矩陣的分解演示文稿當前第1頁\共有42頁\編于星期五\10點（優(yōu)選）矩陣的分解.當前第2頁\共有42頁\編于星期五\10點定理3.12

L是單位下三角矩陣U一個上三角矩陣Gauss消元法的消元過程實際上是對線性代數(shù)方程組進行一系列初等行變換的過程。由線性代數(shù)知識知，線性代數(shù)方程組的初等變換相當于對其增廣矩陣實行初等行變換，也即相當于增廣矩陣左邊乘以一個初等矩陣。當前第3頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第4頁\共有42頁\編于星期五\10點也可以直接用比較法導出矩陣A的LU分解的計算公式。上式可記為比較第1行比較第r行當前第5頁\共有42頁\編于星期五\10點同樣，由比較第r列當前第6頁\共有42頁\編于星期五\10點綜合以上分析，有因此可以推導出U的第一行L的第一列------(1)------(2)當前第7頁\共有42頁\編于星期五\10點思考U的第r行L的第r列------(3)------(4)稱上述(1)~(4)式所表示的分解過程為矩陣A的Doolittle分解當前第8頁\共有42頁\編于星期五\10點function[l,u]=lu_Doolittle1(A)

%求可逆矩陣的LU分解

%A為可逆矩陣，l為單位下三角矩陣，u為上三角矩陣

n=length(A);

u=zeros(n);

l=eye(n);

u(1,:)=A(1,:);

l(2:n,1)=A(2:n,1)/u(1,1);

fork=2:n

forj=k:n

u(k,j)=A(k,j)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,j);

end

u(k,k:n)=A(k,k:n)-l(k,1:k-1)*u(1:k-1,k:n);

fori=k+1:n

l(i,k)=(A(i,k)-l(i,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end

l(k+1:n,k)=(A(k+1:n,k)-l(k+1:n,1:k-1)*u(1:k-1,k))/u(k,k);

end當前第9頁\共有42頁\編于星期五\10點對于線性方程組系數(shù)矩陣非奇異，經(jīng)過Doolittle分解后線性方程組可化為下面兩個三角形方程組當前第10頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第11頁\共有42頁\編于星期五\10點上述解線性方程組的方法稱為直接三角分解法的Doolittle分解用Doolittle分解求解方程組解下面再用Doolittle分解方法求解當前第12頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第13頁\共有42頁\編于星期五\10點Doolittle分解在計算機上實現(xiàn)是比較容易的但如果按上述流程運算仍需要較大的存儲空間:當前第14頁\共有42頁\編于星期五\10點因此可按下列方法存儲數(shù)據(jù):當前第15頁\共有42頁\編于星期五\10點直接三角分解的Doolittle分解可以用以下過程表示:存儲單元(位置)當前第16頁\共有42頁\編于星期五\10點Doolittle分解的緊湊格式當前第17頁\共有42頁\編于星期五\10點Doolittle分解的結(jié)果與Gauss消元法所得結(jié)果完全一樣，但卻避免了中間過程。當前第18頁\共有42頁\編于星期五\10點定理3.2.3設(shè)矩陣A非奇異，當且僅當矩陣A的所有順序主子式全非零時，其Doolittle分解式存在，且分解是惟一的。下面給出Doolittle分解存在惟一的一個充要條件當前第19頁\共有42頁\編于星期五\10點用緊湊格式的Doolittle分解求解方程組解當前第20頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第21頁\共有42頁\編于星期五\10點所以當前第22頁\共有42頁\編于星期五\10點用Doolittle分解求解方程組解直接利用Doolittle分解的緊湊格式算得當前第23頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第24頁\共有42頁\編于星期五\10點

列選主元Doolittle分解在Doolittle分解(包括緊湊格式)中，會反復用到公式仍有可能是小主元做除數(shù)為此，也要考慮在算法中加入選取列主元當前第25頁\共有42頁\編于星期五\10點

Crout分解L為下三角矩陣，U為單位上三角矩陣當前第26頁\共有42頁\編于星期五\10點三、Cholesky分解與平方根法

對稱正定矩陣的三角分解（Cholesky分解）當前第27頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第28頁\共有42頁\編于星期五\10點因此可以證明這種分解是唯一的設(shè)存在另外的一個分解則單位下三角單位下三角上三角上三角所以：當前第29頁\共有42頁\編于星期五\10點又因為：即所以：即則：令：當前第30頁\共有42頁\編于星期五\10點綜合以上分析,則有為了方便我們記：(Cholesky分解)且該分解式唯一這種關(guān)于對稱正定矩陣的分解稱為Cholesky分解當前第31頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第32頁\共有42頁\編于星期五\10點-------------(6)-------------(7)-------------(8)當前第33頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第34頁\共有42頁\編于星期五\10點

對稱正定線性方程組的解法線性方程組-------------(10)-------------(11)因而線性方程組(10)可化為兩個三角形方程組-------------(12)-------------(13)當前第35頁\共有42頁\編于星期五\10點用平方根法解對稱正定方程組解當前第36頁\共有42頁\編于星期五\10點當前第37頁\共有42頁\編于星期五\10點即所以原方程組的解為當前第38頁\共有42頁\編于星期五\10點平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性用平方根法求解對稱正定方程組時不需選取主元由可知因此平方根法是數(shù)值穩(wěn)定