信號檢測與估計習題2-5?設(shè)｛%"）｝與卜（。｝都為平穩(wěn)隨機過程,通過圖2.9的調(diào)制系統(tǒng)后,輸出為卜⑺卜（1）求上⑺｝的自相關(guān)函數(shù)；（2）當凡⑺=號⑺，勺⑺=0時，證明：&(r)=7?v(r)coscot2-5Icoscotx(t)X——圖2.9解：(1)z?)=x(t)coscot-y⑺sincotRz&/2)=E{z(Gz?2)}=￡{□(%)coscotx-yg)sin^][x(r2)coscot?-y仁)sincot2]}=Rx(44)coscot[coscot2+%,(4J2)sincotxsincot2-A1V(4,Z2)coscot}sincot2-Rxx(t},t2)coscot2sincot]因為1⑺,y⑺為平穩(wěn)隨機過程,上式二R、⑺cosa)t}coscot?+R、(r)sina)t}sina)t2-/?n(r)coscot}sina)t2-7?vv(r)coscot2sina)t}(2)Rx(r)=號(頊勺⑺=0,則0。)=0可得，凡⑺=7?v(r)[cos69?1coscot2+sincot}sincot2]=&⑺cosgt2-7.假設(shè)線性系統(tǒng)如圖2.11所示：輸入端上⑺｝與卜（3為聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機過程，輸出分別為｛%（，）｝和｛%（%）｝。（1）求輸出端互相關(guān)函數(shù)4”（7）與輸入端互相關(guān)函數(shù)4*（7）的關(guān)系式；（2）若｛%?）=3（，）+%2（。｝，作用到?jīng)_激響應為"W的線性時不變系統(tǒng)，輸出為卜⑺｝，求｛丁⑺｝的均值，自相關(guān)函數(shù)以及功率譜密度。必⑺解：（1）輸出端自相關(guān)函數(shù)：4仍⑺=￡｛X&）%。2）｝=￡｛%（Gj尤2。2））zrr ％（‘2+A'）—"2（'2）1二比外⑴!巴 工 ｝=limA/->0E｛再Q(mào)J九2（G+A。一%。1）元2（12）｝=limA/->0d△tRxx(r-A?)-Rxv(r)

Ai '人[42、'△tdr(2)輸出y⑺=x(0*h(t)=$⑺*h(t)+x2(t)*h(t)均值mv(Z)=E{y(t)}=E{J/z(r)x,(t-T)dr]+￡,{j/z(r)x2(?-r)t/r}r+8 ,+oo=I/z(r)mVj(?-T)dr+I/z(r)mvs(t-r)dr=/z⑺*[%⑺+叫⑺]因為石⑺,馬⑺為聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機過程，則%⑺=(%+機"[g)dr=(m/+mQH(0)自相關(guān)函數(shù)4(討2)=￡{處)>。2)}=門J-00J-+00h(T])h(T2)Rx(l-T]+T2)dT}dl2-<o=匚[：/O?2)[4?—A+子2)+&?—彳+J)+%?—%+72)+ ?一7+了2)]八曲2功率譜密度函數(shù)又,S,⑷=匚&⑺e-[4T=Q3)+%⑷+%3)+葭(⑼則Sy(①)MH(j⑹|2S/(⑷HH(jco)|2區(qū)(助+S.(m+S.(助+S2(助]2-10.線性時不變系統(tǒng)輸入｛%(〃)｝與輸出卜(〃)｝的關(guān)系為乂司=①色-1)+法(〃)，其中°力為常數(shù)，這是一個一階AR模型，若卜(〃)｝是功率譜密度為S/Q)=l的平穩(wěn)隨機過程，求：(1)卜(〃)｝的自相關(guān)函數(shù)；(2)”的功率譜密度。解：1)Sx(69)=1=>RX(m)=8(m)>將y(n)—?y(n—1)與相乘，石｛[〉(〃)紗(〃1)y(n-m)-ay[n-m-l)|=E^b2x[n)x[n-m^,貝!)可得：(l+“2)[(jn)—aRY(m—1)—(m+1)=Z?2^(m),則有(1+朋)J(0)⑴.從+ ⑵=0(1+*/(T)_aRY(-2)-aRY(0)=0Ry(m)=Ry(-m)由方程組可求得R(O),R⑴與R(2),并根據(jù)這三個值與遞推關(guān)系得%1%)=V。 (這個答案要改)1—(12)對 (〃-1)=灰(〃)兩邊作Fourier變換，有y(Q)(l-?e_7n)=Z?X(Q),可得“(刈=黑=產(chǎn)篦，則匹9)=|”(網(wǎng)的,9)=」^。X(O)1-aeJ I-ae~jQ2-12.均值為零、方差為er/的白噪聲序列卜(〃)｝先通過一個平均器，其輸出｛y(冏)｝與｛%(")｝的關(guān)系為 +%(八T)］，b(〃)｝再通過一個差分器,其輸出卜⑺｝與卜(明的關(guān)系為z(〃)=y(〃)-1),求｛z(叫的.%2、自相關(guān)函目凡(左)以及其功率譜密度工(0。解：由題目中條件可知，兩個系統(tǒng)的單位沖激響應分別為口口4(〃)=!S5)+LS(〃T)平均器：2 2 差分器：4伽)=3(〃)-3(〃-1)故而，整個系統(tǒng)的沖激響應為〃伽)=%(〃)*%(〃)=+必一1)卜,⑺-8{n-1)]=-2)]輸出序列的均值為：TOC\o"1-5"\h\z? 鐺 +oomz=￡(z(〃))=E{Zh(k)x(n-kX=映.￡h(k)=0k=s k-az=E{z(n)-mz}2=E{z(n)}2=6(0)H(jw)=-(l-e~2jw)-e%?”e2與=：(i_2cos2w+i)=Li_cos2卬)輸出的功率譜密度函數(shù)為： 2Sz(卬)=%O)=g(1一cos2w)cr；自相關(guān)函數(shù)為：用(扃=E{z(4)z(〃2)}=^{-W?1)-x(?1-2)]-l[x(n2)_*(%_2)]}N 21 2二)7[23(左)一況女+2)-5(左一2)]b；=Rz(0)=—cr^2-16.線性時不變系統(tǒng)輸入｛x(4與輸出卜何)｝的關(guān)系為y(")=%(n)+4y("_l)+b2y(九—2),這是一個二階AR模型，｛%(")｝是零均值、方差為巴2的白噪聲序列。(1)求使卜(")｝平穩(wěn)的條件;(2)證明卜(叫的功率譜密度為:l+Z7,2+/?22-2/7j(1-Z?2)cos69-2/72cos2^(3)求卜(〃)｝的自相關(guān)函數(shù)。(3)求卜(〃)｝的自相關(guān)函數(shù)。解：⑴y(〃)平穩(wěn)，則需系統(tǒng)為因果穩(wěn)定的。"(z)=系統(tǒng)的傳輸函數(shù):"(z)=1-^z-1-Z?2z'2(l-^z^Xl-^z-1)極點為:%24%24土也2+4打2為使系統(tǒng)平穩(wěn)，則需I%"<1。A，一(2)輸出的功率譜密度函數(shù)二矣系統(tǒng)傳輸函數(shù)”(加)=1系統(tǒng)傳輸函數(shù)”(加)=1X-b,e-jco-b2z-j2(0(1+b；+bf-2blcosco-2b2cos2co+2bM?cos⑼Sy(M=|"(a)|213)Sy(M=|"(a)|213)二