數學期望的定義第一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三預備知識1、算術平均值

若有n個數為的算術平均值.

例：一個數學專業(yè)在校大學新生，期末成績?yōu)椋簲祵W分析80分，高等代數85分，解析幾何90分，大學英語85分，形勢與政策80分，則該學生的算術平均分數為：稱第二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三

這個數字顯然不能反映該同學的真正成績，因為它沒有考慮到這五個科目的相對重要性。譬如在這個年級中，數學分析為5學分，高等代數4學分，解析幾何3學分，大學英語3學分，形勢與政策1學分.因此下面的計算更為合理些：預備知識第三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三2、加權平均值給定權

預備知識滿足

稱

為

關于權的加權平均值.權，又稱權重(Weight)第四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三3、加權平均值與所選的“權”有關

在這個例子中，若數學分析為每周6學時，高等代數4學時，解析幾何3學時，大學英語4學時，形勢與政策1學時，則該生的加權平均分也可以用下式表達：預備知識第五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三預備知識等分“權”（算術平均值）按學分分配“權”按學時分配“權”第六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三1、設X為離散r.v.,分布律為若級數絕對收斂,則稱其和為X

的數學期望，又稱期望,均值或（加權）平均值，記作E(X),

即§4.1隨機變量的數學期望一、離散型隨機變量的數學期望的定義即第七頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三一、離散型隨機變量的數學期望的定義2、在定義中對級數要求絕對收斂的必要性因為諸的順序對隨機變量取期望并不是本質的因而在數學期望定義中應允許任意改變求和次序，而不影響收斂性及其和值，這在數學上相當于絕對收斂.[反例]設離散型隨機變量X的概率分布為因此按照數學期望定義，該隨機變量的數學期望不存在.第八頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三3、數學期望是隨機變量的數字特征，而不是本質特征.一、離散型隨機變量的數學期望的定義P-101

0.10.80.1P-2020.20.60.2它們具有相同的數學期望，但是卻是兩個完全不同的隨機變量.注：隨機變量的概率分布，才是隨機變量唯一的本質特征.第九頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三[例1]設r.vX的分布律如下表,求E(X)

.XP

-13解甲乙兩人賭博，甲贏的概率為，輸的概率為，甲每贏一次可從乙處得3元，而每輸一次，要給乙1元，則甲平均每次可贏元。§4.1隨機變量的數學期望二、數學期望的應用實例第十頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三§4.1隨機變量的數學期望二、數學期望的應用實例[例2]某人有10萬元現(xiàn)金，想投資某個項目，預計成功的機會為30%，可得利潤8萬元；失敗的機會為70%，將損失2萬元，若存入銀行，利率為5%，問是否做此項投資？

X

8-2

P0.30.7分析：記為投資利潤，其概率分布為因此而存入銀行的利息為0.5萬元，從數學期望角度，似應該選擇投資，當然要看當事人是否愿意冒這個風險.第十一頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三1、

X~B(n,p),即則2、若X~B(1,p),

即§4.1隨機變量的數學期望三、常用離散型隨機變量的數學期望則第十二頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三三、常用離散型隨機的變量數學期望3、

X~Possion(),即則第十三頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三§4.1隨機變量的數學期望三、常用離散型隨機的變量數學期望4、X~G(p),即則某籃球運動員投籃命中率為50%，規(guī)定該運動員首次投籃命中時即刻停止，則投籃次數X

的平均值為2，即平均每投籃2次才進1個球，正好也反映了命中率.第十四頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三討論題

將4個不同色的球隨機放入4個盒子中,每盒容納球數無限,求空盒子數的數學期望.分析：設X為空盒子數,則

X的概率分布為XP0123第十五頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三思考我們知道，所謂離散型隨機變量就是它的取值在數軸上的分布是不稠密的，分散的；那么對于在數軸上取值稠密的連續(xù)性隨機變量來說，如何描述數學期望（平均值）呢？第十六頁，共十八頁，編輯于2023年，星期三小結

一、離散型隨機變量的數學期望的定義二、數學期望的應用實例

三、常用離散型隨機的變量的數學期望隨機變量