激光束傳輸與變換第五講第一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本講內(nèi)容§1.8偏心Gauss光束

§1.9貝塞爾光束

§1.10矢量Gauss光束第二章Gauss光束的衍射第二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1.8偏心Gauss光束當(dāng)傳輸軸線與峰值光強(qiáng)軸線偏離時(shí),稱為偏心Gauss光束.例如:一般的Gauss光束被偏離軸線的球面鏡反射.第三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本節(jié)內(nèi)容1.一維偏心Gauss光束2.一維偏心Gauss光束的光場(chǎng)分布3.一維偏心Gauss光束的等相位面與曲率半徑4.一維偏心Gauss光束的曲率中心5.二維偏心Gauss光束第四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.一維偏心Gauss光束對(duì)橫坐標(biāo)x作以下變換

xx+ix0式中x0為實(shí)數(shù).

它仍是傍軸近似下Helmholtz方程的解.第五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.一維偏心Gauss光束整理后第六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.一維偏心Gauss光束式中第七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.一維偏心Gauss光束上式說(shuō)明,偏心Gauss光束的光強(qiáng)極大值并不位于傳輸線z(x,y=0)上,而是位于(x=xI(z),y=0)處,即相對(duì)傳輸線在x方向偏移了一個(gè)角度Ix一般將上式確定的光強(qiáng)極大值傳輸方向稱為偏心Gauss光束的峰值光強(qiáng)軸線.第八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.一維偏心Gauss光束的光場(chǎng)分布若用z’表示峰值光強(qiáng)軸線,與其垂直的橫平面坐標(biāo)用(x’,y’)表示,則在(x’,y’,z’)坐標(biāo)系中,偏心Gauss光束場(chǎng)分布即不是Gauss型的,也不是軸對(duì)稱的.但是,在x’<<z’的條件下,偏心Gauss光束場(chǎng)分布相對(duì)于z’軸線近似是Gauss型的.第九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.一維偏心Gauss光束的等相位面與曲率半徑若令0’=0cosIx,z0’=z0/cosIx,則其光斑半徑及等相位面曲率半徑滿足第十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.一維偏心Gauss光束的等相位面與曲率半徑在傳輸線z上,偏心Gauss光束的等相位面是拋物面的,其曲率半徑R(z)滿足:第十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.一維偏心Gauss光束的曲率中心曲率中心在x方向偏移的距離為xP.當(dāng)z>0時(shí),xP<0,曲率中心向z軸下方偏移;當(dāng)z<0時(shí),xP>0,曲率中心向z軸上方偏移.偏移距離與傳輸距離成反比,對(duì)于較遠(yuǎn)的傳輸距離,等相位面曲率中心軸線可近似認(rèn)為與傳輸軸線z重合.第十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日4.一維偏心Gauss光束的曲率中心光強(qiáng)極大值和曲率中心的偏移距離滿足:xI(z)xP(z)=-x02當(dāng)z=z0時(shí)xI(z0)=xP(z0)第十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5.二維偏心Gauss光束推廣到二維,并考慮到在光腰平面(z=z’=0)處偏心光束相對(duì)z軸存在偏移第十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5.二維偏心Gauss光束另外一種偏心Gauss光束場(chǎng)分布表達(dá)式為式中y0為實(shí)數(shù).第十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5.二維偏心Gauss光束上式可改寫為式中第十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日5.二維偏心Gauss光束上式確定的偏心Gauss光束1.峰值光強(qiáng)軸線z’與傳輸線z的夾角在xoz和yoz平面上的正切值分別為x0/z0和y0/z0.2.光腰(z=z’=0)處的橫平面上,峰值軸線z’的原點(diǎn)坐標(biāo)為(x=xd,y=yd).第十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1.9貝塞爾光束用直接代入法可證，形如的貝塞爾光束是赫姆霍茨方程在z>=0自由空間的一個(gè)特解。式中

k為波數(shù)，J0為零階貝塞爾函數(shù)。第十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1.9貝塞爾光束當(dāng)0<a<=k時(shí)，這是一個(gè)在垂直于z的橫截面上具有光強(qiáng)分布J02(ar)的光束，且光強(qiáng)分布不隨z而變，因此具有“無(wú)衍射”特性。其中心主極大的半寬度近似于a－1，光強(qiáng)分布隨r－1而衰減。當(dāng)a=0時(shí)，為平面波解。當(dāng)a>k時(shí)，變成隨z增加而衰減的場(chǎng)。第十九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§1.10矢量Gauss光束Gauss光束的偏振態(tài)更精確的結(jié)果解決波長(zhǎng)較長(zhǎng)的微波頻段的一些問題第二十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本節(jié)內(nèi)容1.復(fù)點(diǎn)源概念

2.偶極場(chǎng)

3.近似處理第二十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

所謂復(fù)點(diǎn)源指的是波源位于復(fù)數(shù)坐標(biāo)系中，或是在實(shí)數(shù)空間坐標(biāo)系中有一個(gè)復(fù)位移。球面波空間部分應(yīng)滿足的波動(dòng)方程為：該方程的解為(1.8.1)(1.8.2)第二十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

在直角坐標(biāo)系中

r=(x2+y2+z2)1/2 (1.8.3)

當(dāng)源點(diǎn)從坐標(biāo)(0,0,0)移到(x0,y0,z0)，相應(yīng)的r為

r=[(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2]1/2(1.8.4)

把上式代入(1.8.2)式，可以證明，它仍然是波動(dòng)方程(1.8.1)的解，事實(shí)上，即使位移量x0、y0、z0是復(fù)數(shù)，結(jié)果也是正確的。第二十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

下面研究一種特殊情況，設(shè)源點(diǎn)位置為(0,0,-iz0)，這時(shí)

r=[x2+y2+(z+iz0)2]1/2(1.8.5)

假定 z0>>(x2+y2)1/2(1.8.6)r可以按級(jí)數(shù)展開，結(jié)果代入(1.8.2)式第二十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念r按級(jí)數(shù)展開成結(jié)果代入(1.8.2)式(1.8.7)第二十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

在振幅中只保留展開式的第一項(xiàng)，在位相中保留展開式的前兩項(xiàng)，可獲得(1.8.8)第二十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

如果令(1.8.9)第二十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.復(fù)點(diǎn)源概念

代入到(1.8.8)式中，可獲得與1.4節(jié)結(jié)果相同的基模Gauss光束表達(dá)式(1.8.10)第二十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

考慮一個(gè)位于坐標(biāo)原點(diǎn),隨時(shí)間做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的電偶極子或磁偶極子產(chǎn)生的場(chǎng).利用Hertz矢量(Hertz勢(shì))，導(dǎo)出偶極輻射場(chǎng)的空間分布是很簡(jiǎn)便的。設(shè)Hertz電矢量e，Hertz磁矢量為m，它們與電偶極矩和磁偶極矩的關(guān)系分別為：第二十九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)(1.8.11)式中pe為電偶極矩，pm為磁偶極矩。第三十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H與Hertz勢(shì)的關(guān)系為

Hertz勢(shì)滿足方程(1.8.13)(1.8.12)第三十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

利用

(1.8.14)第三十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)式中ne是pe方向的單位矢量，e=|e|。r為矢徑

r=xi+yj+(z+iz0)k (1.8.15)式中i,j,k分別是x、y、z方向的單位矢量。對(duì)于磁Hertz矢量也存在著一組類似的結(jié)果。第三十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

假定只存在電偶極矩，且定向在x軸方向(ne=i)。略掉因子(1/40)exp(it)，可得到(1.8.16)第三十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

相應(yīng)的磁場(chǎng)為

(1.8.17)第三十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)

從以上兩式可以看出，電場(chǎng)和磁場(chǎng)是不對(duì)稱的。這個(gè)缺陷可通過(guò)把一個(gè)磁偶極子產(chǎn)生的場(chǎng)疊加在這個(gè)場(chǎng)上得到克服。設(shè)磁偶極子定向在y軸，由此有nm=j。為簡(jiǎn)化，令

pe=1 pm(0/0)1/2=-1 (1.8.18)第三十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)這時(shí)電場(chǎng)為(1.8.19)第三十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.偶極場(chǎng)磁場(chǎng)為在上面的表達(dá)式中r是復(fù)數(shù)。(1.8.20)第三十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理1)注意到z0=02/，則有

這個(gè)式子說(shuō)明(kr)-2屬于高級(jí)小量，可以忽略掉。(1.8.21)第三十九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理2)

只要x與0屬于同一數(shù)量級(jí)，最后一步近似是允許的。(1.8.22)第四十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理3)

因此可以把r-1展成(x2+y2)/(z+iz0)2的冪級(jí)數(shù)，有該式的第二項(xiàng)屬于(k0)-2的量級(jí)，這可以通過(guò)與(1.8.22)式的比較看出。(1.8.23)(1.8.24)第四十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

對(duì)于(1.8.19)式和(1.8.20)式括號(hào)外的r－1因子也用上面的方法處理。最后得到:(1.8.25)第四十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理展開式(1.8.7)中的第二項(xiàng)k(x2+y2)/2(z+iz0)在指數(shù)因子中不是二級(jí)小量，而第三項(xiàng)屬于二級(jí)小量。這樣指數(shù)項(xiàng)變成(1.8.26)第四十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

將上式代入(1.8.25)式，得(1.8.27)第四十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

方括號(hào)后面的項(xiàng)只要乘(iz0/2k2)exp(-kz0)，就變成基模Gauss光束的表達(dá)式(1.8.8)。方括號(hào)中的后三項(xiàng)可看成是修正因子，它們就是標(biāo)量近似中所忽略的(k0)-2項(xiàng)。對(duì)其余五個(gè)電磁分量也進(jìn)行類似處理，并利用表示基模Gauss光束，保留到(k0)-2項(xiàng)，則電磁場(chǎng)的各分量為：第四十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理(1.8.28)第四十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理(1.8.29)第四十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

為了研究Ex、Ey和Ez的振幅分布，選取y=x的45o特殊平面，根據(jù)(1.8.28)式，歸一化的場(chǎng)為：第四十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

式中=(x2+y2)1/2。(1.8.30)第四十九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理第五十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日3.近似處理

從圖中可以看出:1)電場(chǎng)的主分量(Ex)的分布是Gauss型的，而其他兩個(gè)則不是。

2)與主分量相比，Ez近似到(k0)-1，Ey近似到(k0)-2。因此，即使忽略二級(jí)小量(k0)-2，由于Ez的存在，基模Gauss光束也不能簡(jiǎn)單地按平面波處理。第五十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本章小結(jié)

本章以光的電磁理論為基礎(chǔ),導(dǎo)出有關(guān)高斯光束的幾種形式:

基模高斯光束 高階模高斯光束 橢圓高斯光束 偏心高斯光束 矢量高斯光束并討論它們的場(chǎng)分布特點(diǎn)以及傳輸規(guī)律。第五十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日第二章Gauss光束的衍射

研究Gauss光束的衍射的目的：

1)與平面波和球面波的衍射相比較，找出它們之間的異同。

2)通過(guò)平面Gauss光束的衍射說(shuō)明Gauss光束各參量的物理意義。

3)計(jì)算Gauss光束通過(guò)限制孔徑的衍射損耗，找出有效通光孔徑，以便作為光學(xué)設(shè)計(jì)的參考。第五十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本章內(nèi)容§2.1Huygens-Fresnel原理§2.2Gauss光束的Fraunhlfer衍射§2.3Gauss光束的Fresnel衍射§2.4Gauss光束的衍射解釋§2.5線性偏振的Bessel－Gauss光束§2.6Gauss光束衍射損耗第五十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日§2.1Huygens-Fresnel原理研究光波衍射的基本理論成功地解決了平面波及球面波的衍射問題用衍射方法研究激光諧振腔的理論基礎(chǔ)本節(jié)將采用這個(gè)原理研究Gauss光束的各種衍射問題第五十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日本節(jié)內(nèi)容1.Huygens-Fresnel原理2.傍軸近似3.Fresnel近似和Fraunhlfer近似第五十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理Huygens原理：一個(gè)波陣面上的每一點(diǎn)都可以看成新的子波中心，從這些中心發(fā)出球面子波，以后任意時(shí)刻的波陣面或波前是這些子波的包絡(luò)面。Huygens-Fresnel原理：Huygens原理＋子波相互干涉的假設(shè)。Huygens-Fresnel原理的數(shù)學(xué)表達(dá)式：Huygens-Kirchhoff積分第五十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理設(shè)波場(chǎng)中任意一個(gè)曲面G上場(chǎng)的復(fù)振幅分布函數(shù)為u(r0)，r0是曲面G上Q點(diǎn)的位置矢徑。假設(shè)考查P點(diǎn)的復(fù)振幅為u(r)，r是P點(diǎn)位置的矢徑。第五十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

根據(jù)Huygens-Fresnel原理，P點(diǎn)的復(fù)振幅為式中K為比例系數(shù)，稱為傾斜因子。dS為Q點(diǎn)近旁的面積的面積元。積分區(qū)為整個(gè)曲面G。（2.1.1）

第五十九頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

為了使積分式(2.1.1)更具體，并且有實(shí)際意義，下面考慮點(diǎn)波源S發(fā)出的光通過(guò)孔徑G所發(fā)生的衍射。第六十頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

設(shè)光源S點(diǎn)的坐標(biāo)為(x’,y’,z’)，衍射孔任意一點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x0,y0,z0)，考查點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z)，并設(shè)線段(2.1.2)

第六十一頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

點(diǎn)波源S產(chǎn)生的球面波在Q點(diǎn)引起波動(dòng)的復(fù)振幅(除去一個(gè)常數(shù)因子)為(2.1.3)

第六十二頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

傾斜因子K反映的是面積元對(duì)光源及考查點(diǎn)傾斜的影響。通過(guò)Green函數(shù)的運(yùn)算，得式中是波長(zhǎng)，’是線段SQ與面積元dS的法線的夾角，是線段QP與面積元dS的法線的夾角，i是單位虛數(shù)。(2.1.4)

第六十三頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日1.Huygens-Fresnel原理

將以上兩式代入(2.1.1)，得到衍射場(chǎng)中P點(diǎn)的復(fù)振幅為(2.1.5)

第六十四頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.傍軸近似

假設(shè)衍射孔G位于Z0=0的平面上(參見圖2.2)，孔的中心C點(diǎn)的坐標(biāo)為(x0=0,y0=0)，光源S到孔中心C的距離為r’c，考查點(diǎn)P到中心C的距離為rc，則有(2.1.6)

第六十五頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.傍軸近似傍軸條件1：光源到衍射孔的距離比衍射孔的限度大得多，考查點(diǎn)到衍射孔的距離也比衍射孔的限度大得多。用數(shù)學(xué)式表示為式中(x02+y02)max1/2表示孔中心C到邊緣的最大距離。(2.1.7)

第六十六頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.傍軸近似傍軸條件2：光源到衍射孔的距離比光源到衍射孔中軸線(過(guò)C點(diǎn)垂直于衍射孔所在平面的直線)的距離大得多，考查點(diǎn)到衍射孔的距離比考查點(diǎn)到衍射孔中軸線的距離也大得多。用數(shù)學(xué)式表示為(2.1.8)

第六十七頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023年，星期日2.傍軸近似

在傍軸條件近似下，有

cos’cos1(2.1.9)

這時(shí)傾斜因子取最簡(jiǎn)單的形式k=i/。積分式(2.1.5)簡(jiǎn)化成(2.1.10)

第六十八頁(yè)，共七十六頁(yè)，編輯于2023