第二節(jié)多元函數(shù)的基本概念第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一一、平面區(qū)域的概念（1）鄰域回憶第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（1）鄰域一、平面區(qū)域的概念°°第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一注：來描述，稱為方形鄰域。而前述領(lǐng)域稱為圓形鄰域?！悝腜0顯然，任何圓形鄰域內(nèi)必含方形鄰域，任何方形鄰域內(nèi)必含圓形鄰域。第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（2）區(qū)域例如，即為開集．內(nèi)點(diǎn).（如下圖）內(nèi)點(diǎn)：開集：開集.U(P)∩E=Ф外點(diǎn)第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一連通：連通的.開區(qū)域：連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域．例如，（不連通）第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一邊界點(diǎn)：邊界點(diǎn).例如，圓周x2+y2=1和x2+y2=4均為圓的邊界.第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例如，閉區(qū)域：第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一對(duì)于點(diǎn)集E，如果存在正數(shù)K，使一切點(diǎn)P∈E

與某一點(diǎn)O間的距離|OP|不超過K，即對(duì)于一切點(diǎn)P∈E成立，則稱E為有界點(diǎn)集。否則稱為無界點(diǎn)集.有界閉區(qū)域；無界開區(qū)域．例如，第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（3）聚點(diǎn)（1）內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說明：（2）邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；例如，(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)．補(bǔ)充第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（3）點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E．例如,(0,0)

是聚點(diǎn)但不屬于集合．例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合．第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（4）n維空間實(shí)數(shù)x一一對(duì)應(yīng)數(shù)軸點(diǎn).數(shù)組(x,y)實(shí)數(shù)全體表示直線(一維空間)一一對(duì)應(yīng)平面點(diǎn)(x,y)全體表示平面(二維空間)數(shù)組(x,y,z)一一對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)(x,y,z)全體表示空間(三維空間)推廣：n維數(shù)組(x1,x2,…,xn)全體稱為n維空間，記為第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一n維空間中兩點(diǎn)間距離公式

設(shè)兩點(diǎn)為特殊地，當(dāng)

n=1,2,3時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離．n維空間中鄰域概念：區(qū)域、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義．第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（1）二元函數(shù)的定義回憶點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.二、二元函數(shù)的概念第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．點(diǎn)集D---定義域，---值域.x、y

---自變量，z---因變量.函數(shù)的兩個(gè)要素:定義域、對(duì)應(yīng)法則.第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一與一元函數(shù)相類似，對(duì)于定義域約定：定義域是自變量所能取的使算式有意義的一切點(diǎn)集.例1求的定義域．解所求定義域?yàn)榈谑?，共四十四頁，編輯?023年，星期一（2）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）第十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例如,圖形如右圖.例如,右圖球面.單值分支:第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一三、二元函數(shù)的極限第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（4）二重極限的幾何意義*>0，P0

的去心鄰域oU(P0,)。在oU(P0,)內(nèi)，函數(shù)的圖形總在平面及之間。補(bǔ)充第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例2求證

證當(dāng)時(shí)，原結(jié)論成立．第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例3求解第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例4求極限

解其中第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一注意：是指

P以任何方式趨于P0.一元中多元中第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例5設(shè)解但取其值隨

k的不同而變化。不存在．故第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一確定極限不存在的方法：第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一又如取但是不存在.原因?yàn)槿羧〉诙彭?，共四十四頁，編輯?023年，星期一第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一四、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3（1）二元函數(shù)連續(xù)的概念第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例6

利用極坐標(biāo)變換，設(shè)x=ρcosθ,y=ρsinθ，則解

所以函數(shù)在（0，0）連續(xù).第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點(diǎn)處間斷，也可能在曲線上的所有點(diǎn)處均間斷。例如(1)因此，例如(2)第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一二元初等函數(shù)：

由x和y的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的二元函數(shù)叫二元初等函數(shù)。一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．在定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)求極限可用“代入法”：第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例7求極限

解是二元初等函數(shù)。定義域：于是，（不連通）第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例8解第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一例9*.求函數(shù)的連續(xù)域.解:補(bǔ)充第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一（2）閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的二元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．定理1最大值和最小值定理定理2介值定理第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一內(nèi)容小結(jié)1.區(qū)域

鄰域:

區(qū)域連通的開集2.二元函數(shù)概念二元函數(shù)(圖形一般為空間曲面)第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一有3.

二元函數(shù)的極限4.二元函數(shù)的連續(xù)性1)函數(shù)2)閉域上的二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理;最值定理;介值定理3)一切二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期一思考題1.設(shè)求解法1令第四十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，