§3湍流流動的數(shù)學模型

3.1湍流的概述湍流流動是工程技術領域與自然界中最常見的流動現(xiàn)象，流體作湍流流動時的對流換熱是工程傳熱過程中最常見的一種換熱方式。1、湍流的概念：湍流是一種高度復雜的三維非穩(wěn)態(tài)帶旋轉的不規(guī)則運動。2、湍流的特點:1）隨機性湍流流動是由大小不等渦體所組成的無規(guī)則的隨機運動,它是最本質的特征是“湍動”,即隨機的脈動。

2）湍流擴散湍流的擴散性是所有湍流運動另一個重要特征。湍流混摻擴散增加了動量、熱量和質量的傳遞率。

3）能量耗損湍流中小渦體的運動,通過粘性運動大量耗損能量,實驗表明,湍流中的能量的損失比同條件下層流大得多。3、湍流的物理結構：大尺度渦旋由邊界條件決定，是引起低頻脈動的原因。小尺度渦旋主要由粘性力決定，是引起高頻脈動的原因。大渦旋→小渦旋→更小的渦旋→消失

目前，對湍流問題的研究仍處于探索其結構，機理和描述方法階段，面對解決工程湍流問題有兩種選擇：

1）等待湍流理論研究的成果

2）探索研究湍流新途徑4、湍流的數(shù)值模擬方法

1）直接模擬是三維非穩(wěn)態(tài)的N-S方程對湍流進行直接數(shù)值計算的方法。其特點是必須采用很小的時間與空間步長，才可能研究清楚湍流的空間結構及時間特性。因此對計算機的要求比較高。2）雷諾時均方程法雷諾時均方程是不封閉的，必須引入雷諾應力的封閉模型才可能解出平均流場。雷諾應力的主要貢獻來自大尺度脈動，而大尺度脈動的性質和流動的邊界條件密切相關。因此，雷諾應力的封閉模式不可能是普遍適應的，就是說不存在對一切復雜流動都適用的統(tǒng)一封閉模式。3）大渦模擬該方法是介于以上兩種方法之間的模擬方法。其基本思想是：大尺度脈動用數(shù)學模擬方法來計算，只將小尺度脈動對大尺度運動的作用做模型假設（亞格子應力模型假設）。這樣做的理論依據是小尺度脈動有局部平衡的性質，很可能存在某種局部普適的統(tǒng)計規(guī)律。5、不同湍流數(shù)值模擬方法比較1）對湍流分辨率的要求不同

直接模擬要求模擬所有尺度的湍流脈動。具體計算時最小的模擬尺度應當小于耗散區(qū)尺度，雷諾平均方法將所有尺度脈動產生的雷諾應力做了模型，網格尺度應大于脈動的積分尺度，網格的最小尺度由平均應力的性質決定。大渦模擬介于二者之間。2）對網格精細程度要求不同在相同雷諾數(shù)條件下，直接模擬的網格尺度最小，要求計算機內存最大，計算時間最長。雷諾平均數(shù)值模擬方法的網格尺度允許較大，因此要求計算機內存小，時間短。大渦模擬介于二者之間。

3）三種方法給出的信息量有很大差別

直接數(shù)值模擬方法可以計算所有的湍流脈動，可以給出所有量值（如雷諾應力、標量輸運量等），

雷諾平均數(shù)值模擬方法給出平均速度場、平均壓強、平均熱流量、平均合力、平均應力等。

大渦模擬介于二者之間，它可以給出大于慣性子區(qū)尺度的脈動信息，特別是大尺度的脈動信息，同時，通過統(tǒng)計計算也可以給出所有平均量。6、湍流物理量時均值及其性質物理量Ф的瞬時值，時均值及脈動值三者間有如下關系：按雷諾時均法，任一變量Ф的時間平均值定義為：（1）Ф＝＋（2）

設Ф及是兩個瞬時值，及則按定義（1）及式（2）有一下基本關系式成立：為相應的脈動值，（3）1、連續(xù)性方程3.2湍流對流換熱的雷諾時均方程

2、動量方程4、其它變量Ф方程3、時均形式的N-S方程3.3湍流模型1、湍流模型：就是把湍流的脈動值附加項與時均值聯(lián)系起來的一些特定關系式。2、湍流模型種類：雷諾應力方程法及湍流粘性系數(shù)法。3、何為模擬？推導時均方程時，二次項（乘積項）在時均化處理后產生包含脈動值的附加項，如，為了使方程組封閉，必須找出這些附加項的關系式。故人們不得不設法用近似但可解的方程組去取代嚴格而不可解的方程組，這一過程稱為?；蚰M。3.3.1雷諾應力方程法的精確方程為：

的微分方程中，引入了更高階的（三階）脈動值乘積的時均值，于是還需對更高階的附加項建立方程，但又因此引入了更高的附加項，因而最終要用模型才能使方程封閉。周培源教授提出一個渦量脈動平方平均值的方程而使方程封閉。即17方程模型（包括兩個速度脈動值時均值的微分方程和三個速度脈動值乘積時均值的近似處理的方程）3.3.2湍流粘性系數(shù)法1、湍流粘性系數(shù)法：把湍流應力表示成湍流粘性系數(shù)的函數(shù)，計算的關鍵就在于求解湍流粘性系數(shù)。1）湍流粘性系數(shù)通過給出雷諾應力與均流速度場之間的關系式，把均流方程的不封閉性由雷諾應力轉移到湍流粘性系數(shù)上。仿照層流時聯(lián)系流體的應力與應變率的本構方程，則湍流脈動所造成的湍流應力可表示成：2）湍流擴散系數(shù)對其它Ф變量的湍流脈動附加項可以引入相應的湍流擴散系數(shù)則湍流脈動傳遞的能量與時均參數(shù)的關系可表示為：其中為湍流擴散系數(shù)。注：σ為湍流Prandtl數(shù)（一般為常數(shù)，貼壁流動中取為0.9自由射流中為0.6）2、確定湍流粘性系數(shù)的思路：1）既然湍流粘性體現(xiàn)的是湍流渦團對平均流的輸運作用，首先需找哪些表征湍流量對湍流輸運過程有重要影響，進而設法把這些量與湍流粘性系數(shù)定量聯(lián)系起來。2）引入湍流粘性系數(shù)假設后，計算關鍵在于確定出ηt

，根據確定ηt微分方程數(shù)目的多少，就出現(xiàn)了零方程、一方程及兩方程模型。3.3.3零方程模型1、零方程模型零方程模型：是指不需要微分方程而是用代數(shù)關系式把湍流粘性系數(shù)與時均值聯(lián)系起來的模型。1）常系數(shù)模型：最簡單的零方程模型。比如公式模型特點：形式簡單，在湍流射流計算中曾應用較廣，但系數(shù)沒有通用性，結果不夠準確。2）二維混合長度理論混合長度lm

類比分子運動自由程在歷經混合長度的橫向距離：

因為是流向平均梯度，混合長度理論也屬于零方程模型。所以模型特點：1）適用于簡單的流動，如二維邊界層流動，平直通道內的流體的流動等；

2）在管道中心線上，速度梯度為零，使μt也為零，意味不產生湍流脈動，但實際脈動速度絕不為零，這與實際不符。3）對較復雜的流動（如回流、分離及需考慮浮力、旋轉及收縮、擴張等影響），

lm很難給出，且μt反映不出湍流強度的影響。3.3.4一方程模型

1、引入原因：1）混合長度理論中，μt只與幾何位置和時均速度場有關，沒有體現(xiàn)出與湍流特性參數(shù)的關系；2）設想μt應與脈動的特性速度及脈動的特性尺度的乘積有關。以脈動動能的平方根，即代表脈動的特性速度。提出公式：

其中：是經驗系數(shù)，為脈動的長度標尺，且K是單位質量流體湍流脈動動能（1）3）為確定μt，則必須求出脈動動能k（引出一方程模型）及長度標尺l（引出Κ-ε兩方程模型）。2、湍流脈動動能方程（k方程）

思路：根據k的定義出發(fā)，通過瞬態(tài)N-S方程及其時均形式作一系列的運算而得出。經過一系列的近似處理，使方程封閉，簡化后可得k的偏微分方程，即：（2）注：耗散過程是分子粘性起作用的過程，它直接耗散的是湍流動能而非均流動能，故耗散項不應與均流場有直接聯(lián)系。

其中：稱為脈動動能的Prandtl數(shù)。

（一般為常數(shù)，取為1.0）3、一方程模型組成及特點1）一方程模型組成：利用k方程來確定μt時，整個控制方程組包括連續(xù)性方程、動量方程、能量方程及k方程。此外還包括式（1）中的l作出規(guī)定才能使方程組封閉，構成了一方程湍流模型。2）一方程模型的特點：優(yōu)點：該方法優(yōu)于混合長度理論，因為該方法把湍流粘性系數(shù)與脈動動能聯(lián)系起來了，考慮到湍動的對流輸運和擴散輸運。缺點：仍然用經驗的方法確定l（長度標尺），因為在此方法中l(wèi)按lm的求法近似得出。3.3.5

Κ-ε兩方程模型1、引入原因：在一方程模型中，長度標尺仍然用經驗的方法給出，而長度標尺本身也是與具體問題有關的，故引出了兩方程模型。2、與湍流長度標尺有關的物理量長度比尺方程的種類很多，有些文獻廣泛采用形如Z=kmlm的公式來選擇湍流脈動的長度標尺有關的量。Rodi指出，所有這些Z變量的微分方程均類似，但對靠近壁面地區(qū)的計算來說，

ε方程最為方便，所以最流行的應首推紊動耗散方程。3、脈動動能耗散率的定義及其控制方程1）耗散率的定義：湍流中單位質量流體脈動時，各向同性的小尺度渦的機械能轉化為熱能的速率。耗散率ε的模擬定義式：

因

則有：（3）

2）Κ-ε兩方程模型的控制方程組采用Κ-ε模型來求解湍流對流換熱問題時，控制方程包括連續(xù)性方程、動量方程、能量方程及Κ，ε方程及方程（3）兩方程模型其中：（二者乘積各種文獻中幾乎一致取為0.09）方程組中，引入了三個系數(shù)及三個常數(shù)：（5）（4）4、說明：1）湍流應力計算：

2）通用控制方程：3）經驗常數(shù)的適應性：每種模型所包括的經驗常數(shù)有一定的適用范圍。（c1,c2,cμ)4）在近壁區(qū)域內的適用性：低雷諾數(shù)時，系數(shù)cμ與湍流雷諾數(shù)有關，Κ及ε方程要做相應修改。因為Κ-ε模型適合于高雷諾數(shù)模型。采用高雷諾數(shù)Κ-ε模型計算流體與固體表面換熱時，對壁面附