第3節(jié)冪函數(shù)拓展研究數(shù)學(xué)通常把形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)．在初中學(xué)段，我們對(duì)其中的典型代表如已經(jīng)進(jìn)行了較為深入的研究．相比指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)冪函數(shù)的要求較低．課程標(biāo)準(zhǔn)只在初中的基礎(chǔ)上新增了這２個(gè)函數(shù)圖象，學(xué)生對(duì)冪函數(shù)缺少全面的認(rèn)識(shí)，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，引導(dǎo)他們對(duì)冪函數(shù)作一次更加深入的研究是本節(jié)要完成的任務(wù)．【實(shí)驗(yàn)1】研究?jī)绾瘮?shù)在第一象限的圖象對(duì)于冪函數(shù)，的不同取值可能會(huì)使得時(shí)函數(shù)沒有意義，但時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)都有定義．為了問題的研究方便，先研究?jī)绾瘮?shù)在第一象限的圖象．【探究步驟】1．在GGB的指令欄內(nèi)輸入“函數(shù)”，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置參數(shù)，范圍為默認(rèn)值，設(shè)置圖象顏色為紅色；2.拉動(dòng)滑桿，使值由緩慢增長(zhǎng)到，認(rèn)真觀察隨著值的增大，冪函數(shù)圖象的變化，總結(jié)出五種圖象類型（如圖3.3-1）.【實(shí)驗(yàn)2】研究時(shí)，冪函數(shù)的圖象類型通過任務(wù)一的研究，已經(jīng)得到了在第一象限的圖象為過點(diǎn)的減函數(shù)，其圖象向上向右方向分別與軸、軸無限接近．根據(jù)函數(shù)的定義，所有的冪函數(shù)在第四象限都沒有圖象．但時(shí)，它在第二、第三象限有圖象嗎？這些圖象有什么特點(diǎn)？【思考】所有的冪函數(shù)在第四象限都沒有圖象，這是為什么？【探究步驟】1．在GGB的指令欄內(nèi)輸入“”，在彈出的對(duì)話框中設(shè)置參數(shù)，范圍為默認(rèn)值，增量設(shè)為１，設(shè)置圖象顏色為紅色；2.拉動(dòng)滑桿，使值由緩慢增長(zhǎng)到，認(rèn)真觀察隨著值的增大，冪函數(shù)圖象的變化，可以發(fā)現(xiàn)取負(fù)奇數(shù)和負(fù)偶數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的是兩種不同的圖象類型，取負(fù)奇數(shù)時(shí)，圖象形狀都如圖3.3-2左圖所示，取負(fù)偶數(shù)時(shí)，圖象形狀都如圖3.3-2右圖所示；圖3.3-2圖3.3-23.當(dāng)為負(fù)數(shù)，又非整數(shù)時(shí)，情況比較復(fù)雜，感興趣的讀者可以依照上例進(jìn)行類似研究，此時(shí)可設(shè)，并設(shè)增量為．【說明】設(shè)置增量為1，意在考查取負(fù)整數(shù)時(shí)的函數(shù)圖象特點(diǎn)．【實(shí)驗(yàn)3】研究時(shí)，冪函數(shù)的圖象類型【探究步驟】1．設(shè)置參數(shù)為的整數(shù)，設(shè)置參數(shù)為的整數(shù)；2.在GGB的指令欄內(nèi)輸入“”，設(shè)置圖象顏色為紅色；3.固定，拉動(dòng)滑桿，使值逐次增大，觀察并記錄圖象變化，再分別固定，重復(fù)上面的動(dòng)作，可以得到時(shí)，冪函數(shù)圖象有３種類型，如圖3.3-3所示．【說明】設(shè)置參數(shù)為的整數(shù)，是為了使．圖3.3-3圖3.3-3【思考】怎么會(huì)出現(xiàn)這種情形呢？剛才在【實(shí)驗(yàn)2】的探究步驟３中，是不是也有可能出現(xiàn)這種情形？答案并不難懂，因?yàn)椋藭r(shí)隨著取值的改變，函數(shù)可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)，當(dāng)然也有可能不具有奇偶性，所以出現(xiàn)了以上三種圖象類型．【實(shí)驗(yàn)4】研究時(shí)，冪函數(shù)的圖象類型可模仿【實(shí)驗(yàn)3】進(jìn)行，研究結(jié)論也與【實(shí)驗(yàn)3】相似．【實(shí)驗(yàn)5】?jī)绾瘮?shù)綜合探究已知，求滿足條件實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】要求解不等式，首先考慮到的是代數(shù)方法：（1）如果，即時(shí)，不等式可化為，故此時(shí)不等式的解為；（2）如果，即時(shí)，不等式顯然不成立；（3）如果，即時(shí)，不等式可化為，故此時(shí)不等式的解為．綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為．當(dāng)然，也可以在同一坐標(biāo)系中分別作出的函數(shù)圖象，而后從圖象中找到答案．【探究步驟】從略【拓展探究1】如果不等式的解集為，試求滿足條件的整數(shù)．【分析】對(duì)于不等式的求解，要像上例分類討論已經(jīng)不容易處理．可考慮在同一坐標(biāo)系中分別作出的函數(shù)圖象，而后從圖象找到答案．【探究步驟】1.在GGB中分別作出的圖象，設(shè)置參數(shù)，且增量為1；2.拉動(dòng)滑桿，觀察當(dāng)取何值時(shí)，命題成立．經(jīng)觀察，可得當(dāng)取大于等于４的偶數(shù)時(shí)命題成立．【拓展探究2】如果，求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．【分析】可考慮在同一坐標(biāo)系中分別作出的函數(shù)圖象，而后從圖象找到答案．本題