2021年上半年高中《數(shù)學(xué)學(xué)科知識》教師資格證考試統(tǒng)考真題及答案一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)。.設(shè)函數(shù)=j加(2+/)=旅，則廣⑸的零點個數(shù)是().4.0B.l C.2 D.31.【答案】解柝：尸(幻=([ln(2+1)%)2=2工皿2+代)=0.只有x=0一個解°2設(shè)小；是兩個不共線的向量:，則。+6>a-b的充要條件是()-> >jrA0<N?M<—CO<Z,(a,b)<；

北iB—< <k2d'￡N(a.b)<久2.【答案】A。解析：不等式兩邊同時平方得(。+b)1>{a-b產(chǎn)，化簡的a-b=ahco">0,R|-cos>0,所以o<〃<；(〃為：工的夾角)3設(shè)懷=0.%,%是線性方程組a二。的一個基礎(chǔ)解系，所以4b ,則下列向量中不是矩陣A的特征向量是()A3aLa? Bai-3a2 CaL3a3 D3a3.【答案】C。解析，因為a血是線性方程組Ax-0的一個基礎(chǔ)解系，所以Aa「AaiO,對于選項A有A(3ai+a2)-3Aai卜AbO=O(3a2a?)J聽以是A的特征向量；同樣選項H也是矩陣A是特性向量；對于選項D,由于Aa3=aj/0,所以A(3A4)-3八%=3%，故D也是矩咫A的特征向量；至于選項C,A(a2-3a3)=Aa2+3Aa3-3a5,不能寫成m(a/3aj的形式，所以C不是矩陣A的特征向星。x=sin"4在空間直角坐標(biāo)系中,由參數(shù)方程y=-l+cose(0￡6￡0z=sin2為確定的曲線的一般方程是(4x2+2y=0y2+2y+z2=0x2+yz+2y=0苫2+2>=0x2+y2=0y2+z2+2z=0xl+2x+/=0/+2z=0.【答案】C。解析：聯(lián)立x二sin0/=-l+co?〃消去〃得(十犬+2廣0,可知選C.Ay-l?cos，和z=-sin聯(lián)立消去0可得/2y-0.25函數(shù)列S(H)｝與居數(shù)「⑻都是在閉區(qū)間［〃㈤有定義則在|%“1億(X)｝致收斂于f(x)的充要條件是()八力￡>0、代卜6口正整數(shù)N,使得當(dāng)n〉N時，W|/n(x)-/(x)|<￡BVoO,玉。wMM三正整數(shù)N,使得當(dāng)n〉N時， 旬/(x)-/(x)|<e㈠正整數(shù)N,Vc>0,玄。?除”使得當(dāng)n〉N時，有/G)—〃x)|<cDVe>0,m正整數(shù)N,佞得當(dāng)nAN時,Dxe口,同，有|力(上)一〃刈v6.【答案】Do解析，根據(jù)定義可得。PQ-R的矩陣Q是()(010010]「010「01a|100>B.101} C.100， D.10[101010)011]006設(shè)P為三階方陣，將P的第列與第二列交換得到T,再把T的第二列加至J第三列得到R.貝U滿足6.【答案】d解析：列變換相當(dāng)「右乘相應(yīng)的初等矩陣°101.發(fā)覺勾股定理的希臘數(shù)學(xué)家是()A.泰勒斯B?畢達(dá)哥拉斯C?歐幾里得D.阿基米德.《一般高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實驗)》提出五種大體能力，沒有包括在其中的是()A.推理論證能力B.運算求解能力C.數(shù)據(jù)處置能力D.幾何做圖能力

二、簡答題(本大題共5小題，每小題7分，共35分)9在空間直角坐標(biāo)系卜，試判斷直線fx+》+NT=°與平面萬：3工-二2三-1=0的位置關(guān)系，并求x+2y-z-2=0出直線1與平面”的夾角正弦值.【答案】相交；sin，=迤，解析：平面n的法向量為7=(3,7,2)；平面2x+y+zR的法向量為21n=(2JJ),平面x+2y?z?2=0的法向量為?=(1.2-1),則直線1的方向向埴為7工111=-37+3J+3J?=(-3,3,3)2-J吐〃=一9-3+6=-6,可知直線I與平面n相父。設(shè)直線1設(shè)直線1平面n的夾角為asin6二?442~2T，10袋子中有70個紅球，30個黑球，從袋子中連續(xù)摸球兩次，每次摸一個球，而旦是不放回的摸球:(1)求兩次摸球均為紅球的概率“(2)若第一次摸到紅球，求第二次摸到黑球的慨率，【答案】M解析:【答案】M解析:(1)由分步乘法原理可知p=70 69161 +-= 70+3099330(3)由已知易得：第二次摸出為黑球的概率為型=此993311請簡述如何估算e的近似值，使其誤差不超過1(尸【答案】解析：利用Taylor公式展開可得：cx【答案】解析：利用Taylor公式展開可得：cx=l+x+——+...+ （X）.貝J有Z2.e=]+Q+…」*2! 7!504n2.7181.請列舉數(shù)學(xué)課堂教學(xué)導(dǎo)入的兩種方式，并舉例說明?！敬鸢浮拷馕觯悍绞揭唬褐苯訉?dǎo)入法舉例：在學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的證明時，直接提出函數(shù)單調(diào)性的概念，告知學(xué)生宜接從圖像觀看出來的單調(diào)性并非精準(zhǔn)，只有通過概念證明才行，提出用概念證明法的步驟，進行證明。這種方式直截了當(dāng)，讓學(xué)生容易明白得。方式二：溫習(xí)導(dǎo)入法，例如，等比數(shù)列的概念及計算公式能夠先溫習(xí)等差數(shù)列的概念及計算公式再來導(dǎo)入。.學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評判主體應(yīng)該是多元化，請列舉四種評判的主體，并簡述評判主體多元化的意義。【答案】教師、家長、學(xué)生、社會；意義：(1)強調(diào)評判進程中主體間的雙向選擇，通過溝通和協(xié)商，能夠關(guān)注評判結(jié)果的認(rèn)同問題。(2)通過增強自評、互評，能使評判成為教師、治理者、學(xué)生、家長一起踴躍參與的交互活動。(3)增進兩邊的了解和明白得，形成踴躍、友好、平等和民主的評判關(guān)系，進而使評判者在評判進程中能有效地對被評判者的進展進程進行監(jiān)控和指導(dǎo)，幫忙被評判者認(rèn)同評判結(jié)果，最終增進其不斷改良，取得進展。三、解答題(本大題1小題,10分).設(shè)A是一個m*n矩陣，證明：矩陣A的行空間維數(shù)等于它的列空間維數(shù)?！?2 …"1”【答案】證明：設(shè)矩陣/二"七…""，設(shè)行空間的維數(shù)為一列空間維數(shù)為7,A,%…4為矩陣A的行向量組，不妨設(shè)“心…凡為一組基，所以方程組x向2十%也十…十乂同-0只有零解，即線+a21x2+…=0f 、"11Cl2\…Clr\性方程組42七+/2項+“-+42&=0只有等解,則其系數(shù)用陣???Cl\2 …arl??? ?????????的行向量空間的。1內(nèi)+—27?。2+，??+。0當(dāng)生力…J維數(shù)2r，因此它的行向帶組可以找到r個線性無關(guān)的向量，不妨設(shè)為（ …,（a]2,昨…，"，…，（a..r,%，…aj線性無關(guān)，則（電.,也”…為卜…/）,（a⑵a@…a⑦…42），…（a*,a2r，…a.…aQ也線性無關(guān)，他優(yōu)正好是矩陣A的r個列向量，則矩陣A的列空間的維數(shù)r22rn,同理可證rNrl所以r=rl,即矩陣A行空間的維數(shù)等于它列空間的維數(shù)。四、論述題（本大題1小題，15分）15數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾（Hans.Fieudental）以為，人們在觀看熟悉和改造客觀世界的進程中，運用數(shù)學(xué)的思想和方式來分析和研究客觀世界的各類現(xiàn)象，從客觀世界的對象及其關(guān)系中抽象并形成數(shù)學(xué)的概念、法那么和定理，和為解決實際問題而構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型等，確實是一種數(shù)學(xué)化的進程。（1）請舉出一個實例，并簡述其“數(shù)學(xué)化”的進程。（6分）（2）分析經(jīng)歷上述“數(shù)學(xué)化”進程對培育學(xué)生“發(fā)覺問題，提出問題”和“抽象歸納”能力的作用（9分）【參考答案】（1）實例：老鼠的繁衍率：假設(shè)老鼠每胎產(chǎn)鼠6只，其中3雌3雄，兩胎之間距離時刻40天，小鼠從誕生到發(fā)育成熟需要120天，現(xiàn)假設(shè)在理想情形下（即不考慮死亡、周期轉(zhuǎn)變、突發(fā)事件等），一對老鼠開始生育，估量一年后老鼠的總數(shù)將達(dá)多少只？“數(shù)學(xué)化”：①從實際問題中，抽象出有關(guān)的數(shù)學(xué)模型，并對這些數(shù)學(xué)成份用圖式法表示。②從圖式法表示中，尋覓并發(fā)覺問題的有關(guān)的關(guān)系和規(guī)律。③從所發(fā)覺的關(guān)系中，成立相應(yīng)的公式，以求得某種一樣化的規(guī)律。④運用其它不同方式（數(shù)學(xué)模型）解決這一問題。（3）經(jīng)歷上述“數(shù)學(xué)化”進程，關(guān)于培育學(xué)生“發(fā)覺問題，提出問題”和“抽象歸納”能力有以下作用：①充分考慮學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，己有的生活體會和數(shù)學(xué)的實際，靈活處置教材，依如實際需要對原材料進行優(yōu)化組合。通過設(shè)計與生活現(xiàn)實緊密相關(guān)的問題，幫忙學(xué)生熟悉到數(shù)學(xué)與生活有緊密聯(lián)系，從而體會到學(xué)好數(shù)學(xué)關(guān)于咱們的生活有專門大的幫忙，無形中產(chǎn)生了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動力，有利于快速的發(fā)覺問題。②由“數(shù)學(xué)化”進程能夠看動身覺問題是直觀的，容易引發(fā)學(xué)生想象的數(shù)學(xué)問題，進而提出問題。而這些數(shù)學(xué)問題在中的數(shù)學(xué)背景是學(xué)生熟悉的事物和具體情景，而且與學(xué)生己經(jīng)了解或?qū)W習(xí)過的數(shù)學(xué)知識相關(guān)聯(lián)，專門是要與學(xué)生生活中積存的常識性知識和那些學(xué)生己經(jīng)具有的。③通過一個充滿探討的進程去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，讓己經(jīng)存在于學(xué)生頭腦中的那些非正規(guī)的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)體驗上升進展為科學(xué)的結(jié)論，從中感受數(shù)學(xué)發(fā)覺的樂趣，增進學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，形成應(yīng)用意識、創(chuàng)新怠識,從而達(dá)到素養(yǎng)教育的目的，關(guān)于學(xué)生抽象歸納能力明顯增強。第五題圖片在網(wǎng)站中。問題：教師1要緊依照教科書提供的解決問題方式組織課堂教學(xué)，教師2沒有完全依照教科書組織教學(xué)，請對兩位教師的做法加以評判；（5分）為了引發(fā)學(xué)生踴躍試探、領(lǐng)會教學(xué)思想，從從處置好課堂教學(xué)中預(yù)設(shè)與生成關(guān)系的視角，對兩位教師的教學(xué)作評析；（10分）給出運用函數(shù)證明該不等式的方式，并簡要說明該方式的數(shù)學(xué)教學(xué)價值。（5分）【參考答案】（1）教師1的教學(xué)方式是傳統(tǒng)的教學(xué)方式，比較古板，沒有熟悉到學(xué)生的認(rèn)知水平，沒有考慮到學(xué)生之間的個體不同。優(yōu)勢是在一個例題終止后，教師布置一道練習(xí)題進行鞏固練習(xí)O教師2的教學(xué)完全符合新課標(biāo)下的教學(xué)方式，將課堂交給學(xué)生，以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生誘發(fā)試探，循環(huán)漸進的啟發(fā)學(xué)生，充分考慮到學(xué)生的個體不同，幫忙學(xué)生打開思路。在課堂中，采納師生互動合作的學(xué)習(xí)方式，并將學(xué)生解答方式展此刻黑板上，最后讓學(xué)生補充其他的解題方式，充分尊重每一個學(xué)生的方式?？墒沁@位教師的不足是在教學(xué)設(shè)計時沒有考慮到用函數(shù)的方式解決不等式，課前沒有考慮到解不等式的函數(shù)思想方式。教師1沒有辯證的明白得“預(yù)設(shè)與生成”的關(guān)系，只有“預(yù)設(shè)”，完全封鎖，一切盡在“教師的掌控當(dāng)中”的現(xiàn)象，沒有結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平和學(xué)生間的個體不同，致使造成不適當(dāng)?shù)摹吧伞?，?/p>