有價證券數(shù)學(xué)建模競賽C題答西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從C/D中選擇一項填寫）：C 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜何靼茶F路職業(yè)技術(shù)學(xué)院（龍首校區(qū)）參賽隊員(打印并簽名)：1.張玉輦（組長）2.張斌3.崔超指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：日期：2011年6賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：西安鐵路職業(yè)技術(shù)學(xué)院第一屆數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進(jìn)行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注學(xué)院統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：學(xué)院評閱編號（由全國組委會評閱前進(jìn)行編號）：PAGE28有價證券投資決策優(yōu)化模型摘要 針對有價證券投資的決策問題，我們在充分理解題意的基礎(chǔ)上，提出合理的假設(shè)并采用了連續(xù)線性規(guī)劃模型對本題進(jìn)行了討論和求解，解決了以下問題。對于問題一，該問題的目標(biāo)是有價證券回收的利息為最高，要做的決策是投資計劃，即應(yīng)購買的各種證券的數(shù)量的分配。綜合考慮：特定證券購買、資金限制、平均信用等級、平均年限等條件，按照題目所求，依據(jù)決策變量、決策目標(biāo)和約束條件指定0-1變量建立0-1規(guī)劃模型，并用LINGO軟件求得應(yīng)向市政1(X1=218.18萬元）、政府1（X3=736.36萬元）、市政2(X5=45.45萬元)投資,才能獲得最大收益(Z=29.84萬元)。對于問題二，在引入借貸資金的情形下我們進(jìn)一步假設(shè)約束條件，建立了連續(xù)性優(yōu)化模型，并與問題一進(jìn)行比較得出借貸資金利息比收益金額還要高，所以對于問題二用借貸資金投資是不劃算的。對于問題三的稅前收益發(fā)生的變動，我們又建立了線性規(guī)劃模型，解得在第一種情形下投資對象不變；在第二種情形下應(yīng)向市政1(X1=336萬元)、政府2（X4=648萬元）、市政2(X5=16萬元)投資，所得的收益為（Z=29.42萬元）。關(guān)鍵字：證券投資0-1規(guī)劃決策目標(biāo)連續(xù)線性規(guī)劃加權(quán)算術(shù)平均值二、模型假設(shè)1、假設(shè)證劵稅收政策、信用等級、到期年限、到期稅前收益在投資年限內(nèi)穩(wěn)定不變；2、假設(shè)該經(jīng)理投資不會受到年限過長而導(dǎo)致資金周轉(zhuǎn)困難的影響；3、假設(shè)各證劵的風(fēng)險損失率為零，無相互影響，且投資不需要任何交易費；4、假設(shè)所借貸資金的利率不變（利息等于所給的利率乘上借貸資金再乘上借貸時間）。三、符號說明符號說明單位Xi投資證劵的金額（i=1,2,3,4,5）（萬元）YJ是否投資證券（j=1,2,3,4,5）（萬元）Z投資之后所獲得的總收益（萬元）F借貸金額（萬元）T借貸時間（年）S貸款利息（萬元）R利潤變化量（萬元）表2四、問題分析根據(jù)現(xiàn)有的投資方式，為解決投資方案問題，運用0-1規(guī)劃和連續(xù)性規(guī)劃模型，根據(jù)客觀條件，來確定各種投資方案。利用線性規(guī)劃模型，得到最優(yōu)投資方案來解決已提出的問題，使該經(jīng)理的投資獲得最大的收益。 問題1：在前面假設(shè)成立的條件下，由題目給出的限制條件（市政證券的收益可以免稅；其他證券的收益按50%的稅率納稅，即政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少需購進(jìn)400萬元，所購證券的平均信用等級不超過1.4,所購證券的平均到期年限不超過5年）假設(shè)Xi(i=1,2,3,4,5)分別為證券A、證券B、證券C、證券D、證券E的投入資金,所獲得的純利潤為Z，假設(shè)稅前收益為年收益。對于平均信用等級和平均到期年限則需用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個信用等級乘以相應(yīng)的權(quán)值，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和。然后建立0-1規(guī)劃模型，利用LINGO軟件求解。問題2：該題又引入了借貸資金，我們假設(shè)借貸資金為F萬元,借貸時間為T=1。由問題2知借貸利率為2.75%，則借貸利息為0.0275F，因此需要用總利潤減去借貸利息所得到的值才為該經(jīng)理的純利潤。再與借貸利息相比，可以得出投入100萬元所得的收益。問題3：需要分兩種情形，第一種情形，在假設(shè)成立的條件下，同問題1一樣，只是把A證券的稅前收益增加為4.5%，同樣可以得到線性優(yōu)化模型。第二種情形，在假設(shè)成立的條件下，同問題1一樣，只是把C證券的稅前收益減少為4.8%，同樣可以得到線性優(yōu)化模型。 五、模型的建立與求解模型建立：對于問題1：在前面假設(shè)成立的條件下，由題目給出的限制條件（市政證券的收益可以免稅；其他證券的收益按50%的稅率納稅，即政府及代辦機(jī)構(gòu)的證券總共至少需購進(jìn)400萬元，所購證券的平均信用等級不超過1.4,所購證券的平均到期年限不超過5年）假設(shè)Xi(i=1,2,3,4,5)分別為證券A、證券B、證券C、證券D、證券E的投入資金,所獲得的總利潤為Z，假設(shè)稅前收益為年收益。對于平均信用等級和平均到期年限則需用加權(quán)算術(shù)平均值的算法求得，即用各個信用等級乘以相應(yīng)的權(quán)值，然后相加，所得之和再除以所有的權(quán)之和。我們建立了如下0-1規(guī)劃模型： 即MaxZ=0.043X1*Y1+(0.0540.5)X2*Y2+(0.050.5)X3*Y3+(0.0440.5)X4*Y4+0.045X5*Y5X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.t X2+X3+X4>=400(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5Xi>=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5(指定0-1變量) 模型整理得：MaxZ=0.043X1*Y1+0.027X2*Y2+0.025X3*Y3+0.022X4*Y4+0.045X5*Y5X1+X2+X3+X4+X5<=1000S.tX2+X3+X4>=4006X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0Xi>=0,i=1,2,3,4,5Yj=0或1，j=1,2,3,4,5(指定0-1變量)模型求解： （LINGO程序見附錄） 應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=29.84萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表： 表3五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法證券類型ABCDEZ投資金額（萬元）218.180736.34045.4529.84數(shù)值Y1Y2Y3Y4Y5投資對象10101由運算結(jié)果可以看出對于B證券和D證券不需要投資。對于B證券它的到期年限相對較長而且還需納50%的稅率，相對于其他證券類型這顯然是不理想的；對于D證券它的稅前收益相對較低也是不理想的；而A證券和C證券信用等級、到期年限都是較低的稅前收益也可以（A證券還可以免稅）；E證券信用等級較低，但到期年限較短可以適量投資。所以我們認(rèn)為這一優(yōu)化模型是合理的。模型建立：對于問題2：該題又引入了借貸資金，我們假設(shè)借貸資金為F萬元,借貸時間為T=1。由問題2知借貸利率為2.75%，則借貸利息為0.0275F，這樣需要用總利潤減去借貸利息所得值才為該經(jīng)理的純利潤。我們建立了以下線性優(yōu)化模型： 即：MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+F X2+X3+X4>=400S.t(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0 F<=100 T=0 模型整理得： MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.050.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5-0.0275F*T X1+X2+X3+X4+X5<=1000+F X2+X3+X4>=400S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0 F<=100 T=1模型求解：（LINGO程序見附錄） 應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=30.07萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法和借貸資金如下表：證券類型ABCDEF投資金額（萬元）240.000810.00050.00100.00表4五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法和借貸資金 有結(jié)果可以看出，同問題一的運算結(jié)果一樣對于B證券和D證券不需要投資。對于B證券它的到期年限相對較長而且還需納50%的稅率，相對于其他證券類型這顯然是不理想的；對于D證券它的稅前收益相對較低也是不理想的；在增加資金投入的情況下A證券和C證券、E證券相對問題一的結(jié)果幾乎是成比例增加的。因此，該模型也是合理的。 比較問題1和問題2，當(dāng)投資1000萬元所得純利潤Z=29.84，當(dāng)投資1100萬元資金所得純利潤Z=30.07。即當(dāng)多投資100萬元時，利潤多增加R=0.23萬元。而借貸100萬元所需要利息S=100*0.0275*1,即S>R，說明投入100萬元所得的收益為負(fù)值該經(jīng)理不應(yīng)貸款投資。 模型建立：對于問題3：第一種情形：在假設(shè)成立的條件下，同問題2一樣，只是把A證券的稅前收益增加為4.5%，同樣可以得到如下線性優(yōu)化模型：即：MaxZ=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5 X1+X2+X3+X4+X5<=1000 X2+X3+X4>=400S.t(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型整理得：MaxZ=0.045X1+0.027X2+0.025X3+0.022X4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解： （LINGO程序見附錄） 應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=30.27萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表：表5五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法證券類型ABCDE投資金額（萬元）218.180736.36045.45第二種情形：在假設(shè)成立的條件下，同問題2一樣，只是把C證券的稅前收益減少為4.8%，同樣可以得到如下線性優(yōu)化模型：即：MaxZ=0.043X1+(0.0540.5)X2+(0.0480.5)X3+(0.0440.5)X4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5<=1000 X2+X3+X4>=400S.t(2X1+2X2+X3+X4+5X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(X1+15X2+4X3+3X4+2X5)/(X1+X2+X3+X4+X5)<=5X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0 模型整理得：MaxZ=0.043X1+0.027X2+0.024X3+0.022X4+0.045X5X1+X2+X3+X4+X5<=1000X2+X3+X4>=400S.t6X1+6X2-4X3-X4+36X5<=04X1+10X2-X3-2X4-3X5<=0X1>=0，X2>=0，X3>=0，X4>=0，X5>=0模型求解：（LINGO程序見附錄） 應(yīng)用LINGO求解可得銀行經(jīng)理的最大收益為Z=29.42萬元，五種證券類型最優(yōu)投入的資金方法如下表：表6五種證券類型最優(yōu)投入的資金證券類型ABCDE投資金額（萬元）336.0000648.0016.00 對于第一種情形由運算結(jié)果分析，在證券A的稅前收益增加為4.5%的情況下，對于X1，X3,X5的投入金額沒有發(fā)生變化，只是總收益有所增加，所以該投資方案不需要改變。對于第二種運算結(jié)果分析，在證券C的稅前收益減少為4.8%的情況下，對于證券投資的種類發(fā)生了變化，投資對象變?yōu)榱薠1(市政)、X4(政府2)、X5(市政2)，所以投資方案應(yīng)改變。六、模型的優(yōu)缺點優(yōu)點：1.本文采用的方法，針對投資選擇可能出現(xiàn)的情況建立了3個數(shù)學(xué)模型，所采用的方案能夠?qū)τ趯嶋H的投資選擇給出相應(yīng)優(yōu)化，本方案具有較強(qiáng)的通用性。2.本方案也具有一般性，針對生活中的連續(xù)優(yōu)化問題也得到了推廣，如解決農(nóng)業(yè)種植、漁業(yè)養(yǎng)殖的優(yōu)化問題。3.所建線性規(guī)劃模型簡單易懂，方便使用。缺點：1.本文并未考慮到在金融危機(jī)發(fā)生的條件下能解決問題的方案。2.本文沒有對月稅前收益予以考慮。七、模型擴(kuò)展仿照文中思路，該模型可容易擴(kuò)展到更多的選擇對象，可以應(yīng)用于資本市場、風(fēng)險管理，也可以解決如奶制品的生產(chǎn)與銷售、農(nóng)業(yè)種植、漁業(yè)養(yǎng)殖的優(yōu)化問題。對于借貸資金也可以擴(kuò)展到分期借貸和小額借貸的情況。對于在信用等級、到期年限、到期稅前收益等因素發(fā)生變化時，解決思路相類似，但模型和求解都更復(fù)雜，可作進(jìn)一步研究。 八、參考文獻(xiàn)[1]、肖華勇，實用數(shù)學(xué)建模與軟件應(yīng)用，西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,2008.11[2]、姜啟源等編，數(shù)學(xué)模型，第3版，北京：高等教育出版社,2003.8[3]、/dkll/Zhdkjz/16696.html源程序附錄對于模型1：LINGO程序如下： Max=0.043*x1*y1+0.027*x2*y2+0.025*x3*y3+0.022*x4*y4+0.045*x5*y5;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;@BIN(y1);@BIN(y2);@BIN(y3);@BIN(y4);@BIN(y5);運算結(jié)果：Rows=10Vars=10Negervars=5Nonlinearrows=1Nonlinearvars=10Nonlinearconstraints=0Nonzeros=35Constraintnonz=23Density=0.318No.<:3No.=:0No.>:6,Obj=MAXSinglecols=5Localoptimalsolutionfoundatstep:6Objectivevalue:29.83636Branchcount:0VariableValueReducedCostX1218.18180.0000000Y11.0000002.045455X20.00000000.0000000Y21.0000000.0000000X3736.36360.0000000Y31.0000000.0000000X40.00000000.0000000Y41.0000000.0000000X545.454550.0000000Y51.0000000.0000000RowSlackorSurplusDualPrice129.836360.6181818E-032336.36360.000000030.00000000.00000004-0.4547474E-120.00000005-0.2273737E-120.00000006218.18180.000000070.00000000.00000008736.36360.000000090.00000000.00000001045.454550.0000000對于模型2：LINGO程序如下：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5-t*f*0.0275;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000+f;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;f<=100;t=1;運算結(jié)果：Rows=6Vars=6Negervars=0(allarelinear)Nonzeros=29Constraintnonz=20(11are+-1)DensitZ=0.690Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.220000E-011000.00No.<:4No.=:0No.>:1,Obj=MAX,GUBs<=2Singlecols=0Globaloptimalsolutionfoundatstep:10Objectivevalue:30.07000VariableValueReducedCostX1240.00000.0000000X20.00000000.3018182E-01X3810.00000.0000000X40.00000000.6363640E-03X550.000000.0000000T1.0000000.0000000F100.00000.0000000RowSlackorSurplusDualPrice130.070001.0000002410.00000.000000030.00000000.2983636E-0140.00000000.6181818E-0350.00000000.2363636E-0260.00000000.2336364E-0270.0000000-2.750000對于模型3：第一種情形：LINGO程序如下：Max=0.045*x1+0.027*x2+0.025*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=400;x1+x2+x3+x4+x5<=1000;6*x1+6*x2-4*x3-4*x4+36*x5<=0;4*x1+10*x2-x3-2*x4-3*x5<=0;X1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;運算結(jié)果：Rows=5Vars=5Negervars=0(allarelinear)Nonzeros=25Constraintnonz=18(9are+-1)DensitZ=0.833Smallestandlargestelementsinabsvalue=0.220000E-011000.00No.<:3No.=:0No.>:1,Obj=MAX,GUBs<=1Singlecols=0Globaloptimalsolutionfoundatstep:6Objectivevalue:30.27273VariableValueReducedCostX1218.18180.0000000X20.00000000.3436364E-01X3736.36360.0000000X40.00000000.2727279E-03X545.454550.0000000RowSlackorSurplusDualPrice130.272731.0000002336.36360.000000030.00000000.3027273E-0140.00000000.6363636E-0350.00000000.2727273E-02第二種情形：LINGO程序如下：Max=0.043*x1+0.027*x2+0.024*x3+0.022*x4+0.045*x5;x2+x3+x4>=400;x1