第八章解析幾何第1課時(shí)直線方程編寫：廖云波【回歸教材】1.直線的方向向量若P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是直線l上的兩點(diǎn)，則l的方向向量的坐標(biāo)為（x2-x1，y2-x1）；若l的斜率為k，則方向向量為(1，k).2.直線的傾斜角（1）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線，把x軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角．當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為．（2）范圍：直線l傾斜角的范圍是．3.斜率公式（1）若直線l的傾斜角90°，則斜率．（2）P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則直線l的斜率k＝．4.直線方程的五種形式方程適用范圍①點(diǎn)斜式：不包含直線②斜截式：不包含垂直于x軸的直線③兩點(diǎn)式：不包含直線和直線④截距式：不包含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線⑤一般式：不全為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用【典例講練】題型一直線的傾斜角與斜率【例1-1】直線的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由直線方程求得直線斜率的范圍，再由斜率等于傾斜角的正切值可得直線的傾斜角的取值范圍.【詳解】∵直線的斜率,，設(shè)直線的傾斜角為，則，解得.故選：A.【例1-2】已知兩點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（）A．B．或C．D．【答案】B【解析】【分析】數(shù)形結(jié)合法，討論直線過A、B時(shí)對(duì)應(yīng)的斜率，進(jìn)而判斷率的范圍.【詳解】如下圖示，當(dāng)直線過A時(shí)，，當(dāng)直線過B時(shí)，，由圖知：或.故選：B【例1-3】當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，則直線l的斜率的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】斜率為傾斜角的正切值，根據(jù)正切函數(shù)值域即可求斜率范圍．【詳解】當(dāng)直線l的傾斜角時(shí)，則直線l的斜率的取值范圍為，故答案為：﹒歸納總結(jié)：【練習(xí)1-1】已知直線l的一個(gè)方向向量為，求直線l的傾斜角和斜率．【答案】直線l的傾斜角，斜率【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量與直線斜率的關(guān)系，以及傾斜角的計(jì)算公式代入求解即可【詳解】由題意，直線l的一個(gè)方向向量為故直線的斜率設(shè)直線的傾斜角為故解得：故直線l的傾斜角，斜率【練習(xí)1-2】若，，三點(diǎn)共線，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】由已知條件得出，結(jié)合斜率公式可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故選：A.【練習(xí)1-3】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則___________.【答案】2【解析】【分析】由兩點(diǎn)間的斜率公式及直線斜率的定義即可求解.【詳解】解：因?yàn)檫^兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，所以，解得，故答案為：2.題型二直線的方程【例2-1】已知直線在軸上的截距為4，傾斜角為，且，則直線的斜截式方程為______【答案】【解析】【分析】先求出直線的斜率，即可寫出直線的方程.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，且，所以，所以直線的斜率又直線在在軸上的截距為4，所以直線方程為.故答案為：.【例2-2】經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角為60°的直線的點(diǎn)斜式方程是______．【答案】【解析】【分析】由點(diǎn)斜式求得方程，化為一般式即可.【詳解】由題知，直線斜率為，則直線點(diǎn)斜式方程為：故答案為：【例2-3】設(shè)直線l過點(diǎn)，在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等，則滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為______條．【答案】3【解析】【分析】考慮坐標(biāo)軸截距為0和不為0，設(shè)出直線方程，待定系數(shù)法求解直線方程.【詳解】當(dāng)坐標(biāo)軸截距為0時(shí)，設(shè)方程為，將代入得：，所以方程為；當(dāng)坐標(biāo)軸截距不為0時(shí)，設(shè)方程為，則有，解得：，或，從而方程為或所以滿足題設(shè)的直線l的條數(shù)為3條.故答案為：3歸納總結(jié)：【練習(xí)2-1】已知直線：（）．求證：直線恒過定點(diǎn)，并求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】證明見解析，【解析】【分析】整理原方程，利用直線系列出方程組，即可得到直線恒過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】證明：原方程整理為，則由得所以點(diǎn)坐標(biāo)為．【練習(xí)2-2】直線繞它與y軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得的直線方程為______．【答案】【解析】【分析】化已知直線方程為斜截式，求出其傾斜角及與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，可得旋轉(zhuǎn)后的直線的傾斜角，進(jìn)一步求得旋轉(zhuǎn)后的直線方程．【詳解】解：由，得，則直線的傾斜角為，與軸的交點(diǎn)為，把直線繞它和軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得的直線的傾斜角為，則直線方程為：．故答案為：．【練習(xí)2-3】已知，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為2，則直線的斜率為______．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)直線的一般方程，求出直線的橫縱截距，然后根據(jù)已知寫出關(guān)系式，帶入到原直線方程里求出斜率即可.【詳解】對(duì)于直線，令解得：令解得：解得：原直線方程可化為：故答案為：.題型三直線方程的應(yīng)用【例3-1】過點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B.(1)若是等腰直角三角形，求直線l的方程；(2)①當(dāng)最小，求直線l的方程②當(dāng)面積最小，求直線l的方程.【答案】(1)(2)①：；②：.【解析】【分析】（1）由題意，求出直線l的傾斜角為，進(jìn)而可得直線l的斜率，最后利用點(diǎn)斜式即可寫出直線l的方程；（2）設(shè)，，直線的方程為，把點(diǎn)代入可得，若選①：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線l的方程；若選②：，由基本不等式等號(hào)成立的條件，即可求得直線l的方程．(1)解：因?yàn)檫^點(diǎn)作直線l分別與x，y軸正半軸交于點(diǎn)A、B，且是等腰直角三角形，所以直線l的傾斜角為，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即；(2)解：設(shè)，，直線l的方程為，代入點(diǎn)可得，若選①：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即；若選②：由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積最小為4，此時(shí)直線l的斜率，所以直線l的方程為，即.【例3-2】設(shè)直線l的方程為若直線l分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)，，當(dāng)面積為12時(shí)，求的周長(zhǎng)；【答案】【解析】【分析】易知，，由，求出參數(shù)的值，從而可得的坐標(biāo)，即可求出答案.解：由題意知，，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由，得，所以面積，解得，此時(shí)，，，所以的周長(zhǎng)為，故當(dāng)面積為12時(shí)，的周長(zhǎng)為.歸納總結(jié)：【練習(xí)3-1】已知一條動(dòng)直線，(1)求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若直線不經(jīng)過第二象限，求m的取值范圍；(3)若直線與x?y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為6，求直線的方程.【答案】(1)證明見解析，定點(diǎn)；(2)；(3)或.【解析】【分析】（1）整理直線方程得．由且可求；（2）由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，討論直線與y軸是否有交點(diǎn)，若有交點(diǎn)，只需縱截距小于等于零即可；（3）設(shè)直線的方程，可得，從而可得所求直線的方程．(1)證明：整理直線方程得．由且可得，，故直線恒過定點(diǎn)，；(2)由（1）知，直線恒過定點(diǎn)，當(dāng)直線與y軸沒有交點(diǎn)時(shí)，即，此時(shí)直線方程為，符合題意；當(dāng)直線與y軸有交點(diǎn)時(shí)，，求出直線的縱截距，其小于等于零即可滿足題意，令，則，，若直線不經(jīng)過第二象限，則，∴；所以m的取值范圍為；(3)設(shè)直線方程為，，則，①由題意得，，②由①②整理得，解得，，或，，所求直線的方程為或即或．【請(qǐng)完成課時(shí)作業(yè)（五十）】【課時(shí)作業(yè)（五十）】A組基礎(chǔ)題1．已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由直線的點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.2．若傾斜角為的直線過，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C3．圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線的斜率為0.725，則（）A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9【答案】D【解析】【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，依題意，有，且，所以，故，故選：D4．直線恒過定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】將直線變形為，則且，即可求出定點(diǎn)【詳解】將變形為：，令且，解得，故直線恒過定點(diǎn)故選：A5．已知直線斜率為，且，那么傾斜角的取值范圍是（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】由，得到，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】由題意，直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，即，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，可得．故選：B．6．曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，利用點(diǎn)斜式求出切線方程.【詳解】∵∴，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，即.故選：A.7．直線過點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（）A．B．C．2D．-2【答案】B【解析】【分析】由傾斜角和斜率的定義得，，再結(jié)合倍角公式即可求得結(jié)果【詳解】由題，，直線的傾斜角為，故故選：B8．設(shè)點(diǎn)，，若直線ax+y+2=0與線段AB有交點(diǎn)，則a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】求出直線經(jīng)過的定點(diǎn)，作出圖象，利用圖象求得斜率滿足的條件，由此解出答案．【詳解】∵直線過定點(diǎn)，且，，由圖可知直線與線段有交點(diǎn)時(shí)，斜率滿足或，解得，故選：D9．【多選題】下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（

）A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的定義判斷即可.【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是，即，所以，當(dāng)時(shí)直線的斜率，故A、C均錯(cuò)誤；B正確；對(duì)于D：若直線的斜率，此時(shí)直線的傾斜角為，故D錯(cuò)誤；故選：ACD10．若是直線的一個(gè)方向向量，則直線的斜率為_________．【答案】-2【解析】【分析】先根據(jù)直線方向向量求出斜率，再由直線方向向量和傾斜角關(guān)系求出傾斜角.【詳解】因?yàn)槭侵本€的一個(gè)方向向量，所以直線的斜率，故答案為：-2．11．若三點(diǎn)、、共線，則實(shí)數(shù)n的值為______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)、、共線，由斜率相等求解.【詳解】解：因?yàn)槿c(diǎn)、、共線，所以，解得，故答案為：012．設(shè)直線的方程為，若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為______．【答案】或【解析】【分析】整理直線的方程為，列出方程組，求出直線過點(diǎn)，分截距為0和截距不為0兩種情況，得到直線的方程【詳解】直線的方程為，即，令，求得，，可得該直線經(jīng)過定點(diǎn)．由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線過原點(diǎn)，方程為，即．若直線不過原點(diǎn)，設(shè)它的方程為，再把點(diǎn)代入，求得，故直線的方程為．綜上可得，直線的方程為或．故答案為：或13．已知直線與直線平行，直線與兩坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的面積為12，求直線的方程.【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，求出截距后可求面積，從而可求直線的方程.【詳解】設(shè)直線的方程為.令，得；令，得.由題設(shè)得.解得，因此直線的方程為.B組能力提升能1．直線過點(diǎn)，且軸正半軸?軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時(shí)，直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)，分別求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，所以，代入后利用基本不等式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，直線不與軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為，則，因此，直線，令則有，則，令則有，則.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等（舍去），故面積最小值為4，此時(shí)，即.故選：C.2．已知點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在直線上，線段AB的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和中點(diǎn)，用表示出坐標(biāo)，將坐標(biāo)代入對(duì)應(yīng)直線方程即可得到的表達(dá)式，聯(lián)立得到表達(dá)式代入求解即可.【詳解】解：設(shè)，，則，的中點(diǎn)為，，分別在直線和，，，，即.，即，又，，即，所以，即，所以，解得.故選：A.3．吹氣球時(shí)，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為，為的導(dǎo)函數(shù)．已知在上的圖像如圖所示，若，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．存在，使得【答案】D【解析】【分析】A：設(shè)，由圖得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B:根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C:設(shè)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D:結(jié)合圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以判斷該選項(xiàng)正確.【詳解】解：A：設(shè)，由圖得，所以所以，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B:由圖得圖像上點(diǎn)的切線的斜率越