2023年初中數(shù)學全國聯(lián)合競賽試題參考答案說明：第一試，選擇題和填空題只設7分和0分兩檔；第二試各題，請按照本評分標準規(guī)定的評分檔次給分.如果考生的解答方法和本解答不同，在評卷時請參照本評分標準劃分的檔次，給予相應的分數(shù).第一試一、選擇題：(本題滿分42分，每小題7分)1．已知為整數(shù)，且滿足，QUOTE1x+1y1x2+1yA.1個B.2個C.3個D.4個〖答〗C.由已知等式得，顯然均不為0，所以=0或.若，則.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.2．已知非負實數(shù)滿足，則的最大值為（）A．B．C．D．〖答〗A.，易知：當，時，取得最大值.3．在△中，，為的中點，于，交于，已知，，則QUOTEBD?CD=（）A．B．C．D．〖答〗B.因為，，所以四點共圓，所以，又，所以，所以.又易知△∽△，所以，從而可得.4．6張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的概率是（）A．B．C．D．〖答〗B.若取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2×2×2=8種取法；若取出的3張卡片上的數(shù)字有相同的，有3×4=12種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有8＋12=20種取法.要使得三個數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫數(shù)字有重復，所以，取出的3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的情況共有4×2=8種.因此，所求概率為.5．設表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.已知實數(shù)滿足，則（）A．B．C．D．1〖答〗D.設，則，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.6．在△中，，QUOTE∠C=90°，，在上，在上，使得△為等腰直角三角形,,則的長為（）A．B．C．D．〖答〗A.過作于，易知△≌△，△∽△.設，則，，，，故，即.又，故可得.故.二、填空題：(本題滿分28分，每小題7分)1．已知實數(shù)滿足，，則____．〖答〗0.由題意知，所以整理得，所以0.2．使得不等式QUOTE917<nn+k<815對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為〖答〗144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當時，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3．已知為等腰△內(nèi)一點，，，為的中點，與交于點，如果點為△的內(nèi)心，則．〖答〗.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以，，所以.4．已知正整數(shù)滿足:，，，則．〖答〗36.設的最大公約數(shù)為，，，均為正整數(shù)且，，則，所以，從而，設（為正整數(shù)），則有，而，所以均為完全平方數(shù)，設，則，均為正整數(shù)，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，則，驗算可知只有滿足等式，此時，不符合題意，故舍去.若，則，驗算可知只有滿足等式，此時，符合題意.因此，所求的.第二試一、(本題滿分20分)設實數(shù)滿足，，求的值．解由已知條件可得，.設，，則有，，聯(lián)立解得或.若，即，，則是一元二次方程的兩根，但這個方程的判別式，沒有實數(shù)根；若，即，，則是一元二次方程的兩根，這個方程的判別式，它有實數(shù)根.所以.二．(本題滿分25分)如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足,的延長線與△的外接圓交于點.證明：．證明由是平行四邊形及已知條件知.又A、B、F、D四點共圓，所以，所以△∽△，所以.又，所以△∽△，故.三．(本題滿分25分)設是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱具有性質(zhì).在1，5，2023，2023這四個數(shù)中，哪些數(shù)具有性質(zhì)，哪些數(shù)不具有性質(zhì)？并說明理由.解取，，可得，所以1具有性質(zhì).取，，可得，所以5具有性質(zhì).為了一般地判斷哪些數(shù)具有性質(zhì)，記，則=.即=1\*GB3①不妨設，如果，即，則有；如果，即，則有；如果，即，則有；由此可知，形如或或（為整數(shù)）的數(shù)都具有性質(zhì).因此，1，5和2023都具有性質(zhì).若2023具有性質(zhì)，則存在整數(shù)使得.注意到，從而可得，故，于是有，即，但2023=9×223＋6，矛盾，所以2023不具有性質(zhì).第二試（B）一．(本題滿分20分)同（A）卷第一題.二．(本題滿分25分)如圖，已知為△的外心，，為△的外接圓上一點，過點作直線的垂線，垂足為.若，，求.解延長交⊙于點，延長交⊙于點，由題意得，所以為的平分線.……5分又點在⊙的半徑上，點、在⊙上，所以點、關于直線對稱，.……10分延長交⊙于點，因為為圓心，，所以點、關于直線對稱，.因此.……15分又，，所以△≌△，所以，.……20分因此，，即，所以.……25分三．(本題滿分25分)設是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱具有性質(zhì).（1）試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；（2）在1，2，3，…，2023，2023這2023個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個？解取，，可得，所以1具有性質(zhì)；取，，可得，所以2具有性質(zhì)；…5分若3具有性質(zhì)，則存在整數(shù)使得，從而可得，故，于是有，即，這是不可能的，所以3不具有性質(zhì).……10分（2）記，則=.即=1\*GB3①……15分不妨設，如果，即，則有；如果，即，則有；如果，即，則有；由此可知，形如或或（為整數(shù)）的數(shù)都具有性質(zhì).……20分又若，則