq\r(5)，所以PA2＝PD2＋AD2，即PD⊥AD，由于CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD，且AD∩CD＝D．所以PD⊥平面ABCD．(2)由于三棱錐P-ADQ的體積為2eq\r(3)，所以eq\f(1,3)S△ADQ·PD＝2eq\r(3)，所以S△ADQ＝3eq\r(3)．所以eq\f(1,2)AD·AQ·sin60°＝3eq\r(3)，所以AQ＝3．所以Q為AB中點(diǎn)，即點(diǎn)A到平面PDQ的距離等于點(diǎn)B到平面PDQ的距離．在△ADQ中，由余弦定理可得DQ＝eq\r(AD2＋AQ2－2AD·AQcos60°)＝eq\r(13)．所以S△PDQ＝eq\f(1,2)×PD×DQ＝eq\r(13)．由VP-ADQ＝VA-PDQ?2eq\r(3)＝eq\f(1,3)×eq\r(13)×d，所以d＝eq\f(6\r(39),13)．所以點(diǎn)B到平面PDQ的距離為eq\f(6\r(39),13)．空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離．(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：假如條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以便利求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以便利求底面積和高．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．在如下圖的幾何體中，ABC-A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，AA1＝AC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD，∠ADC(1)求證：AC1⊥平面A1B1CD；(2)假設(shè)CD＝2，求C1到平面A1B1CD的距離．[解](1)由于ABC-A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，又AA1＝AC，四邊形ABCD為平行四邊形，AD＝2CD，∠ADC所以四邊形AA1C所以AC1⊥A1C設(shè)CD＝a，那么AD＝2aAC＝eq\r(a2＋4a2－2×a×2a×cos60°)＝eq\r(3)a，所以CD2＋AC2＝AD2，所以AC⊥DC，所以AC⊥AB，由于AA1⊥AB，AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1，又AB∥A1B1，AC1?平面ACC1A1，所以A1B1⊥AC由于A1B1∩A1C＝A1所以AC1⊥平面A1B1CD．(2)由于CD＝2，所以AD＝4，AC＝AA1＝eq\r(16－4)＝2eq\r(3)，所以AC1＝2eq\r(6)．所以點(diǎn)C1到平面A1B1CD的距離為eq\f(1,2)AC1＝eq\r(6)．類型3直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AF⊥PC，求證：PB⊥EF．[證明]由于PA⊥平面ABC，BC在平面ABC上，所以PA⊥BC．又AB是圓O的直徑，所以AC⊥BC．又AC，PA在平面PAC中交于A，所以BC⊥平面PAC．又AF?平面PAC，所以BC⊥AF．由于AF⊥PC，BC，PC在平面PBC中交于C，所以AF⊥平面PBC．又PB?平面PBC，所以AF⊥PB．又AE⊥PB，AF，AE在平面AEF中交于A，所以PB⊥平面AEF，所以PB⊥EF．關(guān)于線面垂直判定、性質(zhì)的應(yīng)用(1)分析的垂直關(guān)系，得出能夠推出的線線、線面垂直，即挖掘條件，以便利后續(xù)證明．(2)證明垂直關(guān)系時(shí)往往需要逆向思維，如要證明直線a垂直于平面α內(nèi)直線b，可以考慮證明直線b垂直于直線a所在的平面β．(3)把握線線、線面垂直的相互轉(zhuǎn)化．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，PA＝AD＝2．(1)求證：CD⊥平面PAC；(2)在棱PC上是否存在點(diǎn)H，使得AH⊥平面PCD？假設(shè)存在，確定點(diǎn)H的位置；假設(shè)不存在，說明理由．[解](1)由題意，可得DC＝AC＝eq\r(2)，又AD＝2，所以AC2＋DC2＝AD2，即AC⊥DC，又由于PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，又由于PA∩AC＝A，所以DC⊥平面PAC．(2)過點(diǎn)A作AH⊥PC，垂足為H，由(1)可得CD⊥AH，又PC∩CD＝C，所以AH⊥平面PCD，由于在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝eq\r(2)，eq\f(PH,PA)＝eq\f(PA,PC)，解得PH＝eq\f(2\r(6),3)，所以PH＝eq\f(2,3)PC，即在棱PC上存在點(diǎn)H，且PH＝eq\f(2,3)PC，使得AH⊥平面PCD．1．如圖，P為△ABC所在平面α外一點(diǎn)，PB⊥α，PC⊥AC，那么△ABC的外形為()A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定B[由PB⊥α，AC?α，得PB⊥AC，又AC⊥PC，PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC，所以△ABC為直角三角形．]2．如圖，ABCD-A1B1C1D1為正方形，那么以下結(jié)論：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1，A．0B．1C．2D．3D[由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得BD∥平面CB1D1，所以①正確．由正方體的性質(zhì)得AC⊥BD，由于AC是AC1在底面ABCD內(nèi)的射影，所以由三垂線定理可得：AC1⊥BD，所以②正確．由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥CB1，進(jìn)而結(jié)論線面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正確．應(yīng)選：D．]3．四邊形ABCD為平行四邊形，PA⊥平面ABCD，當(dāng)平行四邊形ABCD滿意條件________時(shí)，有PC⊥BD(填上你認(rèn)為正確的一個(gè)條件即可)．[答案]四邊形ABCD為菱形(答案不唯一)4．在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，假設(shè)在BC上存在點(diǎn)Q滿意PQ⊥DQ，那么a的最小值為________．4eq\r(2)[假設(shè)在BC邊上存在點(diǎn)Q，使得PQ⊥DQ，連接AQ，由于在矩形ABCD中，AB＝2eq\r(2)，BC＝a，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥DQ，由于PQ⊥DQ，PA∩PQ＝P，所以DQ⊥平面PAQ，所以DQ⊥AQ，所以∠AQD＝90°，由題意得△