解排列組合問(wèn)題常用方法（二十種）一、定位問(wèn)題優(yōu)先法（特殊元素和特殊位置優(yōu)先法）例、由可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字五位奇數(shù)？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，應(yīng)優(yōu)先考慮。末位和首位有特殊要求。先排末位，從三個(gè)數(shù)中任選一個(gè)共有種組合；然后排首位，從和剩余的兩個(gè)奇數(shù)中任選一個(gè)共有種組合；最后排中間三個(gè)數(shù)，從剩余四個(gè)數(shù)中任選三個(gè)共有種排列。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式、種不同的花種在排成一列的花盆里，若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆里，問(wèn)有多少不同的種法？分析：先種兩種不同的葵花在不受限制的四個(gè)花盒中共有種排列，再種其它葵花有種排列。由分步計(jì)數(shù)原理得。二、相鄰問(wèn)題捆綁法例、人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排法？分析：分三步。先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個(gè)復(fù)合元素，將丙丁兩元素也捆綁成整體看成一個(gè)復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時(shí)在兩對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式、某人射擊槍?zhuān)袠專(zhuān)瑯屆星『糜袠屵B在一起的情形的不同種數(shù)為。分析：命中的三槍捆綁成一槍?zhuān)c命中的另一槍插入未命中四槍形成的五個(gè)空位，共有種排列。三、相離問(wèn)題插空法例、一個(gè)晚會(huì)節(jié)目有個(gè)舞蹈，個(gè)相聲，個(gè)獨(dú)唱，舞蹈不能連續(xù)出場(chǎng)，則節(jié)目出場(chǎng)順序有多少種？分析：相離問(wèn)題即不相鄰問(wèn)題。分兩步。第一步排個(gè)相聲和個(gè)獨(dú)唱共有種排列，第二步將個(gè)舞蹈插入第一步排好后形成的6個(gè)空位中（包含首尾兩個(gè)空位）共有種排列，由分步計(jì)數(shù)原理得。變式、某班新年聯(lián)歡會(huì)原定的個(gè)節(jié)目已排成節(jié)目單，開(kāi)演前又增加了兩個(gè)新節(jié)目，如果將這兩個(gè)新節(jié)目插入原節(jié)目單中且不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為。分析：將個(gè)新節(jié)目插入原定個(gè)節(jié)目排好后形成的6個(gè)空位中（包含首尾兩個(gè)空位）共有種排列，由分步計(jì)數(shù)原理得。四、定序問(wèn)題除序（去重復(fù)）、空位、插入法例、人排隊(duì)，其中甲、乙、丙人順序一定，共有多少種不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍縮法或縮倍法。對(duì)于某幾個(gè)元素順序一定的排列問(wèn)題，可先把這幾個(gè)元素與其他元素一起進(jìn)行排列，然后用總排列數(shù)除以這幾個(gè)元素之間的全排列數(shù)。共有不同排法種數(shù)為：。（空位法）設(shè)想有把椅子，讓除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有種坐法；甲、乙、丙坐其余的三個(gè)位置，共有種坐法?？偣灿蟹N排法。思考：可以先讓甲乙丙就坐嗎？（可以）（插入法）先選三個(gè)座位讓甲、乙、丙三人坐下，共有種選法；余下四個(gè)空座位讓其余四人就坐，共有種坐法?？偣灿蟹N排法。變式、人身高各不相等，排成前后排，每排人，要求從左至右身高逐漸增加，共有多少種不同的排法？分析：人身高各不相等且從左至右身高逐漸增加，說(shuō)明順序一定。若排成一排，則只有一種排法；現(xiàn)排成前后兩排，因此共有種排法。五、平均分組問(wèn)題倍除法（去重復(fù)法）例、本不同的書(shū)平均分成堆，每堆本，有多少種不同的分法？分析：分三步取書(shū)有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記本書(shū)為，若第一步取，第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有、、、、共種分法，而這些分法僅是一種分法?？偣矐?yīng)有種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，分組后一定要除以（為均分的組數(shù)），避免重復(fù)計(jì)數(shù)。變式①、將個(gè)球隊(duì)分成組，一組個(gè)隊(duì)，其它兩組個(gè)隊(duì)，有多少種不同的分法？分析：分三步。第一步取個(gè)隊(duì)為一組，有種分法；余下個(gè)隊(duì)平均分成兩組，每組個(gè)隊(duì)，有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記個(gè)隊(duì)為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。總共應(yīng)有種分法。變式②、名學(xué)生分成組，其中一組人，另兩組人，正、副班長(zhǎng)不能分在同一組，有多少種不同的分組方法？分析：㈠總的分組方法：分三步。第一步取人為一組，有種分法；余下個(gè)人平均分成兩組，每組個(gè)人，有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記個(gè)人為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法?？偣矐?yīng)有種分法。㈡正、副班長(zhǎng)同分在人一組：分三步。第一步在人中取人，加上正、副班長(zhǎng)共人為一組，有種分法；余下個(gè)人平均分成兩組，每組個(gè)人，有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記個(gè)人為，若第二步取，第三步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。總共應(yīng)有種分法。㈢正、副班長(zhǎng)同分在人一組：分三步。第一步在人中取人，有種分法；第二步在余下的人中取人，有種分法；第三步余下人加上正、副班長(zhǎng)形成一組，只有一種分法。總共應(yīng)有種分法。㈠減㈡減㈢得：總共有種分法。變式③、某校高二年級(jí)共有個(gè)班級(jí)，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入名學(xué)生，要安排到該年級(jí)的兩個(gè)班級(jí)且每班安排名，則不同的安排種數(shù)為。分析：分三步。前兩步將轉(zhuǎn)入的名學(xué)生平均分成兩組，每組名學(xué)生，有種分法，但存在重復(fù)計(jì)數(shù)。記名學(xué)生為，若第一步取，第二步取，該分法記為，則在中還有共種分法，而這種分法是同一種分法。第三步將分成的兩組分配到個(gè)班級(jí)，有種分法?？偣矐?yīng)有種分法。六、元素相同問(wèn)題隔板法例、有個(gè)運(yùn)動(dòng)員名額，分給個(gè)班，每班至少一個(gè)，有多少種分配方案？分析：幅油畫(huà)是一個(gè)小集團(tuán)，內(nèi)部有種排法；幅國(guó)畫(huà)也是一個(gè)小集團(tuán)，內(nèi)部有種排法；兩個(gè)小集團(tuán)排列，有種排法；將幅水彩畫(huà)插入兩個(gè)小集團(tuán)排列后形成的一個(gè)空中，有種排法。由分步計(jì)數(shù)原理得。變式②、男生和女生站成一排照像，男生相鄰且女生也相鄰的排法有種。分析：男生是一個(gè)小集團(tuán)，內(nèi)部有種排法；女生也是一個(gè)小集團(tuán)，內(nèi)部也有種排法；兩個(gè)小集團(tuán)排列，有種排法。由分步計(jì)數(shù)原理得。十三、含約束條件問(wèn)題合理分類(lèi)與分步法例、在一次演唱會(huì)上共名演員，其中人會(huì)唱歌，人會(huì)跳舞，現(xiàn)要演出一個(gè)人唱歌人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？分析：名演員中有人只會(huì)唱歌，人只會(huì)跳舞，人為全能演員。以選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)分三類(lèi)，每一類(lèi)中再分步：①只會(huì)唱歌的人中沒(méi)有人選上唱歌人員，有種；②只會(huì)唱歌的人中只有人選上唱歌人員，有種；③只會(huì)唱歌的人中有人選上唱歌人員，有種。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種選派方法。解含有約束條件的排列組合問(wèn)題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步。做到分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)明確，貫穿解題過(guò)程始終；每一類(lèi)中分步層次清楚，不重不漏。本題還有如下分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：①以個(gè)全能演員是否選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)；②以個(gè)全能演員是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)；③以只會(huì)跳舞的人是否選上跳舞人員為標(biāo)準(zhǔn)。變式①、從名男生和名女生中選出人參加某個(gè)座談會(huì)，若這人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有種。分析：以選上女生為標(biāo)準(zhǔn)分三類(lèi)，每一類(lèi)中再分步：①選上女生人，有種；②選上女生人，有種；③選上女生人，有種。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種選派方法。本題還可以選上男生為標(biāo)準(zhǔn)分三類(lèi)。變式②、成人小孩乘船游玩，號(hào)船最多乘人，號(hào)船最多乘人，號(hào)船只能乘人，他們?nèi)芜x只船或只船，但小孩不能單獨(dú)乘一只船，這人共有多少種乘船方法？分析：分兩大類(lèi)。第一大類(lèi)為選只船，則只能選號(hào)船和號(hào)船。以號(hào)船乘成人為標(biāo)準(zhǔn)，又可分為兩小類(lèi)：每一小類(lèi)乘成人人，有種；每二小類(lèi)乘成人人，有種。第二大類(lèi)為選只船。以號(hào)船乘成人為標(biāo)準(zhǔn)，又可分為三小類(lèi)，每一小類(lèi)均有種。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，共有種乘船方法。十四、簡(jiǎn)單問(wèn)題實(shí)際操作窮舉法例、設(shè)有編號(hào)，，，，的五個(gè)球和編號(hào)，，，，的五個(gè)盒子，現(xiàn)將個(gè)球放入個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子放個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，有多少種不同的放法？分析：從個(gè)球中取出個(gè)與盒子對(duì)號(hào)，有種取法；剩下球盒不對(duì)號(hào)，利用實(shí)際操作法。如果剩下，，號(hào)球，，，號(hào)盒，號(hào)球只能裝入號(hào)或號(hào)盒，有兩種裝法；當(dāng)號(hào)球裝號(hào)盒時(shí)，則，號(hào)球，只有種裝法；同理號(hào)球裝號(hào)盒時(shí)，，號(hào)球有也只有種裝法。由分步計(jì)數(shù)原理有種。變式、同一寢室4人，每人寫(xiě)一張賀年卡集中起來(lái)，然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有多少種？分析：設(shè)甲、乙、丙、丁4人，甲可拿乙、丙、丁的賀年卡。分三類(lèi)。第一類(lèi)：甲拿乙的，則乙可拿甲、丙、丁的，無(wú)論乙拿甲（或丙或?。┑?，丙、丁的拿法都唯一，有種。第二類(lèi)：甲拿丙的，則乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有種；若乙拿丁的，則丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有種。小計(jì)有種。第三類(lèi)：與第二類(lèi)同理，有種。由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理知，共有種。十五、數(shù)字排序問(wèn)題查字典法例、由，，，，，六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)的比大的數(shù)？分析：數(shù)字排序問(wèn)題可用查字典法。從高位向低位查，依次求出其符合要求的個(gè)數(shù)，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理求出其總數(shù)。①首位（十萬(wàn)位）為或，各有個(gè)；②首位為，萬(wàn)位為或，各有個(gè)；③首位為，萬(wàn)位為，千位為，有個(gè)；④首位為，萬(wàn)位為，千位為，百位為，有個(gè)；⑤首位為，萬(wàn)位為，千位為，百位為，十位為，有個(gè)。共有個(gè)。變式、用，，，，，這六個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)的四位偶數(shù)，將這些數(shù)字從小到大排列起來(lái)，第個(gè)數(shù)是。分析：①千位為，個(gè)位為，有個(gè)；②千位為，個(gè)位為，有個(gè)；③千位為，個(gè)位為，有個(gè)；④千位為，個(gè)位為，有個(gè)；⑤千位為，個(gè)位為，有個(gè)；⑥千位為，十位為，個(gè)位為（或），各有個(gè)。共個(gè)。接下來(lái)有，，，，，，第個(gè)數(shù)是。十六、復(fù)雜問(wèn)題分解與合成法分解與合成法是解排列組合問(wèn)題的一種最基本的解題方法。把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題分解成幾個(gè)小問(wèn)題逐一解決，然后依據(jù)問(wèn)題分解后的結(jié)構(gòu)，用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理將問(wèn)題合成。從而得到問(wèn)題的答案。每個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題，都要用到這種解題方法。例、能被多少個(gè)不同的偶數(shù)整除？分析：先把分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式。依題意可知：偶因數(shù)必先取，再?gòu)钠溆鄠€(gè)因數(shù)中任取若干個(gè)組成乘積。所有的偶因數(shù)為：。變式、正方體的個(gè)頂點(diǎn)可連成多少對(duì)異面直線？分析：從個(gè)頂點(diǎn)中任取個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成四面體共有個(gè)，每個(gè)四面體有對(duì)異面直線，正方體的個(gè)頂點(diǎn)可連成對(duì)異面直線。十七、復(fù)雜問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)法（化歸法）例、人排成方陣，現(xiàn)從中選人，要求人不在同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？分析：將問(wèn)題退化成人排成方陣，現(xiàn)從中選人，要求人不在同一行也不在同一列，有多少種不同的選法？這樣每行（列）有且只有人，從其中的一行中選取人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去，從方隊(duì)中選人的方法有種。再?gòu)姆疥囘x出方陣便可解決問(wèn)題。從方隊(duì)AB中選取行列，有選法。所以從方陣選不在同一行也不在同一列的人有選法。AB變式、某城市的街區(qū)由個(gè)全等的矩形區(qū)域組成，其中實(shí)線表示馬路，從走到的最短路徑有多少種？分析：將問(wèn)題退化成從走到的最短路徑需要七步，四步向右三步向上，共有（或）種。十八、復(fù)雜分類(lèi)問(wèn)題表格法例、有紅、黃、蘭色的球各只，分別標(biāo)有、、、、五個(gè)字母，現(xiàn)從中取只，要求各字母均有且三色齊備，則共有多少種不同的取法？分析：一些復(fù)雜的分類(lèi)選取題，要滿(mǎn)足的條件比較多，無(wú)從入手，經(jīng)常出現(xiàn)重復(fù)遺漏的情況，用表格法，則分類(lèi)明確，能保證題中須滿(mǎn)足的條件，達(dá)到好的效果。紅紅111223黃123121蘭321211取法十九、運(yùn)算困難問(wèn)題樹(shù)圖法例、人相互傳球，由甲開(kāi)始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)次傳球后，球仍回到甲的手中，則不同的傳球方式有種？解析：此題不易用公式進(jìn)行運(yùn)算，用樹(shù)圖法會(huì)收到意想不到的結(jié)果。變式、分別編有，，，，號(hào)碼的人與椅，其中號(hào)人不坐號(hào)椅的不同坐法有多少種？解析：樹(shù)圖法如下：二十、不易理解問(wèn)題構(gòu)造模型法例、馬路上有編號(hào)為的九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的盞，但不能關(guān)掉相鄰的盞或盞，也不能關(guān)掉兩端的盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方法有多少種？分析：此問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為排隊(duì)模型。在盞亮燈形成的個(gè)空隙中，插入盞不亮的燈，有種。一些不易理解的排列組合問(wèn)題