2021年遼寧省鞍山市海城南臺(tái)高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)隨機(jī)變量ξ～B（2，p），η～B（3，p），若P（ξ≥1）=，則P（η≥2）的值為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】C9：相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【分析】先根據(jù)變量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=，求出p的值，然后根據(jù)P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）求出所求．【解答】解：∵變量ξ～B（2，p），且P（ξ≥1）=，∴P（ξ≥1）=1﹣P（ξ＜1）=1﹣C20?（1﹣p）2=，∴p=，∴P（η≥2）=1﹣P（η=0）﹣P（η=1）=1﹣C30（）0（）3﹣??=1﹣﹣=，故選：C．2.若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（A）3

（B）4（C）5

（D）6參考答案：A3.曲線f（x）=在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程是(

)A．x=1 B．y= C．x+y=1 D．x﹣y=1參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】方程思想；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．【解答】解：f（x）=的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為k=0，切點(diǎn)為（1，），即有在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及直線方程的求法，屬于基礎(chǔ)題．4.如圖，三棱錐P—ABC中，平面ABC，PA=2，是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)D是PB的中點(diǎn)，則異面直線PA與CD所成角的正切值為

（

）

A．

B．C．

D．參考答案：B5.有4位游客來某地旅游，若每人只能從此處甲、乙、丙三個(gè)不同景錄點(diǎn)中選擇一處游覽，則每個(gè)景點(diǎn)都有人去游覽的概率為(

）A．

B．

C.

D．參考答案：D6.已知集合，，若，則滿足條件的集合的個(gè)數(shù)為（

）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1參考答案：A略7.設(shè)命題的解集是實(shí)數(shù)集R，命題，則是的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B8.已知集合，，則 （

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B9.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，圖中陰影部分所表示的集合為(

)A．{3} B．{1，2} C．{4，5} D．{1，2，3，4，5}參考答案：B【考點(diǎn)】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算．【專題】集合．【分析】先觀察Venn圖，圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，得出圖中陰影部分表示的集合，再結(jié)合已知條件即可求解．【解答】解：圖中陰影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韋恩圖可知陰影部分表示的集合為（CUB）∩A，又全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∵CUB={1，2}，∴（CUB）∩A={1，2}．則圖中陰影部分表示的集合是：{1，2}．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算、Venn圖的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想．屬于基礎(chǔ)題．10.過平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記，則當(dāng)最小時(shí)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因?yàn)?而,所以最大時(shí),最小,最小.結(jié)合圖象可知點(diǎn),故的最大值為,則,應(yīng)選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃、二倍角的余弦等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如果函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，那么的最小值為__________.

參考答案：略12.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

．參考答案：13.已知冪函數(shù)的圖像過定點(diǎn)且點(diǎn)在直線則的最小值為 .參考答案：314.已知函數(shù)，則滿足的的取值范圍是

．參考答案：15.一個(gè)幼兒園的母親節(jié)聯(lián)誼會(huì)上，有5個(gè)小孩分別給媽媽畫了一幅畫作為禮物，放在了5個(gè)相同的信封里，可是忘了做標(biāo)記，現(xiàn)在媽媽們隨機(jī)任取一個(gè)信封，則恰好有兩個(gè)媽媽拿到了自己孩子的畫的概率為

．參考答案：16.（不等式選做題）不等式|x－5|+|x+3|≥10的解集是____

。參考答案：略17.計(jì)算:=.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。

（I）求二面角P—CD—A的正切值；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。參考答案：解析：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AE⊥CD，垂足為E，連結(jié)PE

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

∵PA⊥平面ABCD，易證PE⊥CD

∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角

在中，

在中，∴二面角P—CD—A的正切值為

（II）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC

又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB

∴AH⊥平面PBC

故AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距離

在等腰直角三角形PAB中，，所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為19.（本小題滿分12分）圖4是自治區(qū)環(huán)境監(jiān)測(cè)網(wǎng)從8月21日至25日五天監(jiān)測(cè)到甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示：(1)試根據(jù)圖4的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)和下面的附表，估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2

級(jí)良的概率；(2)分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)，試求這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量

等級(jí)相同的概率．附：國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級(jí)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式；莖葉圖．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）根據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻數(shù)為3，則在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻率為．（3分）則估計(jì)甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概率為．（5分）（2）設(shè)事件A：從甲城市和乙城市的上述數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，這兩個(gè)城市的空氣質(zhì)量等級(jí)相同．由題意可知，從甲城市和乙城市的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中分別任取一個(gè)，共有25個(gè)結(jié)果，分別記為：（29，43），（29，41），（29，55），（29，58），（29，78），（53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78），（57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78），（75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78），（106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）．（7分）其數(shù)據(jù)表示兩城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的包括同為1級(jí)優(yōu)的為：甲29，乙41，乙43，同為2級(jí)良的為甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78．（9分）則空氣質(zhì)量等級(jí)相同的為：（29，41），（29，43），（53，55），（53，58），（53，78），（57，55），（57，58），（57，78），（75，55），（75，58），（75，78）．共11個(gè)結(jié)果．（10分）則P（A）=．所以這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同的概率為．（12分）【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻數(shù)，進(jìn)而得到甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的頻率，進(jìn)而估計(jì)出甲城市某一天空氣質(zhì)量等級(jí)為2級(jí)良的概論；（2）先求出分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中任取一個(gè)基本事件總數(shù)，和這兩個(gè)城市空氣質(zhì)量等級(jí)相同基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案．20.（本小題滿分15分）已知函數(shù)（1）若實(shí)數(shù)上的極值；（2）記函數(shù)點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為；(3)當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案：（1）1)當(dāng)此時(shí)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值。2）當(dāng)，由，當(dāng)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增，的極小值為（2）曲線C在P點(diǎn)處的切線的斜率切線方程為時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)a=3時(shí)的最小值為2.（3）由已知不等式即為：，所以當(dāng)21.如圖所示的幾何體中，ABC-A1B1C1為三棱柱，且AA1⊥平面ABC，四邊形ABCD為平行四邊形，，.（1）若，求證：平面；（2）若，，二面角的余弦值為，求三棱錐的體積.參考答案：（1）見解析（2）4【分析】（1）若AA1＝AC，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC1⊥平面A1B1CD；（2）建立坐標(biāo)系，根據(jù)二面角C﹣A1D﹣C1的余弦值為，求出λ的值，根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（1）證明：連接交于，因?yàn)?，又平面，所以，所以四邊形為正方形，所以，在中，，由余弦定理得，所以，所以，所以，又，所以平面，所以，又因?yàn)锳C1⊥平面A1B1CD；（2）如圖建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，由即，解得設(shè)平面的法向量為由得解得由得，所以此時(shí)所以【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判斷以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)二面角的關(guān)系建立坐標(biāo)系求出λ的值是解決本題的關(guān)鍵．22.已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過拋物線上一點(diǎn)P作拋物線C的切線l交x軸于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)Q，當(dāng)|FD|=2時(shí)，∠PFD=60°．（1）判斷△PFQ的形狀，并求拋物線C的方程；（2）若A，B兩點(diǎn)在拋物線C上，且滿足，其中點(diǎn)M（2，2），若拋物線C上存在異于A、B的點(diǎn)H，使得經(jīng)過A、B、H三點(diǎn)的圓和拋物線在點(diǎn)H處有相同的切線，求點(diǎn)H的坐標(biāo)．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）設(shè)P（x1，y1），求出切線l的方程，求解三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)，排除邊長(zhǎng)關(guān)系，然后判斷三角形的形狀，然后求解拋物線方程．（2）求出A，B的坐標(biāo)分別為（0，0），（4，4），設(shè)H（x0，y0）（x0≠0，x0≠4），求出AB的中垂線方程，AH的中垂線方程，解得圓心坐標(biāo)，由，求解H點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）設(shè)P（x1，y1），則切線l的方程為，且，所以，，所以|FQ|=|FP|，所以△PFQ為等腰三角形，且D為PQ的中點(diǎn)