4/122018北京市豐臺(tái)區(qū)高三（上）期末數(shù)學(xué)（理）2018.1第Ⅰ卷（共40分）一、選擇題：本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A．B．C．D．2．“”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3．在極坐標(biāo)系中，方程表示的曲線是（）A．直線B．圓C．橢圓D．雙曲線4．若滿足則的最大值是（）A．-2B．-1C．1D．25．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的的值在區(qū)間內(nèi)，那么輸出的屬于（）A．B．C．D．6．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長(zhǎng)的棱的棱長(zhǎng)為（）A．2B．C．D．37．過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作一條與其漸近線垂直的直線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則此雙曲線的離心率為（）A．B．C．2D．8．全集，非空集合，且中的點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)形成的圖形關(guān)于軸、軸和直線均對(duì)稱.下列命題：①若，則；②若，則中至少有8個(gè)元素；③若，則中元素的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)；④若，則.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4第Ⅱ卷（共110分）二、填空題（每題5分，滿分30分，將答案填在答題紙上）9．已知單位向量的夾角為120°，則．10．若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)．11．在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是（用數(shù)字作答）．12．等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列，那么，數(shù)列的前9項(xiàng)和．13．能夠說明“方程的曲線是橢圓”為假命題的一個(gè)的值是．14．已知函數(shù).①當(dāng)時(shí)，函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)；②若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．三、解答題（本大題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15．在中，．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求的值.19．在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，記點(diǎn)的軌跡為.（Ⅰ）求得方程；（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)在曲線上，軸上一點(diǎn)（在點(diǎn)右側(cè)）滿足.平行于的直線與曲線相切于點(diǎn)，試判斷直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.20．在數(shù)列中，若是整數(shù)，且（，且）.（Ⅰ）若，，寫出的值；（Ⅱ）若在數(shù)列的前2018項(xiàng)中，奇數(shù)的個(gè)數(shù)為，求得最大值；（Ⅲ）若數(shù)列中，是奇數(shù)，，證明：對(duì)任意，不是4的倍數(shù).數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題1-4:CABD5-8:ADCC二、填空題9．10．111．-4012．2，9013．中任取一值即為正確答案14．1，三、解答題15．解：（Ⅰ）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所以，所?（Ⅱ）由，，，得.解得.由余弦定理可得，解得.16．解：（Ⅰ）依題意，所以.因?yàn)?，所以?（Ⅱ）設(shè)“從該校所有學(xué)生中任取一人，其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)”為事件，則.所以從該校所有學(xué)生中任取一人，其2017年12月恰參加了2次學(xué)校組織的公益活動(dòng)的概率約為.（Ⅲ）可取0,10,20,30,40.；；；；.所以隨機(jī)變量的分布列為：所以.17．解：（Ⅰ）證明：取中點(diǎn)，連接.因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，且.因?yàn)槭蔷匦?，是中點(diǎn)，所以，.所以為平行四邊形.所以.又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所以?因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?如圖建立直角坐標(biāo)系，所以，，，所以，.設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，所?令，所以，所以.又因?yàn)?，設(shè)與平面所成角為，所以.所以與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）因?yàn)閭?cè)棱底面，所以只要在上找到一點(diǎn)，使得，即可證明平面平面.設(shè)上存在一點(diǎn)，則，所以.因?yàn)椋粤?，即，所?所以在存在一點(diǎn)，使得平面平面，且.18．解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?由，可得或，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，沒有單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，的變化情況如下表：所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即，所以，所以.當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，所以恒成立等價(jià)于，即.所以，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．解：（Ⅰ）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離相等，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線.設(shè)的方程為，則，即.所以的軌跡方程為.（Ⅱ）設(shè)，則，所以直線的斜率為.設(shè)與平行，且與拋物線相切的直線為，由得，由得，所以，所以點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，整理得，所以直線過點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，直線的方程為，過點(diǎn)，綜上所述，直線過定點(diǎn).20．解：（Ⅰ），，.所以，，.（Ⅱ）（i）當(dāng)都是偶數(shù)時(shí)，是偶數(shù)，代入得到是偶數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是偶數(shù)；如此下去，可得到數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是偶，偶，偶，偶，…所以前2018項(xiàng)中共有0個(gè)奇數(shù).（ii）當(dāng)都是奇數(shù)時(shí)，是奇數(shù)，代入得到是偶數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是奇數(shù)；因?yàn)槭桥紨?shù)，代入得到是奇數(shù)；如此下去，可得到數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，…所以前2018項(xiàng)中共有1346個(gè)奇數(shù).（iii）當(dāng)是奇數(shù)，是偶數(shù)時(shí)，理由同（ii），可得數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，…所以前2018項(xiàng)中共有1345個(gè)奇數(shù).（iv）當(dāng)是偶數(shù)，是奇數(shù)時(shí)，理由同（ii），可得數(shù)列中項(xiàng)的奇偶情況是偶，奇，奇，偶，奇，奇，偶，奇，奇，…所以前2018項(xiàng)中共有1345個(gè)奇數(shù).綜上所述，前2018項(xiàng)中奇數(shù)的個(gè)數(shù)的最大值是1346.（Ⅲ）證明：因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以由（Ⅱ）知，不可能都是偶數(shù)，只能是偶奇奇，奇偶奇，奇奇偶三種情況.因?yàn)槭瞧鏀?shù)，且