2022-2023學年四川省成都市蓉城高中聯盟高一上期期末考試數學試

題

一、單選題

1.已知集合4=卜￡電-2<》<|},fi={-2,-l,0,l,2,4},則4B=()

A.{-1,0,1,2}B.{-2,0,4}C.{0,1,2}D.{0,1}

【答案】C

【分析】先由自然數集的概念化簡集合A,再利用集合的交集運算即可得解.

【詳解】因為A={xeN|-2<x<|}={0」,2},B={-2-1,0,1,2,4),

所以A8={0,1,2}.

故選：C.

2.已知命題“VxwR,工2+2以一3a>0”為真命題，則實數a的取值范圍是()

A.[-3,0]B.(-3,0)C.[-12,0]D.(-12,0)

【答案】B

【分析】根據一元二次不等式恒成立，得A=4a2+i2a<0,解不等式即可.

【詳解】由題意“VxeR,d+2ax-3a>0”為真命題，

A=4/+12a<0，解得一3<a<(),

故選：B.

3.若，”是方程x+lnx-3=0的根，則下列選項正確的是()

A.\<m<2B.2<m<3C.3<〃？<4D.0</n<1

【答案】B

【分析1將〃?是方程x+lnx-3=0的根轉化為m為函數〃x)=x+lnx-3的零點，得到函數單調遞

增，且/(2)<0,/(3)>0,再根據零點存在性定理即可求解.

【詳解】設〃x)=x+lnx—3,

,.加是方程x+lnx-3=0的根，

."為函數f(x)=x+lnx-3的零點，

?.?函數y=x-3,y=lnx在(0,+8)上都為單調遞增函數,

/(x)=x+lnx-3在(0,+8)上連續(xù)且單調遞增，

XV”2)=2+ln2-3<0,/(3)=3+ln3-3>0,

..?函數的零點一定在區(qū)間(2,3)內，

2<m<3.

故選：B.

4.若函數y=/(x)的定義域為[0,4],則函數y=TD的定義域為()

JC-1

A.[0,1)(1,2]B.[0,1)C.(1,2]D.[0,1)(1,4]

【答案】A

[0<2x<4

【分析】根據題意得?八，再解不等式即可得答案.

【詳解】解：因為函數y=/(x)的定義域為[0,4],

f(2x\「042x44

所以，要使函數〉=上〃有意義，則,八，解得04x<l或1<%(2,

x-11X-1H0

所以，〃x)的定義域為[。,1)一(1,2].

故選：A.

,1

5.已知a=logi[，匕=0.5心，c=log35,則“，h,c的大小關系為()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】根據對數函數的單調性，結合中間量1比較大小即可.

,1,,

o5o

【詳解】解：???。=1%一=1嗚兀>1，O<fe=O.5-<O.5=l,c=log35>log37r=a,

3兀

c>a>b.

故選：D.

6.設命題p：ln(x—l)<0,命題q：a<x<a+2,若p是q的充分不必要條件，則實數a的范圍是

()

A.[0,1]B.(0,1)C.(—,()>[1,+w)D.(9,0)51，”)

【答案】A

【分析】P是4的充分不必要條件得到兩者間的真子集關系,再列不等式組求解.

【詳解】〃：ln(x-l)<0,0<x-l<1,1<x<2,

q：a<x<a+2,

p是4是充分不必要條件，則｛X|lvx<2｝是｛x|a?x<a+2｝的真子集，

faVI

則〈八C，解得

[a+2>2

故選：A.

7.設a>l,函數“x)=log〃(產—紜—2),則使/(x)>0的x的取值范圍是()

A.(y,0)B.(0,+8)C.(F,log“3)D.(log,,3,+00)

【答案】D

【分析】由將條件轉化為/、_2優(yōu)-2>1,即/>3,解指數不等式可得原不等式的解集.

【詳解】因為a>l,函數了=log。'單調遞增，由〃x)>0可得才—2優(yōu)-2>1,

B|J(?'-3)(a'+l)>0,所以出一3>0,即優(yōu)>3,

又。>1,所以x>log“3,

故選：D.

5「2~

8.已知函數〃力=麗-1的定義域為[加,〃](“，〃為整數)，值域為[。，,，則滿足條件的整數對

(,%〃),共有()對.

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】先利用該函數的值域，求出函數取最大值與最小值時對應的工的值，然后利用函數圖像來

確定(，%〃)即可.

【詳解】由題意，作出函數/(x)的圖像如下：

，，

2.

一一1<一…………十.2?

78門

......................................-1..........................................

-2

2

令，(x)=0,可以解得x=-2或x=2,令〃x)=§,可以解得》=0,

，當相=-2時，n=0；利=—2時，/?=1；相=—2時，n=2；

加=一1時，〃=2；加=0時，〃=2,

所以滿足條件的整數對(八〃)可以是：(―2,0),(—2,1),(—2,2),(—1,2),(0,2),共5對,

故選：C.

二、多選題

9.下列命題錯誤的是()

A.若a>0,且awl,則3x>0,y>0,log“x/og“y=log“(_yy)

B.若a>0,且awl,則Vx>0,y>0,log?(x+y)=logflx+logay

9

C.函數y=lnx+^；—的最小值為10

Inx

D.若a>b>l,貝iJ粵>1

Igb

【答案】BC

【分析】根據對數的運算性質，逐項進行檢驗即可求解.

【詳解】對于選項A,當x=y=l時，log產log“y=log“3”j^,A正確；

對于選項B,由對數的運算性質可知Tx>0,y>0,有l(wèi)og“(肛)=log“x+log“y,而

log”(x+y)Wlogax+logay,B錯誤;

9

對于選項C,函數y=lnx+'；—的最小值不存在，C錯誤；

\nx

對于選項D,則lga>lgb>0,，,D正確.

lgb

故選：BC.

10.下列函數是奇函數且在(0,+8)上是增函數的是()

A.f(x)=/B./(x)=|x-l|+l

CD.”6=2*-2T

x+l(x>0)''

【答案】AD

【分析】結合奇函數解析式特征及增函數特征分析即可.

【詳解】對于選項A,(T):=_/,則〃x)=x§為奇函數，

由基函數的性質知，=￡為增函數，故A正確；

對于選項B,〃x)=|x-1|+1對稱軸為x=l,其為非奇非偶函數，B錯誤;

對于選項C,/⑴=/(-1),不符合奇函數特征，C錯誤；

對于選項D,???〃x)=2'—2=、的定義域為R,且x)=2-*—2'=-(2'-2r)=—/(、)，

.?./(x)=2'—2一，為奇函數，

y=2,單調遞增，y=-2-',單調遞增，

故f(x)=2,—2一，單調遞增，D正確.

故選：AD.

11.已知函數f(x)={10g產xw(0,D,若函數g(x)=f(x)-〃?恰有兩個零點，則實數小不可

4

-x2+4x-3,xe口,+<x>)

熊是()

A.-2B.-1C.1D.0

【答案】ABC

【分析】作出〃x)的圖象，由題意可得函數y=/(x)與函數有兩個交點，然后結合圖象可得答

案.

【詳解】作出函數圖象如下：

函數g(x)=f(x)-機有兩個零點，

即方程g(x)=〃X)-，W=0有兩個實數根，即/(x)=〃7,

即函數y=/(x)與函數y=m有兩個交點，

由函數圖像可得加>1或s=0,

故選：ABC.

12.已知函數〃x）=I：,：，、；,,若關于x的方程4/（可_43（力+2/+3=0有5個不同的實根,

則實數4可能的取值有（）

4873

A.—B.—C.—D.—

3762

【答案】AC

【分析】先畫出〃x）的圖象，再令/（x）=r,將嵌套型方程的根轉化為兩簡單方程與

的總根，再轉化為y=/（x）分別與y=%與y=L交點的橫坐標，再數形結合求解.

【詳解】畫出/a）的圖象，如圖,

令以x）=t,要使x的方程有5個不同的實根,

所以由/（X）圖象可知關于，的方程4『-4力+22+3=0必須有2個不等實根打，4,

所以關于x的兩個簡單方程八幻"與/。）=L總共有5個不同實根,

即如圖y=fM分別與y=4與y=t2一共有5個交點，交點的橫坐標即為根,

所以_臼<0,_9<與<-1或〃=0或弓=-1，

333

①當芍二。時.，代入方程4/一4加+24+3=0，得。=-耳，「.4『+6/=0,二.4=-萬金(-1,0),。H-耳；

71

②當/2=-1時，代入方程"一4力+22+3=0,得〃=一>.?.6/+7/+1=0,?,-r=--e(-l,0),

6I6

7

③當"￡(—1,0),Z2G(-9,-1)^,令g(r)=4/-42Z+24+3,

川-9)>0382+327>0

37

則〃無)=晨-1”。,即彳62+7<0,解得-―<2<——,

g⑼>02Z+3>02’、

37

練上，-大口?

故選：AC.

三、填空題

13.已知函數f(x)=a"2+2(。>0且恒過定點P,則點尸的坐標為.

【答案】(2,3)

【分析】指數函數必然滿足小>=1,取指數為0即可求得定點.

【詳解】由a0=l知,當x=2時,f(x)=a°+2=3,即過定點(2,3).

故答案為：(2,3)

14.函數f(x)=bgi(3-丁)的單調遞減區(qū)間是.

2

【答案】卜6,0)(卜6,0］也正確)

【分析】先求出函數的定義域，再根據復合函數的單調性的判斷方法，“同增異減''求得函數的遞減

區(qū)間.

【詳解】由"x)=log;(3—x2),貝JI3-X2=(6+X)(G-X)>0,解得一百<”行，

又函數y=3-/的開口向下，對稱軸是)，軸，且產唾產在(0,+功上遞減，

根據復合函數單調性“同增異減''可知f(x)的單調遞減區(qū)間是卜6,0).

故答案為：(-石，。)(卜石,。］也正確).

15.已知函數/(x)=e，(x<0)與g(x)=ln(x+a)的圖象上存在關于y軸對稱的點,則a的取值范圍

是.

【答案】(e,e)

【分析】由題意得方程”-x)-g(x)=0在區(qū)間(。,+8)內有解,函數y=e"的圖象與y=ln(x+a)的

圖象在區(qū)間(0,+8)內有交點，結合圖象即可得解.

【詳解】解：由題意得方程g(x)=0在區(qū)間(0,轉)內有解，

即e-*—In(x+a)=0在區(qū)間(0,+8)內有解，

即函數y=e"的圖象與y=ln(x+a)的圖象在區(qū)間(0,+8)內有交點，

如圖，作出函數y=尸與y=ln(x+a)在區(qū)間(0,+8)上的圖象，

把點(0,1)帶入y=ln(x+a),得l=ln“，解得a=e,

所以"e.

故答案為：（-oo,e）.

16.函數“X）=』+5x+為+1,若對于任意,,七e（2,依），當x產々時，都有：'"（三）>0>

工2—大

則實數a的取值范圍是.

【答案】?<|

【分析】首先將不等式變形，并構造函數〃（x）=/，=x+鋁+5,討論2a+l的正負，結合函數

在區(qū)間（2,+8）的單調性，求實數。的取值范圍.

【詳解】???對于任意毛，男€（2,物）當演才々時，都有色）

誓令MX）=9,則以x）在化口）上單調遞增,

又?.?/2（X）=X+^^+5,當幼+140時，滿足題目條件，此時

當2a+l>0時，a>,x>0時，x+221x.jfLtl=212a+l,當x=J2a+1時,等號成立,

根據對勾函數單調性可知，有肪斤42,???-/<“奇,

3

綜上可知，a<1.

故答案為：?<|3.

四、解答題

17.化簡求值（需要寫出計算過程）.

⑴篇)+依-無)2+(-2)。;

⑵3陶2+ig5—log12xlg2xlog23.

3

【答案】⑴兀

4

(2)3

【分析】(1)根據分數指數基和根式運算法則，化簡求值；

(2)根據對數運算法則，化簡求值.

33I

【詳解】(1)原式=±+|2—無|+1=]+兀-2+1=兀一；；

(2)JM^=2+lg5+log32-lg2-log23=2+lg5+lg2=2+l=3.

18.已知集合人={小2-3*+240},不等式2M>23+2"的解集為集合B.

(1)當時”=2,求Ac8;

(2)設命題p：xeA,命題q：xeB,若p是q的充分不必要條件，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴{印<尤42}

⑵(Y°，2)

【分析】(1)先化簡集合A,B,再利用集合的交集運算求解；

(2)由p是4的充分不必要條件，得到AU8求解.

【詳解】⑴解："-3X+240,即14x42,

A={x|1<x<2}

B：x+1>—2x+4,

?,x〉1,

B={x|x>l},

Ac3={x|l<xK2}；

(2)Tp是夕的充分不必要條件，

Z.AUB,

V/4={x|l<x<2j,B=yc\x>,

3

fl<2,

???a的取值范圍是(e,2).

19.科學實驗中，實驗員將某種染料倒入裝有水的透明水桶，想測試染料的擴散效果，染料在水桶

中擴散的速度是先快后慢，1秒后染料擴散的體積是1cm、，2秒后染料擴散的體積是3cm，染料擴

散的體積y與時間x(單位：秒)的關系有兩種函數模型可供選擇：①>=加3。②>：，汨og..x+O,

其中〃?，人均為常數.

(1)試判斷哪個函數模型更合適，并求出該模型的解析式；

(2)若染料擴散的體積達到5cm，至少需要多少秒.

【答案】(1)選y=〃?i°g3x+匕，y=2iog2x+i

⑵至少需4秒

【分析】(1)根據兩種函數模型的特點和題中染料實際擴散的速度選擇模型，代入數據即可求出模型

的解析式；

(2)根據題干條件，列出不等式，解之即可求解.

【詳解】(1)因為函數丫=用3,中，y隨X的增長而增長，且增長的速度也越來越快，二函數

y=mlog3X+b中，y隨x的增長而增長，且增長的速度也越來越慢，

根據染料擴散的速度是先快后慢，所以選第二個模型更合適，即〉=〃?1。83、+匕，

[wlog,\+b=\\b=\

由題意可得：,'..二，解得：力『

[/nlog32+o=3[/77=2log23

所以該模型的解析式為：y=21og231og3x+l=2Iog2x+l,

(2)由(1)知:y=21og2x+l,

由題意知:濘5,也即210g4+1*5,則有210g2彳24,

/.log,x>2,x>4,

.,.至少需要4秒.

20.已知函數/(x)的定義域為(0,+8),,且滿足以下條件：①對任意x?(),M),有〃力>()；②

對任意加，ne(0,+oo),有③/⑴>1.

⑴求證：/(x)在(0,+8)上是增函數；

⑵若/(2"-1)-/⑵<0,求〃的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析

(2)(0,log,3)

【分析】(1)根據題意結合定義法證明函數單調性即可；

(2)利用函數單調性解不等式.

【詳解】(1)任取X],赴?0,+<?)且％<%，

/(^)-/(^)=/(1^I)-/(1^2)=[/(I)T-[/(Op>

因為/⑴>1,用<々，

所以[〃1)了'一。(1)『<。，

所以〃%)</1(%)，

所以/(X)在(0,+8)上是增函數；

(2)因為“X)在(0,+8)上單調遞增，

因為〃2"-1)</(2),

所以0<2"-1<2，

所以0<“<log23,

所以a的取值范圍為(0,log23).

21.已知〃x)=—2'+2f+b是定義R在上的奇函數.

⑴求“X)的解析式；

(2)已知a>0,且awl,若對于任意xe[2,+8),存在加《1,2],使得/⑴會”+金一以成立，求a

的取值范圍.

【答案】⑴〃x)=—2v+2T

(2)卜。,+8)

【分析】(1)根據函數/(司=-2'+2-'+。在R上是奇函數可得了⑼=0,求得兒驗證后可得答案;

(2)/(力4/'+產—4x即22—-2，_f+4x,故令g(x)=2一、—2'—(f_4x),判斷其單調性，

求得其最值，將不等式恒成立問題轉化為函數最值問題，結合存在〃?e[l,2],使成立，解不

等式可得答案.

【詳解】(1)?函數/(x)=—2,+2-'+人在R上是奇函數，

.-./(0)=0,：.b=0,則/("=_2'+2-*,滿足/(_司=_2-‘+2'=_/(》)，

即=-2'+2T為奇函數，/(x)=-2'+2T；

(2)由題意2T-2'4/‘+/—4x,Aa"'>2-x-T-x2+4x,

令g(x)=2f_2yx2_旬，

函數y=2r在[2,4W)上單調遞減，函數y=2,在[2,-FW)上單調遞增，

故函數〉=2-*-2?在[2,y)上單調遞減；

而函數y=-X2+4x圖象的對稱軸為直線x=2,函數在[2,+8)上單調遞減，

故g(x)=2-*-2,-(V-4x)在[2,內)上單調遞減，

對Vxe[2,+oo)上a'">g=g(2),a'">；,

又?.?存在me[1,2],使a”之(成立，

???當0vav1時，m<log“；,

?'.log”一N1,又<0<a<1,-V〃<1；

44

當a>1時，m>log“；,

22log.-f**-,又a>1,I.a>1,

綜上，”的范圍為1,lp(l,^o).

22.設函數〃x)=log“(2、+/)(〃>I).

(1)判斷函