2022-2023學年吉林省長春市高一上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

I.設集合"噸T<x<2},5={xeN|0<x<4}>則4nB=（）

A{x[0<x<2}B{x|-l<x<4}

C.{0,1}D.{01，2}

【答案】C

【分析】利用自然數(shù)集的概念化簡集合8,再利用集合的交集運算即可得解.

【詳解】因為8={XCN[0<X<4}={0,1,2,3},

又4={XH<X<2},

所以4n8={o,i}.

故選：C.

2.sin225°=（）

_>/2也

A.2B.2C.2D.1

【答案】B

【分析】根據誘導公式直接求解.

sin225°=sin（180°+45°）=-sin450=----

【詳解】V72.

故選:B.

3.函數(shù)/（X）的圖象是連續(xù)不斷的曲線，在用二分法求方程/（x）二°在（L2）內近似解的過程中可得

,/'（1）>0（/（1.5）<0）”1.25）<0,則方程的解所在區(qū)間為（）

A（1.25,1.5）B.（I」》）

C.（L52）D.不能確定

【答案】B

【分析】根據零點存在性定理判斷即可.

【詳解】解：因為/G）是連續(xù)函數(shù)，且/0）>0,/（L5）<°,/。25）<0,

所以"1）/'（1.25）<。，“1.5）/（1.25）>。，所以/（x）在（I』》）上存在零點,

即方程的解所在區(qū)間為（LL25）.

故選：B

4.已知。=6°‘，b=In0.5,c=0.56,則（）

A.b>c>aB.a>b>c

C.c>a>bD.a>c>b

【答案】D

【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調性，結合臨界值°」即可得解.

【詳解】因為y=6'在R上單調遞增，所以。=6心>6°=1,

因為V=Inx在（°，+09）上單調遞增，所以6=In0.5<In1=0,

因為y=os在R上單調遞減，且v=°s>°恒成立，

所以0<0.56<0.5°=1,BP0<c<1,

所以a>c>6.

故選：D.

y=log（-x2+4x）,B/、

5.函數(shù),05505V，的6單w倜遞增區(qū)間是（）

A.【2,4）B.2+8）

c.（咽D.（-a

【答案】A

【分析】討論二次函數(shù)和復合函數(shù)的單調性即可.

【詳解】令7+4*>°解得0<x<4,

即函數(shù)”唯。$（一/+?）的定義域為（0,4）,

因為二次函數(shù)夕二-/+4￥在（°，2）單調遞增，［2,4）單調遞減，

所以>=既。5（一/+4乂）在（0,2）單調遞減，［2,4）單調遞增，

故選:A.

6.某引進的外來水生植物在水面的蔓延速度極快，對當?shù)氐纳鷳B(tài)造成極大的破壞.某科研部門在

水域中投放一定面積的該植物，研究發(fā)現(xiàn)該植物在水面的覆蓋面積y（單位：m2）與經過的時間

t（單位：月）的關系式為J'=axl3,當投放一定面積的該植物后，經過1個月面積達

到2.6m?.那么要使該植物在水面的覆蓋面積達到260m'至少要經過的時間約為（）（參考數(shù)據:

^1.3=0.114）

A.16.54個月B.17.54個月

C.18.54個月D.19.54個月

【答案】C

【分析】先根據1個月面積達到26m?,求出"2,>=2x13,得到2x13=260,求出

2

/=1+?1+—?18.54

lgL30.114

【詳解】由題意得：2.6=13。，解得：。=2,

故9=2x13,令y=260,即2x1.3,=260,13=130,

兩邊取常用對數(shù)得：八gL3=lgl30=2+lgl.3,

f_2+lgL3f2“1+標

?18.54

故1g1.3lgl.3

故至少要經過的時間約為18.54個月.

故選：C

sina--+2cos（a+5兀）=2cosa+-—sin（兀一a）

7.已知I2）I2）,貝ijtana=（）

A.3B.1C.3D.-1

【答案】B

【分析】利用三角函數(shù)的誘導公式及同角三角函數(shù)的商數(shù)關系即可求解.

71

sin”撲2cos（。+5兀）=2cos?+—-sin（7t-a）

【詳解】由，得

-cosa+2（-cos（z）=2（-sine?）-sina即C0S￡Z=sjn（z

sina.

tana=----=1

所以COSa

故選：B.

|x+2|,x<0

/（x）=

|lgx],x>0,若存在互不相等的實數(shù)”，h,c,d滿足a<6<c",

8.已知函數(shù)

J（a）=f（b）=f（c）=f（d）,則""c+萬的最小值是（）

A.-4+&B.-3

C.4+72D.3

【答案】A

【分析】畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結合，得到。+6=-4,cd=\,結合基本不等式求出最小值.

【詳解】畫出1w乂》>0的圖象如下:

由對稱性可得到"+6=T,且Tgc=lg",即cd=l,

c+襄2、爛地c=±c=Jd=6

故2r2,當且僅當2,即2時，等號成立,

7d

a+/>+c+—

故2的最小值為-4+J2.

故選：A

二、多選題

9.已知扇形的周長是10,面積是6,則扇形的圓心角的弧度數(shù)可能是（）

4

A.4B.3C.3D.2

【答案】BC

【分析】設扇形的半徑為r，圓心角為a,根據弧長和扇形面積公式得到方程組，解得即可.

2r+ar=10

<1

—ar=6

【詳解】解：設扇形的半徑為「，圓心角為a，則［2,

r=3

f=2

解得卜=3或10r3.

故選：BC

10.如圖為一半徑為3m的水輪，水輪圓心°距水面2m,已知水輪每分鐘轉6圈，水輪上的點尸到

水面距離"m）與時間的滿足關系式y(tǒng)=/sin（0x+a）+2（/>0,。>0）,則有（）

C.4=3D.T=l0

【答案】ACD

【分析】由點P離水面的距離最大值得到A,再由題意求得周期，進而得到勿，由此逐一檢驗選項

即可.

【詳解】依題意，結合圖像外-=3+2=5,

因為y=4sin（ox+e）+2（N>0）,所以、四=/+2,則/+2=5,故N=3,

7=竺=10（s）rj=10網J

又因為該函數(shù)的最小正周期為6,則，故??5,

因為所以5.

故選：ACD.

11.函數(shù)/G）="sin（0x+9）（/>0,0>0,倒<乃）的部分圖像如圖所示，則下列選項正確的

是（）

工+%肛0

C.該函數(shù)圖像的對稱中心為12）,k￡Z

D.函數(shù)/（X）的圖像可由函數(shù)V=2sinx先將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不

冗

變），再向右平移7個單位長度得到

【答案】ABD

【分析】利用正弦函數(shù)圖像的變換判斷即可.

T_5TT4_2乃

【詳解】由圖可知：/=2,萬一萬一萬一”，所以7=4萬.

（v=-/（x）=2sin佶x+夕］修，I

故2,所以12人又因為圖像過"）

所以14J,因為網＜，所以4.

/(x)=2sin］；x-(

所以A正確，B正確，所以

71.34

一+K71=--

令k=l,22,顯然不是函數(shù)圖像的對稱中心，所以C錯誤.

函數(shù)y=2sinx先將圖像上所有點的橫坐標伸長到原來的?倍（縱坐標不變）,

y=2sin—x

得到2再向右平移2個單位長度得到

D正確.

故選：ABD

12.已知定義在R上的函數(shù),（X）的圖像是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件:

①f

②叫X2€［0,+8）,當X尸憶時，都有（占一看）［/（￡）-16）］＜0；

③VxeR,/（-x）=/（x）.

則下列結論中正確的是（）

A."4）＞/（-2）

/（X）

B.若X＜,則x?-l,0）u（l,+8）

c.若/（加一1）＜/（3）,貝產e（4，+8）

D.VxeR,使得

【答案】BD

【分析】由已知條件知/G）在R上為偶函數(shù)，且在（°，+8）上單調遞減，即（―，°）上單調遞增，且

(-1,1)±/(x)>0((-00,-1)U(1,+00)±/(X)<0；最大值/(X)max=〃°),即可判斷各項的正誤.

【詳解】由①②③知：“X)在R上為偶函數(shù)；在(°，+8)上單調遞減，即J*。)上單調遞增；

xe(-l,l)j-/(x)>0(xe(-co,-1)u(1,+oo)j_/(x)<0；最大值/⑴的=/(。).

對于A：因為函數(shù)"x)在(°，+8)上單調遞減，且/(一2)=/(2)>/(4),故錯誤；

9<°小)<0

對于B：由x時，當x>0時，故x>］或x<_l,即x>］；

當x<0時，故gp-1<x<0.

綜上有xe(-l,0)u(l,+8),故正確；

對于C：由/(〃一)<"3)可得，如-1|)</(3),即MT>3,

解得加>4或“<-2,故錯誤；

對于D：由R上函數(shù)/(X)的圖像是連續(xù)不斷，可知mM=/(x)max=/(0),使WxeR有故

正確.

故選：BD

三、填空題

13.當。>0且時，函數(shù)/(》)=屋7+1的圖象經過的定點坐標為.

【答案】Q，2)

【分析】令x-2=°可得定點坐標.

【詳解】令》-2=0,則x=2,八2)=1+1=2,定點坐標為(2,2).

故答案為：(2,2).

151

sina=—a=——

14.“2，，是“6，，的條件.(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不

必要”)

【答案】必要不充分

1

sina=—

【分析】由2求出a的取值，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.

1兀c?57r_.

sina=—a=—+2Ea=—+2kn

【詳解】解：由2可得6,keZ或6,kwZ,

15乃

sina=—a=——

所以由2推不出6,即充分性不成立；

5JT1

a=——sma=—

由6可以推出2,故必要性成立，

sina=—a=——

所以“2”是，，6”的必要不充分條件.

故答案為：必要不充分

]_2

15.若函數(shù)/（'）=_2》+3經過點（a,b）,q〉0且/>>0,則q+3的最小值為____.

822

【答案】3##3

【分析】由函數(shù)/（*）=-2X+3經過點（。,6）可知2a+b=3,后由基本不等式可得答案.

【詳解】由函數(shù)/（X）=+3經過點（。力）可知%+°=3,

8

3

當且僅當。即42時取等號.

8

故答案為：3

四、雙空題

/(x)=sin|2tyx+2+9M(工

16.(1)已知函數(shù)I6)(^>0,12)是偶函數(shù)，則8

/,（x）=sin2（ox+—（d>>0）不兀

（2）函數(shù).I在L2」上單調遞增，則。的最大值為

n21

【答案】3##3兀6

【分析】（1）根據題意，由函數(shù)/G）是偶函數(shù)列出方程，即可得到結果；

71八兀7171八兀

XG弓，兀2a)x+—GTta)+—,2兀0+一

(2)由2」得到666」，結合正弦函數(shù)圖像得到不等式組，求出

_2

+2%<一+k

~36

21

——+2k<co<—+k-+Jt>00<d?W—

36,ksZ,利用6,求出左=0,從而得到6,得到答案.

Tt兀，71.

—+H,(p=—+kit,

【詳解】（1）因為函數(shù)/（"）是偶函數(shù)，則％+'一2kwZ,解得3,keZ

71兀

|同<—69=—

又因為2,所以當％=。時，3；

兀C兀兀71C兀71

xe不，兀Z69X+—G兀。+—,2兀/+一

(2)2」，則66666

因為0>o,所以要想/（X）在L5’」上單調遞增，

7C7T_.—兀,兀八,

7169+—>——+2E2兀。+—?一+2E,

需要滿足62且62,kwZ,

21

——+2k<（（）<—+k

解得：36,kwZ,

--+2k<-+k

36

-+X:>0--<k<—

所以16,解得：66,

因為kwZ,所以無=0,

0<a）<—

因為。所以6,

①的最大值是6.

711

故答案為：3；6

五、解答題

17.解方程:

logi(x-5)=log,(x-2)+2

⑵52

【答案］⑴L1

(2產=6

【分析】(1)根據指數(shù)基的運算法則化簡可得2&=24，，即可得到-6x=4-2x,解得即可；

logi(x-5)=log/；x_：］x-5=-x--

(2)根據對數(shù)的運算法則可得八42人即可得到42,解得即可.

【詳解】⑴解：因為0~4,所以&)=2,即2?=2。

所以-6x=4-2x,解得x=-l.

log,(x-5)=log,(x-2)+2

(2)解：因為22,

log,(x-5)=log,(x-2)+log,\

所以5I24,

log)(x-5)=log,

所以22

所以'-4V2,解得x=6,經檢驗得x=6.

4

sincr=—

18.已知5,且a為第二象限角，

(1)求cosa,tana的值；

⑵若求3n(2a+Z0的值.

34

cosa--tana=——

【答案】⑴5,3.

⑵2

【分析】（1）根據同角三角函數(shù)的基本關系求解；（2）根據正切的兩角和公式求解.

4

sina=一

【詳解】(1)因為5,且&為第二象限角,

cosa=-Vl-sin2a=

所以5,

sina4

tana=-----=—

所以COSa3.

41

tana+tan(a+/7)------1—

tan(2a+/)=tan[a+(a+/7)]=32

1-tanatan(a+/?)41

1f+—x—2

(2)32

19.已知函數(shù)/（x）=（"2）?優(yōu)+2-b?>o,且axl）是指數(shù)函數(shù).

⑴求左,人的值；

⑵求解不等式/3-5）>/,（3x-1）.

【答案】（1）%=T,6=2

（2）答案見解析

【分析】（1）根據指數(shù)函數(shù)的定義列出方程，解之即可；

（2）分和兩種情況討論，結合指數(shù)函數(shù)的單調性即可得解.

【詳解】⑴因為/（x）=G+2）/+2-\a>0,且awl）是指數(shù)函數(shù),

所以4+2=1,2-6=0,

所以無=-1,6=2.

(2)由(1)得/(x)=a'(〃>0,且"1),

當。>1時，/(x)="'在R上單調遞增，

則由“2X-5)>/(3X-1),可得2X-5>3X-1,解得X<-4；

當0<”1時，/(x)="*在R上單調遞減，

則由/(2X-5)>/(3X-1),可得2X-5<3X-1,解得X>-4；

綜上：當。>1時，原不等式的解集為｛'MV_4｝；

當0<。<1時，原不等式的解集為｛小>-4｝

20.已知tanQ-a)=2.

⑴求tan2a的值；

1-sin2a

(2)求cos2a的值.

_4

【答案】⑴5

⑵-3

【分析】(1)利用誘導公式及二倍角的正切公式即可求解；

(2)根據(1)的結論及二倍角的正弦、余弦公式，再利用三角函數(shù)的齊次式的特點即可求解.

【詳解】(1)由tan(兀-a)=2,得_tana=2,即tana=-2,

,2tana2x(-2)4

tan2a=-------=——-~7=——

所以1-taira1+(-2)5.

(2)由(1)知，tana--2,

1-sin2a_l-2sinacosa_cos2<7+sin2a-2sinccosa_1+tan2a-2tancr

cos2acos2a-sin2acos2a-sin2a1-tan2a

=1+(-2)--2義(_2)=3

1-(-2丫

21.已知函數(shù)/(x)=l°g"X("0且"1)的圖像過點(83),若g(x)=/0-x)+/(l+x).

(I)求g(x)的解析式及定義域；

(2)判斷函數(shù)g(x)的奇偶性并證明；

(3)是否存在正整數(shù)"?，使得不等式g(x””'T成立？若存在，求出切的值，若不存在，請說明理

由.

【答案】⑴g（x）=bg式1）+10氏0+“）定義域為（TO

（2產（*）為偶函數(shù)，證明見解析

（3）存在，^=1

【分析】（1）根據對數(shù)函數(shù)過點（83）,代入求出。的值，即可求出/G）的解析式，從而求出

g（x）的解析式，再根據對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0,得到不等式組，解得即可求出函數(shù)的定義域；

（2）根據奇偶性的定義判斷即可；

（3）根據復合函數(shù)的單調性判斷8（X）的單調性，從而求出的值域，即可求出參數(shù)加的值.

【詳解】（1）解：因為函數(shù)/G）=bg“x（。>0且。中1）的圖像過點弓鄉(xiāng)），

所以/（8）=bg“8=3,則/=8,解得a=2,所以/々"卜且?》，

又g（x）=/（l-x）+/（l+x）,所以g（x）=log2（l-x）+log2（l+x）,

Jl-x>0

則[l+x>0,解得即函數(shù)gG）的定義域為（71）；

（2）解：8（*）為偶函數(shù)，

證明：因為g（x）=bg2（17）+l°g2（l+x）,定義域關于原點對稱，

且g（-X）=log2（l+x）+log,（l-x）=g（x）

所以g（x）為偶函數(shù).