它反映隨機變量取值的平均水平，是隨機變量的一個重要的數(shù)字特征.復習:數(shù)學期望2023/5/271基本內(nèi)容：一、方差的定義二、方差的性質(zhì)第二節(jié)方差2023/5/272一、方差(Variance)1.問題的導入X

8910P

0.10.80.1Y

8910P0.40.20.4引例比較甲乙兩個射手的射擊水平分析乙甲但是乙射手的波動性較大,不夠穩(wěn)定.2023/5/273為了數(shù)學上的方便，如何描述這種差異呢？P(X=xi)=pi(i=1,2,‥‥‥)其平均射擊水平為E(X)，則他每次射擊的波動性為或|xi-E(X)|以[xi-E(X)]2代替|xi-E(X)|則該射手的平均射擊波動為xi-E(X)設某射手擊中的環(huán)數(shù)為隨機變量X，其分布律為2023/5/2742.方差(Variance或Dispersion)定義.設X是一隨機變量，則稱E[X-E(X)]2稱為X的方差,記作D(X)即方差的算術平方根稱為X的標準差，記作即若E[X－E(X)]2存在，2023/5/275注:(2)方差D(X)用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散的程度,反映了X偏離其數(shù)學期望E(X)的程度.(3)如果D(X)值越大(小)，表示X取值越分散(集中),以E(X)作為隨機變量X的代表性越差（好）.≥0;(1)由定義知，D(X)=E[X-E(X)]22023/5/2763.

方差的計算

(1)利用隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望公式離散隨機變量的方差連續(xù)隨機變量的方差2023/5/277(2)利用方差公式且E(X2)也存在,則由于定理：設隨機變量X的數(shù)學期望E(X)存在，2023/5/278解:例1.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~P(λ

)2023/5/279已求得例2.若X～U(a,b),求D(X).解:2023/5/2710解:例3.

若求D(X).已求得=E(X),其中X~e(1)2023/5/2711補充：例求D(X).2023/5/2712二、方差的性質(zhì)證:證:2023/5/2713證:2023/5/2714故

DXi

=

EXi

2-(EXi

)2∵

EXi=1·p+0·(1-p)

=p,且EXi2=p,則是n

次試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，=p–

p

2=p

(1

-p)=p

q，i=1,2,…,n因

X1,…,Xn

相互獨立，=

np

q.顯然

P(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p,=

n

p;

求方差D(X).解:例4.

設X服從二項分布B(n,p),設Xi為第i次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，即2023/5/2715U(a,

b)e(

)P(

)B(n,p)(0—1)

ppq

np

npq

常用隨機變量的期望與方差分布分布列或密度函數(shù)期望方差2023/5/2716例5.已知隨機變量X的數(shù)學期望E(X)與設隨機變量試證證：(標準化的隨機變量)都存在,且2023/5/2717n次隨機取值的平均值的期望不變令求解

取多次測量均值的理論依據(jù)但偏差比任一次取值的偏差縮小了n倍若被測物的真值為μ,n次重復測量可認為是互不影響的,且每次測量的結(jié)果Xi都在真值μ的附近波動

——(1)——(2)(1)表明

n次測量的算術平均值仍在真值μ附近取值,(2)則表明更加接近真值μ,

且

n越大,接近程度就越好.

例6設X1,X2,…,Xn相互獨立,——在對誤差要求較高的精密測量中

2023/5/2718(4)對于任意實數(shù)C∈R，有（書P93.8題）E(X-C)2≥D(X)當且僅當C=E(X)時,

E(X-C)2取得最小值D(X).2023/5/2719求證當且僅當C=E(X)時,

E(X-C)2取得最小值D(X).E(X-C)2≥D(X)證：2023/5/2720對于任意的正數(shù)設X的數(shù)學期望E(X)與方差D(X)存在,有(5)

(切比雪夫不等式):證：僅選擇連續(xù)隨機變量的情形來證明.設隨機變量X的密度函數(shù)為f(x),則有2023/5/2721注:(1)它給出了在X的分布未知的情況下，估計的方法；(2)說明了方差D(X)的確刻畫了X對E(X)偏離程度,由可知:D(X)越小(即X偏離E(X)程度越小),越大，(表明X取值越集中在E(X)的附近)；(3)它是大數(shù)定律的理論基礎.另一形式：2023/5/2722例10.已知正常男性成人每毫升血液中白細胞數(shù)平均7300,標準差700,利用切比雪夫不等式估計每毫升血液中白細胞數(shù)在5200~9400之間的概率.(P94.19題)解：設X表示每毫升血液中白細胞數(shù)，依題意得2023/5/2723若存在，稱它為X的k階中心矩.第三節(jié)原點矩與中心矩定義.

設X是隨機變量，若存在，稱它為X的k階原點矩.k=2,E[X-E(X)]2為方差.特別地，k=1,E[X-E(X)]=0.特別地，k=1,E(X)為數(shù)學期望.k=2,E(X2)為2階原點矩,其計算公式2023/5/2724定義.隨機變量X與Y的函數(shù)[X-E(X)][Y-E(Y)]的數(shù)學期望存在，則稱其為X與Y的協(xié)方差,cov

(X,Y),即記作第4節(jié)協(xié)方差和相關系數(shù)若兩個隨機變量X和Y是相互獨立的，則意味著當時,X和Y不獨立。2023/5/2725協(xié)方差的簡便計算方法：定義：若X與Y的協(xié)方差cov(X,Y)=0，即

E(XY)-E(X)E(Y)=0

則稱X與Y不相關.2023/5/2726若X與Y相互獨立，則X與Y一定不相關;分析:若X與Y相互獨立兩個隨機變量獨立與不相關的關系不一定成立.∴X與Y不相關.反之,X與Y不相關cov(X,Y)=0.若X與Y不相關，則2023/5/2727協(xié)方差的性質(zhì)（1）cov(X,Y)=cov(Y,X);（2）cov(X,c)=0;cov(X,X)=D(X);（3）cov(aX,bY)=ab·cov(X,Y)，a，b為常數(shù)（4）cov(X+Y,Z)=cov(X,Z)+cov(Y,Z);（5）2023/5/2728相關系數(shù)Correlationcoefficient定義

設隨機變量X與Y的數(shù)學期望與方差都存在，則將X與Y標準化得到的隨機變量的協(xié)方差cov(X*,Y*)稱為X與Y的相關系數(shù)，記作R(X,Y)，即

R(X,Y)=cov(X*,Y*).2023/5/2729相關系數(shù)Correlationcoefficient 因為E(X*)=0,E(Y*)=0,所以其實這也是相關系數(shù)的另一種定義。2023/5/2730則對于任意的正數(shù)1.切比雪夫定理定理：設獨立隨機變量序列X1,X2,…,Xn,…的數(shù)學期望E(X1),E(X2),…,E(Xn),…,D(X1),D(X2),…,D(Xn),…都存在，與方差并且方差是一致有上界的,即存在常數(shù)C,使得D(Xi)≤C,i=1,2,…,n,…有第五節(jié)大數(shù)定律2023/5/2731根據(jù)切比雪夫不等式得證：∵D(Xi)≤C,（i=1,2,…,n,…），2023/5/2732方差都存在，切比雪夫定理解釋：若獨立序列X1,X2,…,Xn,…的數(shù)學期望和并且方差是一致有上界的,則n充分大時,算術平均緊密地集中在其數(shù)學期望的附近.2023/5/27332.伯努利大數(shù)定理（頻率的穩(wěn)定性）

定理設是n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的頻率，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數(shù)

,恒有證明：又EXi

=p,DXi

=p（1-p）設Xi為第i次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)i=1,2,…,n，則這些變量相互獨立，且服從相同分布：“0-1”分布≤1/4,i=1,2,…，n由切比雪夫不等式得2023/5/2734小概率事件的實際不可能性原理——概率很小的隨機事件在個別試驗中實際上是不可能發(fā)生的例：從某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取200件來檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其中有6件次品，能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%？解：假設該工廠的次品率小概率事件小概率事件發(fā)生了，說明原假設不成立，即不能否相信該工廠產(chǎn)品的次品率不大于1%。2023/5/27351.理解方差的定義：2.熟悉方差的性質(zhì):內(nèi)容小結(jié)2023/5/2736(5)若E(X)與D(X)存在，對于任意的正數(shù)(4)對于任意實數(shù)C∈R，有E(X-C)2≥D(X)當且僅當C=E(X)時,

E(X-C)2取得最小值D(X).有2023/5/27373.熟悉一些常見分布的方差①若X～B(n,p),D(X)=npq;②若③若X～U(a,b),④若2023/5/27384.方差的計算方法①利用方差的定義:②利用方差的簡化公式：③

利用方差的性質(zhì)；④利用常見分布的方差.2023/5/2739習題三(P92):5、6、9、10、11、13作業(yè)2023/5/2740備用題1.判斷正誤：(1)任何隨機變量X都能其計算期望和方差.()(2)期望反映的是隨機變量取值的集中位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。()(3)隨機變量X的方差越小，X取值越集中，方差越大，X取值越分散。()答案:(1)X;(2)√;(3)√.2023/5/27412.選擇題

A.4,0.6；B.6,0.4；C.8,0.3；D.24,0.1

A.-1；B.2；C.1；D.32023/5/2742(4)2023/5/2743分析(1)由X~B(n,p)得：解方程組得n=6,p=0.4,故選B.2023/5/2744故選C.2023/5/2745（3）故選C.2023/5/2746(4)由題（3）知：且根據(jù)切比雪夫不等式，應選D2023/5/2747

3.假設有十只同種電器元件,其中只有兩只廢品,裝配儀器時，從這批元件中任取一只，如是廢品,則扔掉重新任取一只;如仍然是廢品,則扔掉再取一只.試求在取到