5.1隨機(jī)信號簡介是時(shí)間t或n的函數(shù)，沒有明確的數(shù)學(xué)關(guān)系。樣本無窮多，持續(xù)時(shí)間無窮長。對任一時(shí)刻t

的集合構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)變量，隨著t的變化我們得到無窮多個(gè)隨機(jī)變量。

用描述隨機(jī)變量的方法來描述隨機(jī)信號。組成隨機(jī)過程的樣本函數(shù)總體

隨機(jī)信號描述均值：自相關(guān)函數(shù)：平穩(wěn)隨機(jī)過程

均值和時(shí)間無關(guān)，是常數(shù)；自相關(guān)函數(shù)與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān)，只與兩點(diǎn)的時(shí)間差有關(guān)。不同樣本函數(shù)計(jì)算的均值、自相關(guān)函數(shù)都一樣，則稱此隨機(jī)過程為各態(tài)遍歷的。非平穩(wěn)隨機(jī)過程

包括所有不滿足平穩(wěn)性要求的隨機(jī)過程。非平穩(wěn)隨機(jī)過程的特性一般是隨時(shí)間而變化的。

5.2隨機(jī)信號的相關(guān)分析5.2.1自相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用1定義

一般隨機(jī)信號

概率密度廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號各態(tài)遍歷隨機(jī)信號

2.自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)

性質(zhì)1

若X(n)是實(shí)信號，

性質(zhì)2性質(zhì)3

周期平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)必是周期函數(shù)，且與過程的周期相同。

性質(zhì)4

性質(zhì)5

不包含任何周期分量的非周期平穩(wěn)過程滿足

3.自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)直接估計(jì)無偏估計(jì)快速計(jì)算——利用FFT來實(shí)現(xiàn)的快速計(jì)算

求傅立葉變換，得

令l=n+m2212012022)(1)()(1wwwjNljNnNlNnjNeXNelxenxN=--=-=??自相關(guān)函數(shù)和的功率譜是一對傅立葉變換

4自相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

檢測淹沒在隨機(jī)噪聲中的周期信號令,則

檢測信號的回聲

若信號中存在有時(shí)間延時(shí)τ的回聲，那么自相關(guān)函數(shù)在τ除達(dá)到峰值5.2.2互相關(guān)函數(shù)及應(yīng)用1定義

一般隨機(jī)信號

聯(lián)合概率密度

廣義平穩(wěn)隨機(jī)信號各態(tài)遍歷隨機(jī)信號

2、互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)與均值、標(biāo)準(zhǔn)差有如下關(guān)系不是偶函數(shù)，也不對稱。若與是兩個(gè)完全獨(dú)立無關(guān)的信號，則

的最大峰值一般不在處。直接方法：

3.互相關(guān)函數(shù)的估計(jì)間接估計(jì)法（快速傅立葉變換）

先通過FFT求得互功率譜函數(shù)，然后計(jì)算互譜的逆傅里葉變換。

FFTFFT序列相乘IFFT共軛測量滯后時(shí)間當(dāng)系統(tǒng)的輸出與輸入之間有一定的時(shí)間差時(shí)，互相關(guān)函數(shù)在時(shí)間差等于信號通過系統(tǒng)所需時(shí)間值時(shí)，將出現(xiàn)峰值。

設(shè)信號傳播速度為V，a和b兩點(diǎn)距L，則信號由a點(diǎn)傳播到b點(diǎn)的時(shí)間延遲4互相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用

熱軋鋼運(yùn)動(dòng)速度測定

互相關(guān)函數(shù)測試框圖

確定傳遞通道從噪聲信號中檢測信號有無解：設(shè)隨機(jī)信號x(n)中含有加性噪聲u(n)，s(n)為有用信號，則：測定系統(tǒng)的頻率響應(yīng)原理圖

互相關(guān)FFT系統(tǒng)識別

5.3.1隨機(jī)信號的功率譜密度

1定義5.3隨機(jī)信號的功率譜估計(jì)由于是隨機(jī)過程的一個(gè)樣本函數(shù)，取哪一個(gè)樣本函數(shù)取決于試驗(yàn)結(jié)果，且是隨機(jī)的。因此，和也都是試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)函數(shù)，可寫成和。若是實(shí)函數(shù)，可得某個(gè)樣本函數(shù)的平均功率

樣本函數(shù)的功率譜密度函數(shù)

如果對所有試驗(yàn)結(jié)果取統(tǒng)計(jì)平均

隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)，簡稱功率譜密度。

5.3.2功率譜密度的性質(zhì)非負(fù)性，

是實(shí)函數(shù)

當(dāng)隨機(jī)信號是實(shí)過程時(shí)，其功率譜是偶函數(shù)，即5.3.3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

引入連續(xù)時(shí)間隨機(jī)信號

變量替換自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度構(gòu)成傅立葉變換對

維納－辛欽定理或維納－辛欽公式

離散時(shí)間隨機(jī)序列具有零均值實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度與序列的自相關(guān)函數(shù)是一對離散時(shí)間傅立葉變換對。

經(jīng)典法(線性估計(jì)法)—用傳統(tǒng)的傅里葉變換分析方法求譜。間接法(相關(guān)估計(jì)法)—由數(shù)據(jù)的自相關(guān)序列求功率譜；直接法(周期圖法)—由數(shù)據(jù)直接用離散傅里葉變換求功率譜。

現(xiàn)代法（非線性估計(jì)法）5.3.4功率譜估計(jì)的方法按定義從無限區(qū)間求得真實(shí)頻譜，實(shí)際是在有限域中計(jì)算，這只是真實(shí)頻譜的一種估計(jì)值，稱為譜估計(jì)。1.相關(guān)估計(jì)法維納—欣欽定理：實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)序列的功率譜密度與序列的自相關(guān)函數(shù)是一對傅里葉變換。2.周期圖法采取窗處理減少功率泄漏。采取平均化處理減小統(tǒng)計(jì)變異性。加長觀測時(shí)間獨(dú)立觀測多次，對結(jié)果進(jìn)行平進(jìn)化處理。

降低頻率分辨率換取估計(jì)方差減小周期圖法修改：數(shù)據(jù)分段加窗處理計(jì)算各段FFT求各段功率譜求平均功率譜改進(jìn)周期圖法（Welch）原理：使分段數(shù)增加，而每段的長度又不減小3.經(jīng)典譜估計(jì)法的優(yōu)缺點(diǎn)可用FFT計(jì)算，速度快實(shí)際中，存在不符合實(shí)際的假設(shè)，限制了譜估計(jì)的質(zhì)量自相關(guān)法用有限的觀測數(shù)據(jù)N估計(jì)周期圖法假設(shè)數(shù)據(jù)以N為周期延拓譜的分辨率正比2π/N.不可避免窗函數(shù)影響方差性能不好可以通過采用相應(yīng)的改進(jìn)措施和譜校正方法改善1預(yù)濾波當(dāng)信號需要平滑或抑制不需要的頻率分量時(shí)，可采用濾波的方法。2零均值變換

3趨勢項(xiàng)的移動(dòng)其中：4選擇窗函數(shù)時(shí)：周期信號盡量保證整周期采樣，選擇合適的窗函數(shù)，使信號截?cái)噤J角鈍化與功率譜估計(jì)有關(guān)的MATLAB函數(shù)periodogram

（周期圖）Pwelch（Welch法）

[Pxx,f]=periodogram(xn,nfft,fs,window)[Pxx,f]=periodogram(xn,nfft,fs,window,‘range’)[Pxx,f]=pwelch(xn,nfft,fs,window,noverlap)[Pxx,f]=pwelch(xn,nfft,fs,window,noverlap,‘range’)Pxx=pwelch(xn,window,noverlap)

psd

（Welch法計(jì)算自功率譜）

spectrum

（Welch法計(jì)算自功率譜）

Pxx=psd(xn)Pxx=psd(xn,nfft)[Pxx,f]=psd(xn,nfft,fs)

Pxx=psd(xn,nfft,fs,window)

Pxx=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap)

Pxx=psd(xn,nfft,fs,window,noverlap,‘dflag’)[Pxx,f]=spectrum(xn,nfft,fs,window,noverlap,‘dflag’)Pxy=csd(x,y)Pxy=csd(x,y,nfft)[Pxy,f]=psd(x,y,nfft,fs)Pxy=csd(x,y,nfft,fs,window)Pxy=csd(x,y,nfft,fs,w