矩陣的表示理論及其在數(shù)值計算中的應用（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）

矩陣的表示理論及其在數(shù)值計算中的應用（完整版）實用資料(可以直接使用，可編輯完整版實用資料，歡迎下載）矩陣的表示理論及其在數(shù)值計算中的應用【摘要】：矩陣的理論和方法不僅是各數(shù)學學科的基本工具，而且在理論物理學、經(jīng)濟學、統(tǒng)計學、最優(yōu)化、信息處理、自動控制、工程技術和運籌學等應用學科的理論研究和數(shù)值計算中都有著廣泛的應用。近年來，隨著近代量子力學的不斷發(fā)展，力學工作者遇到并提出了一系列有關矩陣的理論和計算方面的疑難問題，這些問題制約著量子力學的發(fā)展，急需數(shù)學工作者給以解答。在本文中，我們通過引入復矩陣的實表示、四元數(shù)矩陣的復表示、友向量和伴向量的方法，研究并解決了量子力學等學科中的有關矩陣理論與計算中的下列三類系列疑難問題：1．矩陣的合相似問題兩個復矩陣A，B稱為是合相似的是指存在復可逆矩陣S滿足S~(-1)A(?)=B。我們通過復矩陣的實表示、友向量和伴向量方法，研究并解決了合相似意義下矩陣的若當標準形、合相似意義下矩陣的三角化和矩陣的廣義對角化的問題。不但從理論上給出復矩陣的一個新的若當標準形，而且還給出了相應復矩陣若當標準形的計算方法。進一步地，我們不但給出求一個復矩陣A的合若當標準形J的簡單方法，而且還給出一種求相應合相似可逆矩陣S(滿足S~(-1)A(?)=J)的算法。2．矩陣方程的解問題矩陣方程解的問題是矩陣理論中的一類重要的問題。如何給出某個矩陣方程的解有時非常困難。我們通過復矩陣的實表示、四元數(shù)矩陣的復表示、友向量和伴向量方法，研究了幾類矩陣方程AX-(?)B=C,X-A(?)B=C,AXB-CYD=E的華東師范大學博士論文矩陣【學位級別】：博士【學位授予年份】：2003【分類號】：O151.21;O241.6【目錄】：中文摘要6-8英文摘要8-10第一章概述10-18第二章矩陣的合相似若當標準形18-302.1引言18-202.2矩陣的實表示20-212.3友向量和伴向量21-242.4矩陣的合相似若當標準形24-272.5矩陣的合若當標準形的算法27-30第三章矩陣的合相似廣義對角化30-463.1引言30-313.2矩陣的合相似與相似之間的關系31-323.3矩陣的合三角化及其算法32-343.4矩陣的合對角化及其算法34-373.5矩陣合廣義對角化的概念和性質(zhì)37-403.6矩陣合廣義對角化的充分必要條件和判定定理40-443.7矩陣合廣義對角化的算法44-46第四章矩陣方程X-A(?)B=C和A(?)-XB=C46-604.1引言46-484.2矩陣方程X-AXB=C的公式解48-494.3矩陣方程X-A(?)B=C的公式解49-534.4矩陣方程A(?)-XB=C解的結構53-564.5矩陣方程A(?)-XB=C的公式解56-60第五章四元數(shù)矩陣的代數(shù)方法60-725.1引言60-615.2復表示和友向量61-645.3四元數(shù)矩陣的行列式、逆矩陣及其算法64-665.4四元數(shù)矩陣的秩及其算法66-685.5四元數(shù)矩陣的Cramer法則68-695.6四元數(shù)矩陣的特征值和特征向量69-72第六章四元數(shù)矩陣的標準形72-906.1引言72-736.2四元數(shù)矩陣若當標準形的算法73-776.3四元數(shù)矩陣的對角化及其算法77-806.4復四元數(shù)環(huán)和復四元數(shù)矩陣80-826.5四元數(shù)矩陣的廣義對角化及其算法82-90第七章四元數(shù)矩陣方程AXB-CYD=E90-1027.1引言90-937.2四元數(shù)矩陣方程AX-XB=C和AX-YB=C93-957.3四元數(shù)矩陣方程X-AXB=C95-977.4四元數(shù)矩陣方程AXB-CYD=E97-102第八章四元數(shù)矩陣的最小化問題102-1128.1引言102-1038.2四元數(shù)矩陣的范數(shù)103-1058.3四元數(shù)矩陣的廣義逆105-1068.4四元數(shù)矩陣的最小二乘問題106-1088.5四元數(shù)矩陣的約束最小二乘問題108-112參考文獻112-116主要論文目錄116-117致謝117本論文購買請聯(lián)系頁眉網(wǎng)站。MIMO信道中矩陣分析的應用張靖悅S110101198矩陣分析在MIMO技術這個模塊中有著很重要的應用，基本可以說是矩陣分析是MIMO技術研究的基礎。所以我也根據(jù)導師給定我的研究方向，選修了矩陣分析這門基礎課程。MIMOMultipleInput-MultipleOutput是指在通信鏈路的發(fā)送端與接收端均使用多個天線元的傳輸系統(tǒng),它能夠?qū)鹘y(tǒng)通信系統(tǒng)中存在的多徑因素變成對用戶通信性能有利的因素,從而成倍地提高業(yè)務傳輸速率。矩陣理論在通信，自動控制等工程領域里應用廣泛，而通信的難點在于信道的處理，因此，矩陣理論與無線信道的研究是一個很好的切入點。在MIMO技術的研究中，對于MIMO信道的容量的研究具有著重大的意義。目前，MIMO技術的信道容量和空時編碼，空時復用等技術都離不開矩陣理論的應用。無線信道的一個重要特性就是存在衰落。如果在多徑環(huán)境中采用多天線系統(tǒng)，則系統(tǒng)抗衰落特性能得到很大的提高，而且如果在發(fā)射和接受兩端均采用多天線，即構成MIMO系統(tǒng)，則會有效地提高信道容量。為了描述MIMO信道，令發(fā)射天線數(shù)目為，接受天線數(shù)目為，這樣在某特定時刻，發(fā)射的符號構成一個的矢量，接受的符號構成一個的矢量，關系為：(1其中，(2表示高斯白噪聲，方差為；H為信道矩陣，即(3其中，表示從發(fā)射天線到接受天線的信道系數(shù)。這樣，式（1）可寫為(4式中，上標表示在時刻。根據(jù)奇異值分解（SVD）理論，信道矩陣可以進行分解，得到(5(6為矩陣H的全部非零奇異值。U和V分別是和的酉矩陣，滿足，，其中和分別是和的單位陣。這樣，式（1）變?yōu)?7對式（7）進行變換，有(8取，，，則有(9于是我們得到一個與MIMO信道等效的表達形式，在這個等效的表達形式中，D為信道矩陣，原來的MIMO信道就等效地轉(zhuǎn)化為個平行的信道，每個信道的系數(shù)則為。通過以上等效表達式的推導，我們可以知道在MIMO信道的分析中必須要有很強的矩陣分析基礎。*§2.5矩陣在決策理論中的應用所謂決策，就是根據(jù)預定目標，作出行動的選擇.從狹義上解釋，決策是在若干個指導行動的方案中作出相對最優(yōu)的選擇.科學的決策必須嚴格實行科學的決策程序，運用科學的思維方法與決策方法.決策可利用的數(shù)學方法很多，這里我們只介紹矩陣在決策中的簡單應用.決策者為了達到所希望的目標（例如收益較大或損失較小等），可以采用多種行動方案.許多決策問題都面臨著若干種不依決策者主觀意志為轉(zhuǎn)移的客觀條件或客觀現(xiàn)實，我們稱為自然狀態(tài).例如，投資者將一筆資金投入生產(chǎn)時，有明確的目標，即要使得收益最大.投資者可以采取的方案也有多種，例如投資房地產(chǎn)，投資汽車生產(chǎn)，投資家用計算機生產(chǎn)，投資彩電生產(chǎn)，等等.上述方案即為投資者的行動方案，投資者將在上述方案中選擇一種能使收益最大的投資方案.然而不管投資者選擇何種方案，將來的產(chǎn)品銷售及市場行情都有可能出現(xiàn)好、一般、不好三種情形，這三種情形即為投資者所面臨的不依投資者主觀意志為轉(zhuǎn)移的自然狀態(tài).設決策者可以選擇的行動方案的集合為{A1,A2,…,Am}，所有的自然狀態(tài)構成的集合為{1,2,…,n}，再設決策者采用行動方案Ai，而自然狀態(tài)是j時，決策者的益損（收益或損失）值為aij，則可以列出下表：自然狀態(tài)益損值行動方案12…nA1a11a12…a1nA2a21a22…a2n…………Amam1am2…amn我們可以把上述益損值寫成如下的矩陣形式：12…n稱此矩陣為益損矩陣（或風險矩陣），記為B或Bmn當n＝1時，即自然狀態(tài)只有一種，這時的決策問題比較簡單，稱之為確定型決策.決策者只需根據(jù)決策的目標（例如收益最大或損失最?。┒x擇a11,a21,…,am1中的最大者或最小者所對應的行動方案.當B是收益矩陣時，選擇最大數(shù)對應的行動方案，當B是損失矩陣時，選擇最小數(shù)對應的行動方案.當n>1時，需要知道自然狀態(tài)1,2,…,n出現(xiàn)的可能性（即出現(xiàn)的概率），我們用百分比表示這些可能性.設1,2,…,n出現(xiàn)的可能性分別是p1，p2,…,pn.則易知p1+p2+…+pn＝1.在實際進行決策時，有時會出現(xiàn)某種自然狀態(tài)j發(fā)生的可能性很大（接近百分之百）的情形，此時我們可以認定自然狀態(tài)j一定出現(xiàn)，其它自然狀態(tài)一定不出現(xiàn)，從而變?yōu)榇_定型決策問題，可按照上述確定型的決策方法進行決策.假設任何一種自然狀態(tài)沒有絕對的把握一定出現(xiàn)，這種決策稱為風險型決策.我們可以利用矩陣的乘法進行決策.如果采取行動A1，那么益損期望值（即加權平均數(shù)）為E(A1)＝a11p1+a12p2+…+a1npn.同樣如果采取行動Ai，那么益損期望值為E(Ai)＝ai1p1+ai2p2+…+ainpn.一般地，記P＝,Q＝,由矩陣的乘法運算規(guī)則即知，Q＝BP.在實際進行決策時，先計算矩陣乘積Q＝BP，如果決策目標是收益最大，那么就在E(A1)，E(A2),…,E(Am)中挑選最大者，最大者所對應的行動方案即為最優(yōu)方案.如果決策目標是損失最小，那么就在E(A1)，E(A2),…,E(Am)中挑選最小者，最小者所對應的行動方案即為最優(yōu)方案.例1某企業(yè)要對某個問題進行決策，方案、自然狀態(tài)、狀態(tài)出現(xiàn)的可能性，收益值如下表，試確定最優(yōu)方案.狀態(tài)概率收益矩陣自然狀態(tài)方案狀態(tài)概率收益矩陣自然狀態(tài)方案12340.20.40.10.3A14567A22469A35736A43568A53555該決策問題的收益矩陣為B＝.又P＝.計算矩陣乘積Q＝BP：Q＝BP＝＝.Q中的最大值為5.9，對應的行動方案是A3，所以合理的決策是A3.運用矩陣方法進行風險型決策，有許多優(yōu)點：第一，它具有廣泛的適應性，尤其是在解決比較復雜、計算量比較大的決策問題時，該方法顯得更為優(yōu)越；第二，這種方法把風險型決策問題轉(zhuǎn)化為兩個矩陣的乘法以及選取乘積矩陣中元素的最大者或最小者，這樣就易于利用數(shù)學理論及計算機簡化計算.例4（工業(yè)增長模型）考慮一個在發(fā)展中國家可能出現(xiàn)的有關污染與工業(yè)發(fā)展的工業(yè)增長模型.設p是現(xiàn)在污染的程度，d是現(xiàn)在工業(yè)發(fā)展的水平，二者都以由各種適當指標組成的單位來度量.例如，對于污染來說，空氣中的一氧化碳的含量及河流中的污染濃度等等.設p和d分別是五年后的污染程度及工業(yè)發(fā)展的水平.假定根據(jù)其它發(fā)展中國家類似的經(jīng)驗，國際發(fā)展機構認為，以下簡單的線性模型是隨后5年污染與工業(yè)發(fā)展有用的預測公式：p＝p＋2d，d＝2p＋d.如果我們記A＝,＝,5＝則有5＝A(5)10＝A5＝A2,15＝A10＝A3,…，5n＝An.如果初始值p＝4，d＝2,則用（5）式可得出未來50年污染程度與工業(yè)發(fā)展水平的情況，見下表：pd目前425年81010年282615年808220年24424225年72873030年21882186………………50年177148177146為了分析上表中p和d的變化性態(tài)，我們先求矩陣A的特征根與特征向量.A的特征多項式為fA(x)＝＝x22x3＝(x3)(x＋1).所以A的特征根為1＝3，2＝1.對于特征根1＝3，所有滿足(3IA)＝＝0的非零向量都是屬于特征根3的特征向量，例如向量就是特征向量，即A＝3.同樣對于特征根1，所有滿足(1IA)＝＝0的非零向量都是屬于特征根1的特征向量，例如就是特征向量，即A＝1.如果初始值為p＝1，d＝1,則利用（5）式可以計算出5年、10年、15年、…、5n年后污染與工業(yè)發(fā)展水平分別為：5年：5＝A＝＝3＝；10年：10＝A2＝AA＝A3＝3A＝32＝15年：15＝A3＝A2A＝A23＝3A2＝33＝………5n年：5n＝An＝An1A＝An13＝3An1＝3n＝記e1＝,e2＝.則容易算出（可以利用待定系數(shù)法）：＝3＋＝3e1＋e2.對于初始值p＝4，d＝2，隨后5n年污染程度與工業(yè)發(fā)展水平為An＝An(3e1＋e2)＝An3e1＋Ane2＝3Ane1＋Ane2＝33ne1＋(1)ne2＝＋.當n較大時，對計算結果的影響作用很小，以致能被忽略不計，因此，當n較大時，5n年后污染程度與工業(yè)發(fā)展水平為：An.同樣，如果以p＝1,d＝7為初始值，想要確定20個時段后這個增長模型的效果，也可如下計算：先將寫成如下形式＝43＝4e13e2.因此20個時段后污染程度與工業(yè)發(fā)展的水平為A20＝A20(4e13e2)＝4A20e13A20e＝4320e13(1)20e2＝43203＝＋.同樣上式中最后一項的作用是如此地小,以致可以忽略不計，因此A204320.例5（兔子狐貍種群模型）考慮一個簡單的關于兔子和狐貍生存的生態(tài)模型.假設在沒有狐貍的情況下，現(xiàn)有兔子的數(shù)量R一年自然增長10%，于是下一年兔子的數(shù)量R服從增長規(guī)律R＝1.1R.又設在沒有兔子的情況下，現(xiàn)有狐貍的數(shù)量F每年減少15%,于是下一年狐貍的數(shù)量F＝0.85F.然而當狐貍和兔子處于同一棲息地時，狐貍吃兔子,.令A＝，則上述增長模型可寫成如下的矩陣形式：＝(6)對初始值R＝10，F(xiàn)＝8,利用模型（6）計算經(jīng)過許多時間段后，兔子和狐貍種群的