-.z.初高中數(shù)學銜接知識點專題臨洮二中數(shù)學組董學峰*專題一數(shù)與式的運算【要點回憶】1．絕對值[1]絕對值的代數(shù)意義：．即．[2]絕對值的幾何意義：的距離．[3]兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示的距離．[4]兩個絕對值不等式:；．2．乘法公式我們在初中已經(jīng)學習過了以下一些乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．我們還可以通過證明得到以下一些乘法公式：[公式1][公式2](立方和公式)[公式3](立方差公式)說明:上述公式均稱為"乘法公式〞．3．根式[1]式子叫做二次根式，其性質(zhì)如下：(1)；(2)；(3)；(4)．[2]平方根與算術(shù)平方根的概念：叫做的平方根，記作，其中叫做的算術(shù)平方根．[3]立方根的概念：叫做的立方根，記為4．分式[1]分式的意義形如的式子，假設(shè)B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有以下性質(zhì)：〔1〕；〔2〕．[2]繁分式當分式的分子、分母中至少有一個是分式時，就叫做繁分式，如，說明：繁分式的化簡常用以下兩種方法：(1)利用除法法則；(2)利用分式的根本性質(zhì)．[3]分母〔子〕有理化把分母〔子〕中的根號化去，叫做分母〔子〕有理化．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根號的過程；而分子有理化則是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根號的過程【例題選講】例1解以下不等式：〔1〕〔2〕＞4．例2計算：〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕例3，求的值．例4，求的值．例5計算(沒有特殊說明，本節(jié)中出現(xiàn)的字母均為正數(shù))：〔1〕 〔2〕〔3〕 〔4〕例6設(shè)，求的值．例7化簡：〔1〕〔2〕〔1〕解法一：原式=解法二：原式=〔2〕解：原式=說明：(1)分式的乘除運算一般化為乘法進展，當分子、分母為多項式時，應先因式分解再進展約分化簡；(2)分式的計算結(jié)果應是最簡分式或整式．【穩(wěn)固練習】解不等式設(shè)，求代數(shù)式的值．當，求的值．設(shè)，求的值．計算6．化簡或計算： (1) (2) (3)(4)*專題二因式分解【要點回憶】因式分解是代數(shù)式的一種重要的恒等變形，它與整式乘法是相反方向的變形．在分式運算、解方程及各種恒等變形中起著重要的作用．是一種重要的根本技能．因式分解的方法較多，除了初中課本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，還有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分組分解法等等．1．公式法常用的乘法公式：[1]平方差公式：；[2]完全平方和公式：；[3]完全平方差公式：．[4][5](立方和公式)[6](立方差公式)由于因式分解與整式乘法正好是互為逆變形，所以把整式乘法公式反過來寫，運用上述公式可以進展因式分解．2．分組分解法從前面可以看出，能夠直接運用公式法分解的多項式，主要是二項式和三項式．而對于四項以上的多項式，如既沒有公式可用，也沒有公因式可以提?。虼?，可以先將多項式分組處理．這種利用分組來因式分解的方法叫做分組分解法．分組分解法的關(guān)鍵在于如何分組．常見題型：〔1〕分組后能提取公因式〔2〕分組后能直接運用公式3．十字相乘法〔1〕型的因式分解這類式子在許多問題中經(jīng)常出現(xiàn)，其特點是：①二次項系數(shù)是1；②常數(shù)項是兩個數(shù)之積；③一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)之和．∵，∴運用這個公式，可以把*些二次項系數(shù)為1的二次三項式分解因式．〔2〕一般二次三項式型的因式分解由我們發(fā)現(xiàn)，二次項系數(shù)分解成，常數(shù)項分解成，把寫成，這里按斜線穿插相乘，再相加，就得到，如果它正好等于的一次項系數(shù)，則就可以分解成，其中位于上一行，位于下一行．這種借助畫十字穿插線分解系數(shù)，從而將二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必須注意，分解因數(shù)及十字相乘都有多種可能情況，所以往往要經(jīng)過屢次嘗試，才能確定一個二次三項式能否用十字相乘法分解．4．其它因式分解的方法其他常用的因式分解的方法：〔1〕配方法〔2〕拆、添項法【例題選講】例1〔公式法〕分解因式：(1)；(2)例2〔分組分解法〕分解因式：〔1〕〔2〕例3〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1)(2)(3) (4)解：〔1〕〔2〕〔3〕分析：把看成的二次三項式，這時常數(shù)項是，一次項系數(shù)是，把分解成與的積，而，正好是一次項系數(shù)．解：(4)由換元思想，只要把整體看作一個字母，可不必寫出，只當作分解二次三項式．解：例4〔十字相乘法〕把以下各式因式分解：(1) ；(2)解：(1) (2) 說明：用十字相乘法分解二次三項式很重要．當二次項系數(shù)不是1時較困難，具體分解時，為提高速度，可先對有關(guān)常數(shù)分解，穿插相乘后，假設(shè)原常數(shù)為負數(shù)，用減法〞湊〞，看是否符合一次項系數(shù)，否則用加法〞湊〞，先〞湊〞絕對值，然后調(diào)整，添加正、負號．例5〔拆項法〕分解因式【穩(wěn)固練習】1．把以下各式分解因式：(1) (2)(3) (4) (5)2．，求代數(shù)式的值．3．現(xiàn)給出三個多項式，，，，請你選擇其中兩個進展加法運算，并把結(jié)果因式分解.4．，求證：．*專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系【要點回憶】1．一元二次方程的根的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：．由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的根的判別式，表示為：對于一元二次方程a*2＋b*＋c＝0〔a≠0〕，有[1]當Δ0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：；[2]當Δ0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：；[3]當Δ0時，方程沒有實數(shù)根．2．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系定理：如果一元二次方程的兩個根為，則：說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀的法國數(shù)學家韋達發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為〞韋達定理〞．上述定理成立的前提是．特別地，對于二次項系數(shù)為1的一元二次方程*2＋p*＋q＝0，假設(shè)*1，*2是其兩根，由韋達定理可知*1＋*2＝－p，*1·*2＝q，即p＝－(*1＋*2)，q＝*1·*2，所以，方程*2＋p*＋q＝0可化為*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0，由于*1，*2是一元二次方程*2＋p*＋q＝0的兩根，所以，*1，*2也是一元二次方程*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．因此有以兩個數(shù)*1，*2為根的一元二次方程〔二次項系數(shù)為1〕是*2－(*1＋*2)*＋*1·*2＝0．【例題選講】例1關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)以下條件，分別求出的范圍： 〔1〕方程有兩個不相等的實數(shù)根； 〔2〕方程有兩個相等的實數(shù)根 〔3〕方程有實數(shù)根； 〔4〕方程無實數(shù)根．例2實數(shù)、滿足，試求、的值．例3假設(shè)是方程的兩個根，試求以下各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)．例4是一元二次方程的兩個實數(shù)根．(1)是否存在實數(shù)，使成立？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，請說明理由．(2)求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值．解：(1)假設(shè)存在實數(shù)，使成立．∵一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴，又是一元二次方程的兩個實數(shù)根，∴∴，但．∴不存在實數(shù)，使成立．(2)∵∴要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為．【穩(wěn)固練習】1．假設(shè)是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D．2．假設(shè)是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定3．設(shè)是方程的兩實根，是關(guān)于的方程的兩實根，則=_____，=_____．4．實數(shù)滿足，則=_____，=_____，=_____．5．關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根的平方和等于11，求證：關(guān)于的方程有實數(shù)根．6．假設(shè)是關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根，且都大于1． (1)求實數(shù)的取值范圍；(2)假設(shè)，求的值．*專題四平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)【要點回憶】1．平面直角坐標系[1]組成平面直角坐標系。叫做軸或橫軸，叫做軸或縱軸，軸與軸統(tǒng)稱坐標軸，他們的公共原點稱為直角坐標系的原點。[2]平面直角坐標系內(nèi)的對稱點：對稱點或?qū)ΨQ直線方程對稱點的坐標軸軸原點點直線直線直線直線2．函數(shù)圖象[1]一次函數(shù)：稱是的一次函數(shù)，記為：(k、b是常數(shù)，k≠0)特別的，當=0時，稱是的正比例函數(shù)。[2]正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)y=k*(k是常數(shù)，k≠0)的圖象是的一條直線，當時，圖象過原點及第一、第三象限，y隨*的增大而；當時，圖象過原點及第二、第四象限，y隨*的增大而．[3]一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k、b是常數(shù)，k≠0)的圖象是過點(0，b)且與直線y=k*平行的一條直線.設(shè)(k≠0)，則當時，y隨*的增大而；當時，y隨*的增大而．[4]反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函數(shù)(k≠0)是雙曲線，當時，圖象在第一、第三象限，在每個象限中，y隨*的增大而；當時，圖象在第二、第四象限.，在每個象限中，y隨*的增大而．雙曲線是軸對稱圖形，對稱軸是直線與；又是中心對稱圖形，對稱中心是原點．【例題選講】例1、，根據(jù)以下條件，求出、點坐標．(1)、關(guān)于*軸對稱；(2)、關(guān)于y軸對稱；(3)、關(guān)于原點對稱．例2一次函數(shù)y＝k*＋2的圖象過第一、二、三象限且與*、y軸分別交于、兩點，O為原點，假設(shè)ΔAOB的面積為2，求此一次函數(shù)的表達式。例3如圖，反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象交于，兩點．〔1〕求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；〔2〕根據(jù)圖象答復：當取何值時，反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值．解：〔1〕在的圖象上，，又在的圖象上，，即，解得：，，反比例函數(shù)的解析式為，一次函數(shù)的解析式為，〔2〕從圖象上可知，當或時，反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，所以反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值。【穩(wěn)固練習】1．函數(shù)與在同一坐標系內(nèi)的圖象可以是〔〕2．如圖，平行四邊形ABCD中，A在坐標原點，D在第一象限角平分線上，又知，，求點的坐標．3．如圖，直線與雙曲線交于兩點，且點的橫坐標為．〔1〕求的值；〔2〕過原點的另一條直線交雙曲線于兩點〔點在第一象限〕，假設(shè)由點為頂點組成的四邊形面積為，求點的坐標．*專題五二次函數(shù)【要點回憶】1．二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c的圖像和性質(zhì)問題[1]函數(shù)y＝a*2與y＝*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？問題[2]函數(shù)y＝a(*＋h)2＋k與y＝a*2的圖象之間存在怎樣的關(guān)系？由上面的結(jié)論，我們可以得到研究二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象的方法：由于y＝a*2＋b*＋c＝a(*2＋)＋c＝a(*2＋＋)＋c－，所以，y＝a*2＋b*＋c(a≠0)的圖象可以看作是將函數(shù)y＝a*2的圖象作左右平移、上下平移得到的，二次函數(shù)y＝a*2＋b*＋c(a≠0)具有以下性質(zhì)：[1]當a＞0時，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著*的增大而；當時，y隨著*的增大而；當時，函數(shù)取最小值．[2]當a＜0時，函數(shù)y＝a*2＋b*＋c圖象開口方向；頂點坐標為，對稱軸為直線；當時，y隨著*的增大而；當時，y隨著*的增大而；當時，函數(shù)取最大值．上述二次函數(shù)的性質(zhì)可以分別通過上圖直觀地表示出來．因此，在今后解決二次函數(shù)問題時，可以借助于函數(shù)圖像、利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決問題．2．二次函數(shù)的三種表示方式[1]二次函數(shù)的三種表示方式：〔1〕．一般式：；〔2〕．頂點式：；〔3〕．交點式：．說明：確定二此函數(shù)的關(guān)系式的一般方法是待定系數(shù)法，在選擇把二次函數(shù)的關(guān)系式設(shè)成什么形式時，可根據(jù)題目中的條件靈活選擇，以簡單為原則．二次函數(shù)的關(guān)系式可設(shè)如下三種形式：①給出三點坐標可利用一般式來求；②給出兩點，且其中一點為頂點時可利用頂點式來求．③給出三點，其中兩點為與*軸的兩個交點.時可利用交點式來求．3．分段函數(shù)一般地，如果自變量在不同取值范圍內(nèi)時，函數(shù)由不同的解析式給出，這種函數(shù)，叫作分段函數(shù)．【例題選講】例1求二次函數(shù)y＝－3*2－6*＋1圖象的開口方向、對稱軸、頂點坐標、最大值〔或最小值〕，并指出當*取何值時，y隨*的增大而增大〔或減小〕？并畫出該函數(shù)的圖象．例2*種產(chǎn)品的本錢是120元/件，試銷階段每件產(chǎn)品的售價*〔元〕與產(chǎn)品的日銷售量y〔件〕之間關(guān)系如下表所示：*/元130150165y/件705035假設(shè)日銷售量y是銷售價*的一次函數(shù)，則，要使每天所獲得最大的利潤，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每天的銷售利潤是多少？例3函數(shù)，其中，求該函數(shù)的最大值與最小值，并求出函數(shù)取最大值和最小值時所對應的自變量*的值．例4根據(jù)以下條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式．〔1〕*二次函數(shù)的最大值為2，圖像的頂點在直線y＝*＋1上，并且圖象經(jīng)過點〔3，－1〕；〔2〕二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，且頂點到*軸的距離等于2；〔3〕二次函數(shù)的圖象過點(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)．例5在國內(nèi)投遞外埠平信，每封信不超過20g付郵資80分，超過20g不超過40g付郵資160分，超過40g不超過60g付郵資240分，依此類推，每封*g(0＜*≤100)的信應付多少郵資〔單位：分〕？寫出函數(shù)表達式，作出函數(shù)圖象．分析：由于當自變量*在各個不同的范圍內(nèi)時，應付郵資的數(shù)量是不同的．所以，可以用分段函數(shù)給出其對應的函數(shù)解析式．在解題時，需要注意的是，當*在各個小范圍內(nèi)〔如20＜*≤40〕變化時，它所對應的函數(shù)值〔郵資〕并不變化〔都是160分〕．解：設(shè)每封信的郵資為y〔單位：分〕，則y是*的函數(shù)．這個函數(shù)的解析式為由上述的函數(shù)解析式，可以得到其圖象如下列圖．【穩(wěn)固練習】1．選擇題：〔1〕把函數(shù)y＝－(*－1)2＋4的圖象的頂點坐標是〔〕〔A〕〔－1，4〕〔B〕〔－1，－4〕〔C〕〔1，－4〕〔D〕〔1，4〕〔2〕函數(shù)y＝－*2＋4*＋6的最值情況是〔〕〔A〕有最大值6〔B〕有最小值6〔C〕有最大值10〔D〕有最大值2〔3〕函數(shù)y＝2*2＋4*－5中，當－3≤*＜2時，則y值的取值范圍是〔〕〔A〕－3≤y≤1〔B〕－7≤y≤1〔C〕－7≤y≤11〔D〕－7≤y＜112．填空：〔1〕*二次函數(shù)的圖象與*軸交于A(－2，0)，B(1，0)，且過點C〔2，4〕，則該二次函數(shù)的表達式為．〔2〕*二次函數(shù)的圖象過點〔－1，0〕，〔0，3〕，〔1，4〕，則該函數(shù)的表達式為．3．根據(jù)以下條件，分別求出對應的二次函數(shù)的關(guān)系式．〔1〕二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A〔0，〕，B〔1，0〕，C〔，2〕；〔2〕拋物線的頂點為〔1，〕，且與y軸交于點〔0，1〕；〔3〕拋物線與*軸交于點M〔，0〕，〔5，0〕，且與y軸交于點〔0，〕；〔4〕拋物線的頂點為〔3，〕，且與*軸兩交點間的距離為4．4．如圖，*農(nóng)民要用12m的竹籬笆在墻邊圍出一塊一面為墻、另三面為籬笆的矩形地供他圈養(yǎng)小雞．墻的長度為6m，問怎樣圍才能使得該矩形面積最大？5．如下列圖，在邊長為2的正方形ABCD的邊上有一個動點P，從點A出發(fā)沿折線ABCD移動一周后，回到A點．設(shè)點A移動的路程為*，ΔPAC的面積為y．〔1〕求函數(shù)y的解析式；〔2〕畫出函數(shù)y的圖像；〔3〕求函數(shù)y的取值范圍．*專題六二次函數(shù)的最值問題【要點回憶】1．二次函數(shù)的最值．二次函數(shù)在自變量取任意實數(shù)時的最值情況(當時，函數(shù)在處取得最小值，無最大值；當時，函數(shù)在處取得最大值，無最小值．2．二次函數(shù)最大值或最小值的求法．第一步確定a的符號，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求頂點，頂點的縱坐標即為對應的最大值或最小值．3．求二次函數(shù)在*一范圍內(nèi)的最值．如：在〔其中〕的最值．第一步：先通過配方，求出函數(shù)圖象的對稱軸：；第二步：討論：[1]假設(shè)時求最小值或時求最大值，需分三種情況討論：①對稱軸小于即，即對稱軸在的左側(cè)；②對稱軸，即對稱軸在的內(nèi)部；③對稱軸大于即，即對稱軸在的右側(cè)。[2]假設(shè)時求最大值或時求最小值，需分兩種情況討論：①對稱軸，即對稱軸在的中點的左側(cè)；②對稱軸，即對稱軸在的中點的右側(cè)；說明：求二次函數(shù)在*一范圍內(nèi)的最值，要注意對稱軸與自變量的取值范圍相應位置，具體情況，參考例4。【例題選講】例1求以下函數(shù)的最大值或最小值．〔1〕；〔2〕．例2當時，求函數(shù)的最大值和最小值．例3當時，求函數(shù)的取值范圍．例4當時，求函數(shù)的最小值(其中為常數(shù))．分析：由于所給的范圍隨著的變化而變化，所以需要比較對稱軸與其范圍的相對位置．解：函數(shù)的對稱軸為．畫出其草圖．(1)當對稱軸在所給范圍左側(cè)．即時：當時，；(2)當對稱軸在所給范圍之間．即時： 當時，；(3)當對稱軸在所給范圍右側(cè)．即時：當時，．綜上所述：例5*商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)這種商品每天的銷售量(件)與每件的銷售價(元)滿足一次函數(shù)．(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤與每件銷售價之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)假設(shè)商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最適宜？最大銷售利潤為多少？【穩(wěn)固練習】1．拋物線，當=_____時，圖象的頂點在軸上；當=_____時，圖象的頂點在軸上；當=_____時，圖象過原點．2．用一長度為米的鐵絲圍成一個長方形或正方形，則其所圍成的最大面積為________．3．設(shè)，當時，函數(shù)的最小值是，最大值是0，求的值．4．函數(shù)在上的最大值為4，求的值．5．求關(guān)于的二次函數(shù)在上的最大值(為常數(shù))．*專題七不等式【要點回憶】1．一元二次不等式及其解法[1]定義：形如為關(guān)于的一元二次不等式．[2]一元二次不等式與二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系(簡稱：三個二次)．〔ⅰ〕一般地，一元二次不等式可以結(jié)合相應的二次函數(shù)、一元二次方程求解，步驟如下：(1)將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；(2)觀測相應的二次函數(shù)圖象．①如果圖象與軸有兩個交點，此時對應的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．則②如果圖象與軸只有一個交點，此時對應的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．則：③如果圖象與軸沒有交點，此時對應的一元二次方程沒有實數(shù)根(也可由根的判別式來判斷)．則：〔ⅱ〕解一元二次不等式的步驟是：(1)化二次項系數(shù)為正；(2)假設(shè)二次三項式能分解成兩個一次因式的積，則求出兩根．則"〞型的解為(俗稱兩根之外)；"〞型的解為(俗稱兩根之間)；(3)否則，對二次三項式進展配方，變成，結(jié)合完全平方式為非負數(shù)的性質(zhì)求解．2．簡單分式不等式的解法解簡單的分式不等式的方法：對簡單分式不等式進展等價轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為整式不等式，應當注意分母不為零.3．含有字母系數(shù)的一元一次不等式一元一次不等式最終可以化為的形式．[1]當時，不等式的解為：；[2]當時，不等式的解為：；[3]當時，不等式化為：；①假設(shè)，則不等式的解是全體實數(shù)；②假設(shè)，則不等式無解．【例題選講】例1解以下不等式：(1) (2)⑴解法一：原不等式可以化為：，于是：或所以，原不等式的解是．解法二：解相應的方程得：，所以原不等式的解是．(2)解法一：原不等式可化為：，即于是：，所以原不等式的解是．解法二：原不等式可化為：，即，解相應方程，得，所以原不等式的解是．說明：解一元二次不等式，實際就是先解相應的一元二次方程，然后再根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷出不等式的解．例2解以下不等式：(1) (2) (3)例3對于任意實數(shù)，恒為正數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．例4解以下不等式： (1) (2)例5求關(guān)于的不等式的解．解：原不等式可化為：(1)當時，，不等式的解為；(2)當時，．①時，不等式的解為；②時，不等式的解為；③時，不等式的解為全體實數(shù)．(3)當時，不等式無解．綜上所述：當或時，不等式的解為；當時，不等式的解為；當時，不等式的解為全體實數(shù)；當時，不等式無解．【穩(wěn)固練習】1．解以下不等式： (1) (2) (3) (4)2．解以下不等式： (1) (2)(3) (4)3．解以下不等式： (1) (2)4．解關(guān)于的不等式．5．關(guān)于的不等式的解是一切實數(shù)，求的取值范圍．6．假設(shè)不等式的解是，求的值．7．取何值時，代數(shù)式的值不小于0？●各專題參考答案●專題一數(shù)與式的運算參考答案例1〔1〕解法1：由，得；①假設(shè)，不等式可變?yōu)?，即；②假設(shè)，不等式可變?yōu)椋?，解得：．綜上所述，原不等式的解為．解法2：表示*軸上坐標為*的點到坐標為2的點之間的距離，所以不等式的幾何意義即為*軸上坐標為*的點到坐標為2的點之間的距離小于1，觀察數(shù)軸可知坐標為*的點在坐標為3的點的左側(cè)，在坐標為1的點的右側(cè)．所以原不等式的解為．解法3：，所以原不等式的解為．〔2〕解法一：由，得；由，得；①假設(shè)，不等式可變?yōu)?，即?，解得*＜0，又*＜1，∴*＜0；②假設(shè)，不等式可變?yōu)?，?＞4，∴不存在滿足條件的*；③假設(shè)，不等式可變?yōu)?，即?，解得*＞4．又*≥3，∴*＞4．綜上所述，原不等式的解為*＜0，或*＞4．解法二：如圖，表示*軸上坐標為*的點P到坐標為1的點A之間的距離|PA|，即|PA|＝|*－1|；|*－3|表示*軸上點P到坐標為2的點B之間的距離|PB|，即|PB|＝|*－3|．所以，不等式＞4的幾何意義即為|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知點P在點C(坐標為0)的左側(cè)、或點P在點D(坐標為4)的右側(cè)．所以原不等式的解為*＜0，或*＞4．例2〔1〕解：原式=說明：多項式乘法的結(jié)果一般是按*個字母的降冪或升冪排列．〔2〕原式=〔3〕原式=〔4〕原式=例3解：原式=例4解：原式=①②，把②代入①得原式=例5解：〔1〕原式= 〔2〕原式=說明：注意性質(zhì)的使用：當化去絕對值符號但字母的范圍未知時，要對字母的取值分類討論．〔3〕原式=〔4〕原式=例6解：原式=說明：有關(guān)代數(shù)式的求值問題：(1)先化簡后求值；(2)當直接代入運算較復雜時，可根據(jù)結(jié)論的構(gòu)造特點，倒推幾步，再代入條件，有時整體代入可簡化計算量．【穩(wěn)固練習】1．2．3．或 4．5．6．專題二因式分解答案例1分析：(1)中應先提取公因式再進一步分解；(2)中提取公因式后，括號內(nèi)出現(xiàn)，可看著是或．解：(1)．(2)例2〔1〕分析：按照原先分組方式，無公因式可提，需要把括號翻開后重新分組，然后再分解因式．解：〔2〕分析：先將系數(shù)2提出后，得到，其中前三項作為一組，它是一個完全平方式，再和第四項形成平方差形式，可繼續(xù)分解因式．解：例5解：【穩(wěn)固練習】1．．2．；3．其他情況如下：；.4．專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習題答案例1解：∵，∴(1)；(2)； (3)；(4)．例2解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得：由于是實數(shù)，所以上述方程有實數(shù)根，因此：，代入原方程得：．綜上知：例3解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1)(2)(3)(4)說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，，等等．韋達定理表達了整體思想．【穩(wěn)固練習】1．A；2．A；3．；4．；5． (1)當時，方程為，有實根；(2)當時，也有實根．6．(1)； (2)．專題四平面直角坐標系、一次函數(shù)、反比例函數(shù)參考答案例1解：(1)因為、關(guān)于*軸對稱，它們橫坐標一樣，縱坐標互為相反數(shù)，所以，，則、．(2)因為、關(guān)于y軸對稱，它們橫坐標互為相反數(shù)，縱坐標一樣，所以，，，則、．(3)因為、關(guān)于原點對稱，它們的橫縱坐標都互為相反數(shù)，所以，，則、．例2分析：因為直線過第一、三象限，所以可知k>0，又因為b＝2，所以直線與y軸交于〔0，2〕，即可知OB＝2，而ΔAOB的面積為2，由此可推算出OA＝2，而直線過第二象限，所以A點坐標為〔－2，0〕，由A、B兩點坐標可求出此一次函數(shù)的表達式。解：∵B是直線y＝k*＋2與y軸交點，∴B〔0，2〕，∴OB＝2，，過第二象限，【穩(wěn)固練習】1．B2．D(2，2)、C(8，2)、B(6，0)．3．〔1〕．〔2〕點的坐標是或．專題五二次函數(shù)參考答案例1解：∵y＝－3*2－6*＋1＝－3(*＋1)2＋4，∴函數(shù)圖象的開口向下；對稱軸是直線*＝－1；頂點坐標為(－1，4)；當*＝－1時，函數(shù)y取最大值y＝4；當*＜－1時，y隨著*的增大而增大；當*＞－1時，y隨著*的增大而減?。徊捎妹椟c法畫圖，選頂點A(－1，4))，與*軸交于點B和C，與y軸的交點為D(0，1)，過這五點畫出圖象〔如圖2－5所示〕．說明：從這個例題可以看出，根據(jù)配方后得到的性質(zhì)畫函數(shù)的圖象，可以直接選出關(guān)鍵點，減少了選點的盲目性，使畫圖更簡便、圖象更準確．例2分析：由于每天的利潤＝日銷售量y×(銷售價*－120)，日銷售量y又是銷售價*的一次函數(shù)，所以，欲求每天所獲得的利潤最大值，首先需要求出每天的利潤與銷售價*之間的函數(shù)關(guān)系，然后，再由它們之間的函數(shù)關(guān)系求出每天利潤的最大值．解：由于y是*的一次函數(shù)，于是，設(shè)y＝k*＋〔B〕，將*＝130，y＝70；*＝150，y＝50代入方程，有解得k＝－1，b＝200．∴y＝－*＋200．設(shè)每天的利潤為z〔元〕，則z＝(－*+200)(*－120)＝－*2＋320*－24000＝－(*－160)2＋1600，∴當*＝160時，z取最大值1600．答：當售價為160元/件時，每天的利潤最大，為1600元．例3分析：本例中函數(shù)自變量的范圍是一個變化的范圍，需要對a的取值進展討論．解：〔1〕當a＝－2時，函數(shù)y＝*2的圖象僅僅對應著一個點(－2，4)，所以，函數(shù)的最大值和最小值都是4，此時*＝－2；〔2〕當－2＜a＜0時，由圖2．2－6①可知，當*＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當*＝a時，函數(shù)取最小值y＝a2；〔3〕當0≤a＜2時，由圖2．2－6②可知，當*＝－2時，函數(shù)取最大值y＝4；當*＝0時，函數(shù)取最小值y＝0；〔4〕當a≥2時，由圖2．2－6③可知，當*＝a時，函數(shù)取最大值y＝a2；當*＝0時，函數(shù)取最小值y＝0．說明：在本例中，利用了分類討論的方法，對a的所有可能情形進展討論．此外，本例中所研究的二次函數(shù)的自變量的取值不是取任意的實數(shù)，而是取局部實數(shù)來研究，在解決這一類問題時，通常需要借助于函數(shù)圖象來直觀地解決問題．例4〔1〕分析：在解本例時，要充分利用題目中所給出的條件——最大值、頂點位置，從而可以將二次函數(shù)設(shè)成頂點式，再由函數(shù)圖象過定點來求解出系數(shù)a．解：∵二次函數(shù)的最大值為2，而最大值一定是其頂點的縱坐標，∴頂點的縱坐標為2．又頂點在直線y＝*＋1上，所以，2＝*＋1，∴*＝1．∴頂點坐標是〔1，2〕．設(shè)該二次函數(shù)的解析式為，∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點〔3，－1〕，∴，解得a＝－2．∴二次函數(shù)的解析式為，即y＝－2*2＋8*－7．說明：在解題時，由最大值確定出頂點的縱坐標，再利用頂點的位置求出頂點坐標，然后設(shè)出二次函數(shù)的頂點式，最終解決了問題．因此，在解題時，要充分挖掘題目所給的條件，并巧妙地利用條件簡捷地解決問題．〔2〕分析一：由于題目所給的條件中，二次函數(shù)的圖象所過的兩點實際上就是二次函數(shù)的圖象與*軸的交點坐標，于是可以將函數(shù)的表達式設(shè)成交點式．解法一：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴可設(shè)二次函數(shù)為y＝a(*＋3)(*－1)(a≠0)，展開，得y＝a*2＋2a*－3a，頂點的縱坐標為，由于二次函數(shù)圖象的頂點到*軸的距離2，∴|－4a|＝2，即a＝．所以，二次函數(shù)的表達式為y＝，或分析二：由于二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，所以，對稱軸為直線*＝－1，又由頂點到*軸的距離為2，可知頂點的縱坐標為2，或－2，于是，又可以將二次函數(shù)的表達式設(shè)成頂點式來解，然后再利用圖象過點(－3，0)，或(1，0)，就可以求得函數(shù)的表達式．解法二：∵二次函數(shù)的圖象過點(－3，0)，(1，0)，∴對稱軸為直線*＝－1．又頂點到*軸的距離為2，∴頂點的縱坐標為2，或－2．于是可設(shè)二次函數(shù)為