-PAGE4-平行四邊形的存在性問題解題策略專題攻略解平行四邊形的存在性問題一般分三步：第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步畫圖，第三步計算．難點(diǎn)在于尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)尋找的恰當(dāng)，可以使解的個數(shù)不重復(fù)不遺漏，也可以使計算又好又快．如果已知三個定點(diǎn)，探尋平行四邊形的第四個頂點(diǎn)，符合條件的有3個點(diǎn)：以已知三個定點(diǎn)為三角形的頂點(diǎn)，過每個點(diǎn)畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個交點(diǎn)．如果已知兩個定點(diǎn)，一般是把確定的一條線段按照邊或?qū)蔷€分為兩種情況．例題解析例?如圖1-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2－2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，如果以點(diǎn)P、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．圖1-1【解析】P、A、C三點(diǎn)是確定的，過△PAC的三個頂點(diǎn)分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，產(chǎn)生3個符合條件的點(diǎn)D（如圖1-2）．由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得A(－3,0)，C(0,3)，P(－1,4)．由于A(－3,0)C(0,3)，所以P(－1,4)D1(2,7)．由于C(0,3)A(－3,0)，所以P(－1,4)D2(－4,1)．由于P(－1,4)C(0,3)，所以A(－3,0)D3(－2,－1)．我們看到，用坐標(biāo)平移的方法，遠(yuǎn)比用解析式構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便多了．圖1-2例?如圖2-1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝－x2+2x＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)M在這條拋物線上，點(diǎn)P在y軸上，如果以點(diǎn)P、M、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．圖2-1【解析】在P、M、A、B四個點(diǎn)中，A、B是確定的，以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)．由y＝－x2+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．①如圖2-2，當(dāng)AB是平行四邊形的對角線時，PM與AB互相平分，因此點(diǎn)M與點(diǎn)P關(guān)于AB的中點(diǎn)（1,0）對稱，所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2．此時M(2，3)．②如圖2-3，圖2-4，當(dāng)AB是平行四邊形的邊時，PM//AB，PM＝AB＝4．所以點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4或－4．所以M(4,－5)或(－4,－21)．我們看到，因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)是確定的，在解圖2-2時，根據(jù)對稱性先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；在解圖2-3和圖2-4時，根據(jù)平移先確定了點(diǎn)M的橫坐標(biāo)．圖2-2圖2-3圖2-4例?如圖3-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝－x＋4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)D，使得以O(shè)、A、C、D為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．圖3-1【解析】由y＝－x＋4，得A(4,0)，直線AB與坐標(biāo)軸的夾角為45°．在O、A、C、D四個點(diǎn)中，O、A是確定的，以線段OA為分類標(biāo)準(zhǔn)．如圖3-2，如果OA是菱形的對角線，那么點(diǎn)C在OA的垂直平分線上，點(diǎn)C(2,2)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,－2)．如果OA是菱形的邊，那么又存在兩種情況：如圖3-3，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與直線AB的交點(diǎn)恰好為點(diǎn)B(0,4)，那么正方形AOCD的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(4,4)．如圖3-4，以A為圓心，AO為半徑的圓與直線AB有兩個交點(diǎn)C和C′，點(diǎn)C和C′向左平移4個單位得到點(diǎn)D和D′．圖6-1【解析】沒有人能精確畫好拋物線，又怎么平移拋物線呢？我們?nèi)未嬲妫瑢、B、D、E、M、N六個點(diǎn)及它們的坐標(biāo)在圖中都標(biāo)注出來（如圖6-2），如果您看到了△MAB和△NED是邊長為2的等邊三角形，那么平移就簡單了．如圖6-3，在兩個等邊三角形平移的過程中，AM與EN保持平行且相等，所以四邊形ANEM保持平行四邊形的形狀，點(diǎn)O為對稱中心．【解法一】如果∠ANE＝90°，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，可得AE＝2EN＝4．而AE＝AO＋OE＝2AO，所以AO＝2．已知AB＝2，此時B、O重合（如圖6-4），所以m＝BO＝1．【解法二】如果對角線MN＝AE，那么OM＝OA，此時△MAO是等邊三角形．所以等邊三角形MAB與△MAO重合．因此B、O重合，m＝BO＝1．【解法三】在平移的過程中，、，M，根據(jù)OA2＝OM2列方程(1＋m)2＝m2＋3．解得m＝1．圖6-2圖6-3圖6-4例?如圖7-1，菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，F(xiàn)、H分別是AB、CD的中點(diǎn)，E、G分別在AD、BC上，且AE＝CG．（1）求證四邊形EFGH是平行四邊形；（2）當(dāng)四邊形EFGH是矩形時，求AE的長；（3）當(dāng)四邊形EFGH是菱形時，求AE的長．圖7-1【解析】（1）證明三角形全等得EF＝GH和FG＝HE大家最熟練了．（2）平行四邊形EFGH的對角線FH＝4是確定的，當(dāng)EG＝FH＝4時，四邊形EFGH是矩形．以FH為直徑畫圓，你看看，這個圓與AD有幾個交點(diǎn)，在哪里？如圖7-2．如圖7-3，當(dāng)E為AD的中點(diǎn)時，四邊形ABGE和四邊形DCGE都是平行四邊形．如圖7-4，當(dāng)E與A重合時，△ABG與△DCE都是等邊三角形．（3）如果平行四邊形EFGH的對角線EG與FH互相垂直，那么四邊形EFGH是菱形．過FH的中點(diǎn)O畫FH的垂線，EG就產(chǎn)生了．在Rt△AOE中，∠OAE＝60°，AO＝2，此時AE＝1．又一次說明了如果會畫圖，答案就在圖形中．圖7-2圖7-3圖7-4圖7-5例?如圖8-1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A(4,0)、B(0,3)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m)，過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)D為x軸正半軸的一動點(diǎn)，且滿足OD＝2OC，連結(jié)DE，以DE、DA為邊作平行四邊形DEFA．（1）如果平行四邊形DEFA為矩形，求m的值；（2）如果平行四邊形DEFA為菱形，請直接寫出m的值．圖8-1【解析】這道題目我們著重講解怎樣畫示意圖．我們注意到，點(diǎn)A和直線AB（直線l）是確定的．如圖8-2，先畫x軸，點(diǎn)A和直線l．在直線l上取點(diǎn)E，以AE為對角線畫矩形DEFA．如圖8-3，過點(diǎn)E畫直線l的垂線．畫∠MDN，使得DN＝2MN，MN⊥DN，產(chǎn)生點(diǎn)C．如圖8-4，過點(diǎn)C畫y軸，產(chǎn)生點(diǎn)O和點(diǎn)B．圖8-2