第四章LTI連續(xù)系統(tǒng)的復(fù)頻域分析應(yīng)用傅里葉變換的局限性1、有些信號非絕對可積時，傅里葉變換就不存在；2、傅里葉反變換是復(fù)變函數(shù)的廣義積分，難以計算，甚至求不出；

3、用傅里葉變換可求yf(t)，但求不出yx(t)。

解決辦法：引入因子與因果信號f(t)相乘得：絕對可積且滿足荻里赫利條件

f(t)←→F(s)§4–1拉普拉斯變換一、拉普拉斯變換1．單邊拉普拉斯正變換

2．單邊拉氏反變換

F(s)稱為f(t)的象函數(shù)，f(t)稱為F(s)的原函數(shù)

證明3．雙邊拉普拉斯變換[若f(t)為非因果信號]

二、拉氏變換的收斂域欲F(s)存在，則必須滿足條件：0j0收斂軸收斂域=Re(s)在s平面上，(0,)為收斂域，(-,0]為非收斂域。

例1．求下列常用單邊信號的拉氏變換及其收斂域

解:

收斂域為整個s平面

總之，只要足夠大，F(xiàn)(s)一定存在。收斂域問題不再討論，除非題中特別要求這樣做

三、常見信號的拉氏變換對1、沖激信號2.階躍信號：3.斜坡信號：4、指數(shù)函數(shù)信號5、正冪信號6、余弦信號7、正弦信號§4–2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1、線性特性：2、展縮特性：3、時移特性：注意：一、拉氏變換的基本性質(zhì)：若f1(t)是周期信號f(t)的第一個周期內(nèi)的信號4、頻移特性：5、時域卷積

周期信號的拉氏變換：推論：

6、復(fù)頻域卷積：

7、時域的微分性：時域微分性和積分性可將f(t)微分方程和積分方程化為復(fù)頻域F(s)的代數(shù)方程，自動引入初始狀態(tài)，通過復(fù)頻域分析法可求得系統(tǒng)的全響應(yīng)。8、時域的積分性：9、復(fù)頻域的微分性：10、復(fù)頻域的積分性：二、拉氏變換初終值定理：注：初值定理應(yīng)用的條件是F(s)是真分式，若不是，則在t=0處有沖激及其導(dǎo)數(shù)產(chǎn)生。F(s)可寫成多項式和真分式之和。1、初值定理2、終值定理終值定理應(yīng)用的條件是F(s)的極點必須位于左半平面，虛軸上有極點也必須是一階極點。例：解（1）求初值（2）求終值三、調(diào)制定理

§4–3拉普拉斯反變換由象函數(shù)求原函數(shù)(即求拉普拉斯反變換)的方法：

一、試湊法：結(jié)合拉氏變換的性質(zhì)，將象函數(shù)湊成常用變換對求解。例：解：例：用拉普拉斯變換求積分方程中的x(t)解：二、部分分式展開法F(s)通常為s的有理分式，一般形式為

總的思路：

有理假分式有理真分式最簡分式之和f(t)按D(s)=0的根(稱為F(s)的極點)有無重根等分別討論如下：1．當(dāng)mn且為n個單根p1,p2,…,pn

(可為實根、虛根或復(fù)根)則有原函數(shù)且針對共軛復(fù)根同樣有如下結(jié)論和推論：

例：求的原函數(shù)f(t)解：的原函數(shù)f(t)解：例:求例3：或者直接寫出對應(yīng)的原函數(shù)然后用歐拉公式2．當(dāng)mn且D(s)=0的根有重根時：不妨設(shè)根p1為r重根，其余(n-r)個根為單根pj(j=r-1,r-2,…,n)，則有理真分式F(s)可展開為式中待定系數(shù)，同傳輸算子有則有原函數(shù)的原函數(shù)f(t)解：例:求3．當(dāng)mn時長除法將有理假分式

(m-n)次多項式中的sl對應(yīng)的原函數(shù)為沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項(l)(t)多項式+有理真分式的原函數(shù)f(t)解：例:求三、留數(shù)法

（圍線積分法）

拉氏反變換是一個復(fù)變函數(shù)的線積分

當(dāng)F(s)為真分式時由復(fù)變函數(shù)中的約當(dāng)輔助定理知此積分可轉(zhuǎn)化為求F(s)全部極點pi

留數(shù)Res[pi]的代數(shù)和。1.若pi為D(s)=0的單根[即F(s)的單極點，一階極點]，則：2.若pi為D(s)=0的r階重根[即F(s)的r階極點]，則：

當(dāng)F(s)為假分式時長除法分解為多項式與有理真分式之和，多項式?jīng)Q定沖激函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)項，再對真分式求留數(shù)決定其它項。留數(shù)法在含重根時，計算比部分分式法略為簡單些。

的原函數(shù)f(t)解法1例:求解法2：留數(shù)法例：解：用歐拉公式合并解：例:用留數(shù)法求的原函數(shù)f(t)§4–4線性系統(tǒng)復(fù)頻域分析法

將線性微分方程變?yōu)閺?fù)頻域的線性代數(shù)方程的同時系統(tǒng)的初始狀態(tài)自然反映在象函數(shù)中，用s域分析法可直接求解全響應(yīng)。一、系統(tǒng)微分方程的復(fù)頻域解

例:已知某LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分方程，其激勵f(t)=(t)，0-初始條件為y(0-)=2，y'(0-)=1，試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。系統(tǒng)方程為解：對微分方程拉普拉斯變換設(shè)n階線性系統(tǒng)的激勵為因果信號f(t)，響應(yīng)為y(t)，則其微分方程的一般形式為：

兩邊取拉普拉斯變換，注意因果信號有：拉氏變換時域微分性質(zhì)得：復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)或傳遞函數(shù)為：

二、電路的s域模型由拉氏變換的線性特性有KCL：

i(t)=0

I(s)=0KVL：

u(t)=0

U(s)=0元件：VAR

相應(yīng)的s域形式

s域模型

1、電阻元件：2、電容元件：C3、電感元件：i(t)＋

u(t)－LI(s)sL＋

U(s)

－I(s)1/sL＋

U(s)－s域模型

s域模型中：sL稱為復(fù)頻域感抗，(1/sL)稱為復(fù)頻域感納；(1/sC)稱為復(fù)頻域容抗，sC稱為復(fù)頻域容納。獨立電源稱為附加電源或內(nèi)激勵。

復(fù)頻域阻抗與復(fù)頻域?qū)Ъ{：N0無源、零狀態(tài)I(s)+U(s)-RsL

1sCI(s)+U(s)-在零狀態(tài)下有s域形式的歐姆定律

L2M*L1*i1i24．耦合電感的s域模型

sL2sM*sL1*當(dāng)耦合電感為三端接法時的s域模型L2+u2-M*+u1-L1*i1i2+u1-i1i2+u2-L1-ML2-MML1-ML2-MsM-Mi1(0-)+-Mi2(0-)+-++-四、線性系統(tǒng)復(fù)頻域分析法復(fù)頻域分析法步驟

1.

求換路前電路的狀態(tài)

uC(0-)、iL(0-)；

2.求激勵f(t)的象函數(shù)F(s)；

3.畫出s域電路模型(1)將電壓源、電流源、各支路電壓、電流及受控源表示成象函數(shù)形式。(2)將各元件的參數(shù)表示成s域的阻抗或?qū)Ъ{形式。(3)畫出由uC(0-)、iL(0-)確定的附加電源或內(nèi)激勵。

4.用s域形式的各種分析法如等效變換、獨立變量法(支路法，回路法，節(jié)點法)、疊加定理、戴維南定理等建立方程，并解出響應(yīng)變量的象函數(shù)；5.用求拉氏反變換的某種方法求出響應(yīng)的時域表達式，必要時畫出響應(yīng)的波形。例:圖示電路，試求零狀態(tài)響應(yīng)uC1、uC1、u

0.2(t)A0.2F+uC1-+

uC2

-0.3F50+u-畫出零狀態(tài)s域電路模型解：0.2+UC1(s)-+

UC2(s)-50+U(s)-由節(jié)點法：

拉氏反變換得注意狀態(tài)變量有突變。拉氏變換積分下限取0-可方便地解決突變問題。

例:電路換路前已達穩(wěn)態(tài)，求t>0的全響應(yīng)i2(t).+10V-2.5(t=0)S2.5**3H3H2Hi1i22.5+10V-2.5(t=0)S2.5**3H3H2Hi1i22.5例2解：畫出0-等效電路，有：+10V-2.52.5i1(0-)i2(0-)2.5+10V-2.52.5i1(0-)i2(0-)2.5畫出s域模型如圖

+-2.5**3s3s2sI1(s)2.510s-+-+64I2(s)上題也可先去耦等效有

+10V-2.5(t=0)S2.5i1i22.51H2H1Hi3+-2.5I1(s)2.510sI2(s)s2s4s2-+-

+畫出s域模型如圖

+10V-2.5(t=0)S2.5i1i22.51H2H1Hi3例．電路換路前已達穩(wěn)態(tài)，求t>0的全響應(yīng)i(t).解:+5iL-+

uC

-2S(t=0)-+10V2iL2H2F+5IL(s)-2-+10/s22s１2s+

-17.5sI(s)IL(s)-+5畫出s域模型如圖

§4–5連續(xù)線性系統(tǒng)的表示與模擬

一、復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)的定義與分類

H(p)f(t)yf(t)時域：

H(s)F(s)Yf(s)

復(fù)頻域

時域卷積性質(zhì)1．復(fù)頻域系統(tǒng)函數(shù)H(s)的定義：

f(t)=e

st

→

yf(t)=H(s)e

st

—系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)象函數(shù)與激勵象函數(shù)之比；2．物理意義—系統(tǒng)沖激響應(yīng)的拉普拉斯變換；

—激勵為e

st時系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的加權(quán)函數(shù)；

(2)轉(zhuǎn)移函數(shù)N0+-U1

(s)I1

(s)+-I2

(s)U2

(s)i)

轉(zhuǎn)移阻抗

ii)

轉(zhuǎn)移導(dǎo)納

iii)

轉(zhuǎn)移電壓比

iv)

轉(zhuǎn)移電流比

(1)驅(qū)動(策動)點函數(shù)(響應(yīng)與激勵在同一端口)N0+-U

(s)I

(s)i)

驅(qū)動點(輸入)阻抗

ii)驅(qū)動點(輸入)導(dǎo)納

3．分類1)

H(s)=L

[h(t)]；

2)

H(s)=[h(

p)]p=s

3)

由系統(tǒng)的s域零狀態(tài)模型，按定義求：

4)

對零狀態(tài)系統(tǒng)的微分方程進行拉氏變換

4．H(s)的求法：

5)根據(jù)系統(tǒng)的模擬圖求得6)

由系統(tǒng)的信號流圖，根據(jù)梅森公式求得二、連續(xù)系統(tǒng)的方框圖表示

1．定義：將系統(tǒng)中每個能完成一定運算功能的部件或單元用方框表示，再將其按系統(tǒng)功能要求連接起來而構(gòu)成的圖稱為系統(tǒng)的框圖.一個方框相當(dāng)于一個子系統(tǒng)。這樣,復(fù)雜系統(tǒng)采用方框圖表示時可更清楚地表明系統(tǒng)中信號的流動情況及系統(tǒng)的函數(shù)功能

。H(s)F(s)Yf(s)2．框圖中各方框的連接方式：

1)框圖的級聯(lián)(串聯(lián))

H1(s)H2(s)H3(s)F(s)Yf(s)方框的連接方式2)框圖的并聯(lián)

F(s)H1(s)H2(s)Yf(s)3)框圖的混聯(lián)

H1(s)H3(s)F(s)Yf(s)H2(s)3．基本運算器(加法器、數(shù)乘器、積分器)的框圖和

s域模型f(t)y(t)=af(t)a數(shù)乘器F(s)Y(s)=aF(s)a加法器f1(t)f2(t)fn(t)…F1(s)F2(s)Fn(s)…用數(shù)乘器、加法器和積分器模擬給定系統(tǒng)（任意）的數(shù)學(xué)模型而連成的圖系統(tǒng)的模擬圖。系統(tǒng)的模擬圖系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

仿真研究系統(tǒng)的性能、穩(wěn)定性、優(yōu)化設(shè)計等

f(t)積分器F(s)１s１sf-1(0-)系統(tǒng)模擬圖的形式

1、直接形式—與數(shù)學(xué)模型系數(shù)直接對應(yīng)

2、并聯(lián)形式—與H(s)的部分分式之和相對應(yīng)

3、級聯(lián)(串聯(lián))形式—H(s)分子、分母為因子相乘

解：

例：已知某零狀態(tài)系統(tǒng)的方程畫出其直接形式的模擬圖。１sb0a1a0１sb1b2F(s)Y(s)X(s)s2X(s)sX(s)根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的最高階確定積分器的個數(shù)，每個積分器輸入端到輸出端的加法器之間由外向里分別為分母多項式從高往低的各階系數(shù)；每個積分器輸出端到輸入端的加法器到之間由里向外分別為分子多項式從低一階(最高階為1)往低的各階系數(shù)的相反數(shù)，缺少項不畫。(適用mn)知道了方程系數(shù)與模擬圖的對應(yīng)關(guān)系，則給出系統(tǒng)直接形式的模擬圖就可以直接寫出其系統(tǒng)函數(shù)（注意分母多項式的最高階項1）和微分方程。１sb0a0b1F(s)Y(s)１sK1p1F(s)Y(s)１s-z1p1F(s)Y(s)三、連續(xù)系統(tǒng)的信號流圖SFG表示1．SFG:表示系統(tǒng)功能與信號流動方向的圖

a)用(節(jié))點表示系統(tǒng)變量，且節(jié)點對流入信號有求和的功能；

b)用具有增益的有向線段表示信號的傳輸方向與傳輸函數(shù)。2．三種運算器的SFG表示f(t)y(t)=af(t)a數(shù)乘器F(s)Y(s)=aF(s)af1(t)f2(t)fn(t)y(t)=f1(t)+

f2(t)+

…

+

fn(t)…加法器F1(s)F2(s)Fn(s)F(s)=F1(s)+F2(s)+

…

+Fn(s)…111f(t)積分器F(s)１s１sf-1(0-)13．SFG的規(guī)則支路—輸出信號等于輸入信號乘以支路增益；節(jié)點—流出節(jié)點的各信號等于流入該節(jié)點各信號的代數(shù)和。X1(s)X2(s)X3(s)X4(s)X5(s)X6(s)H1(s)H2(s)H3(s)H5(s)H6(s)X4(s)=X1(s)H1(s)+X2(s)H2(s)+X3(s)H3(s)X5(s)=X4(s)H5(s)

X6(s)=X4(s)H6(s)

例：畫出級聯(lián)形式的框圖，并畫出相應(yīng)的模擬圖和SFG。F(s)-2Y(s)s-1s-1-2-32s-1s-1311

F(s)Y(s)１sF(s)１s2１s232１s3Y(s)

SFG優(yōu)點

1）比模擬圖或框圖更簡明、易畫；2）利用SFG的梅森增益公式，很容易求H(s)

4．SFG的名詞術(shù)語

1）節(jié)點：系統(tǒng)變量

2）支路：連接兩節(jié)點的有向線段，支路旁標(biāo)注了該支路子系統(tǒng)在此方向上的傳輸函數(shù)。

3）激勵節(jié)點(源點)：只連接有流出信號的支路

4）響應(yīng)節(jié)點(輸出節(jié)點)：只接有流出信號的支路

5）混合節(jié)點：同時接有流入與流出信號的支路，該節(jié)點變量(即流出的各信號)等于流入信號的和

F(s)-2Y(s)s-1s-1-2-32s-1s-13116）通路：從某節(jié)點出發(fā)，沿支路方向(不能反方向)連續(xù)地達到另一節(jié)點的路徑。7)開通路:與任一節(jié)點相遇的次數(shù)不多于1的通路。

8)前向(開)通路：由激勵節(jié)點至響應(yīng)節(jié)點的開通路(圖中有2條)

F(s)-2Y(s)s-1s-1-2-32s-1s-13119)環(huán)路：閉合的通路(回路)(圖中有3個)

10）互不接觸的環(huán)路：各環(huán)路無公共節(jié)點(上圖3個環(huán)路均互不接觸)

11）環(huán)路傳輸函數(shù)(增益)：環(huán)路中各支路增益之積。

12）前向(開)通路的傳輸函數(shù)：前向通路中各支路增益之積

13）自環(huán)路：只有一個節(jié)點和一條支路的環(huán)路

5．梅森公式(Mason’sFormula)

梅森公式(Mason’sFormula)特征行列式Li

——

第i個環(huán)路的增益—為所有環(huán)路增益之和

LmLn

——為兩個互不接觸環(huán)路的增益之積—為所有兩個互不接觸環(huán)路增益積的和.LpLqLr

——

為3個互不接觸環(huán)路的增益之積

為所有3個互不接觸環(huán)路增益積的和。Pk

——第k條前向通路所有支路的增益之積；

k

——

去除第k條前向通路所涉及的支路和節(jié)點后的子流圖的特征行列式，公式與的“一致”

例．已知圖示SFG，求其H(s)

解:直接用梅森公式-2-2F(s)Y(s)111-112s-13-1s-1s-1-211s-1-2-2F(s)Y(s)111-112s-13-1s-1s-1-211s-1-2-21-1s-1s-1s-1∵其它方法：四路并聯(lián)，每一路用梅森公式，或直接按“模擬”關(guān)系寫出各路的子系統(tǒng)函數(shù)：-2-2F(s)Y(s)111-112s-13-1s-1s-1-211s-111-2s-1§4–6系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性一、H(s)的零點、極點與零、極點圖將分子、分母因式分解(設(shè)為單根情況)得

系統(tǒng)函數(shù)H0=bm(分子分母最高次項系數(shù)之比)為實常數(shù)。

D(s)=0的根pi稱為Ｈ(s)的極點，∵Ｈ(pi)→Ｎ(s)=0的根zi稱為Ｈ(s)的零點，∵Ｈ(zi)→0。

網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的零、極點只能是實數(shù)或共軛復(fù)數(shù)對，可以是多重的；在s平面上，用“○”表示零點，用“×”表示極點稱為零、極點分布圖。若H0≠1時要在圖中標(biāo)出來[參圖4-35(b)]；若具有多重的零點或極點時，則應(yīng)在“○”旁或“×”旁標(biāo)出其重數(shù)[參圖4-35(b)]。二、H(s)的零點、極點與沖激響應(yīng)

已有：沖激響應(yīng)h(t)=L-1[H(s)]Pi為負(fù)實數(shù)h(t)變化規(guī)律非振蕩衰減負(fù)實部共軛復(fù)數(shù)故有如下結(jié)論：振蕩衰減正實數(shù)非振蕩遞增正實部共軛復(fù)數(shù)振蕩遞增共軛純虛數(shù)（單階）等幅振蕩0（單階）常數(shù)項共軛純虛數(shù)（重階）振蕩遞增0（重階）遞增1）極點pi決定系統(tǒng)自由響應(yīng)（固有響應(yīng)）的變化的規(guī)律。取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與元件的參數(shù)，且量綱為1/s，故pi稱為系統(tǒng)的自然頻率或固有頻率。

2）H(s)的零點只影響h(t)波形的幅度和相位，不影響波形模式；當(dāng)階次變化，h(t)出現(xiàn)沖激函數(shù)。三、H(s)與系統(tǒng)的頻率特性若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含j，則令s=j頻率特性曲線稱為頻率響應(yīng)

頻率特性繪制的方法

:方法1：描點法。（注意以下關(guān)鍵點）方法2.圖解法：每給一個ω值，由H0及其零極點矢量因子進行圖解得到相應(yīng)的（）σ+jω0

jω

ziαiNijω-ziσ+jω0

jωpiθiMi（）jω-pi四、H(s)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1．系統(tǒng)穩(wěn)定性的意義與條件若激勵

|f(t)|Mf時

|y(t)|My(Mf和My為正實有界常數(shù))，則稱系統(tǒng)為穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的

定理：系統(tǒng)具有穩(wěn)定性

(因果系統(tǒng)時為)

推論：系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是(因果系統(tǒng)時為)穩(wěn)定取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與f(t)或初始狀態(tài)無關(guān)

對于零、極點數(shù)較多的高階系統(tǒng)的頻率特性分析則在自動控制原理中用波特圖描述。2．系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定(1)從Ｈ(s)極點的分布來判定：

系統(tǒng)穩(wěn)定：全部極點均位于s的左半平面上；

系統(tǒng)臨界穩(wěn)定：在j軸上有單極點,其它極點均位于s的左半平面上。系統(tǒng)不穩(wěn)定：至少有一個極點位于s的右半平面上或在j軸上有重極點

(2)用羅氏準(zhǔn)則來判定(當(dāng)H(s)的極點不易求得時)：

i)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件當(dāng)