數(shù)學(xué)物理方法第一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三在復(fù)平面的區(qū)域D內(nèi)解析，則它的實部u(x,y)和虛部v(x,y)都是(x,y)平面的區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。證：按假設(shè)，w=f(z)在D內(nèi)解析，因而在D內(nèi)可求導(dǎo)，并且滿足柯西–黎曼條件(1-3-4)，即(3-6-2)將第一式對x求導(dǎo)，第二式對y求導(dǎo)，得再利用第二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三就得到這就證明了u=u(x,y)是調(diào)和函數(shù)。同理，將(1-3-17)的第一式對y求導(dǎo)，第二式對x求導(dǎo)，可以證明(3-6-1b)即v=v(x,y)也是調(diào)和函數(shù)?！咀C畢】我們證明了，在區(qū)間D內(nèi)解析的復(fù)變函數(shù)的實部和虛部都是該區(qū)間內(nèi)的二維調(diào)和函數(shù)。這兩個二維調(diào)和函數(shù)之間有關(guān)系(3-6-2)。通常稱它們是相互共軛的調(diào)和函數(shù)。第三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(二)平面場的復(fù)電勢定理一可以用來研究平面上的拉普拉斯方程?？紤]定義在xy平面的區(qū)域D內(nèi)的平面靜電場，其場強為而電勢為兩者之間有關(guān)系E=–gradU，其分量式為(3-6-3)設(shè)在區(qū)域D內(nèi)無電荷，則場強E滿足方程(3-6-4)第四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三即U(x,y)是二維調(diào)和函數(shù)。因此，可以將U看成是在z平面上區(qū)域D內(nèi)解析的復(fù)變函數(shù)w=u+iv的實部或虛部。例如，可以令U等于w的實部：(3-6-5)(3-6-6)設(shè)一給定了平面靜電場的電勢U，也就是給定了w的實部u，利用(1-3-14)可以求出w的虛部v。這樣得到的復(fù)變解析函數(shù)w稱為靜電場的復(fù)電勢。在w平面上，兩個方程(3-6-7)(3-6-8)第五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三是相互正交的兩個直線族。根據(jù)保角映射的原理(1-3-15)，上述兩個方程在z平面的區(qū)域D內(nèi)是相互正交的兩個曲線族。其中第一個曲線族是靜電場的等勢線[根據(jù)(3-6-6)]，而第二個曲線族和等勢線正交，因而是電場的電場線。因此，只要知道了復(fù)電勢，就很容易作出等勢線和電場線。(3-6-10)(3-6-9)例1已知平面電場的復(fù)電勢是(3-6-11)第六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三作出它的電場線和等勢線。解：將(3-6-11)平方因而為了畫電場線和等勢線，從上述二式中分別消去v或u，由第二式得將v2=u2+x代入得將u2=v2

–

x代入得第七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三于是，電場線的方程(3-6-10)[v=C2]成為(3-6-12)這是一族拋物線，如圖3-6-1中的實線。等勢線的方程(3-6-9)[u=C1]成為(3-6-13)這于是一族拋物線，如圖3-6-1中的虛線。這是帶電平板邊沿所產(chǎn)生的電場。第八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(3-6-14)例2已知平面靜電場電場線的方程為求等勢線的方程并作圖。解：(3-6-14)左邊的函數(shù)應(yīng)該是某一解析的復(fù)變函數(shù)w的虛部或者實部。為了利用前面已經(jīng)得到的結(jié)果，我們假定它是w的實部因而w的虛部就是電勢U：在§1-3例1中已經(jīng)求出了這一復(fù)變函數(shù)的虛部第九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(3-6-15)故等勢線的方程是在§1-2的例2中，畫過等勢線(3-6-15)和電場線(3-6-14)的圖形，如圖1-2-6，這是互相垂直的兩塊無限大帶電導(dǎo)體平板在兩板之間的空間中所產(chǎn)生的場。(三)解平面場問題的保角變換法用復(fù)電勢方法可以畫出等勢線和電力線，但必須先給定復(fù)電勢，或給定等勢線(或電力線)的方程。系統(tǒng)地求解平面場問題，是在給定電荷分布的情況下求平面場。此時，代替(3-6-4)式，有第十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三見式(5-3-1)。上式中，ρ=ρ(x,y)是二維電荷密度，將(3-6-3)式代入，代替(3-6-5)式得到二維泊松方程(3-6-16)(3-6-17)求解泊松方程的邊值問題，其難易程度主要決定于邊界的形狀。當(dāng)邊界有簡單的幾何形狀時，求解比較容易。對于邊界為一般形狀的邊界問題，可以先設(shè)法將它轉(zhuǎn)化為簡單形狀邊界的邊值問題，然后求解。按這一思路解二維泊松方程的方法稱為保角變換法。第十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三在§1-3中證明了，由解析函數(shù)w=f(z)實現(xiàn)的從z平面到w平面的變換，在f

'(z)≠0的點有保角性質(zhì)。因此，稱這種變換為保角變換。以下將限于討論具有一一對應(yīng)關(guān)系的保角變換，即假定w=f(z)和它的反函數(shù)都是單值函數(shù)；或者，如果它們之中有多值函數(shù)，就規(guī)定取它的黎曼面的一葉。在電荷為零的區(qū)域中，電勢滿足拉普拉斯方程(3-6-5)設(shè)w=w(z)=u(x,y)+iv(x,y)在區(qū)域D內(nèi)解析，則(3-6-5)(3-6-18)的映射是保角映射。將它看成二維變量第十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三的變量變換，稱之為保角變換。在這一變換下，如果在(x,y)平面的區(qū)域D內(nèi)邊界形狀復(fù)雜，而在u,v平面上的相應(yīng)區(qū)域有簡單形狀，則可通過求φ(u,v)而得到U(x,y)。為此需要一個定理。定理二設(shè)由(x,y)到(u,v)的變換(3-6-19)為保角變換，即(3-6-18)w=w(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則：如果U(x,y)滿足拉普拉斯方程(3-6-5)，則φ(u,v)也滿足拉普拉斯方程。(3-6-21)(3-6-19)(3-6-20)第十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三且(3-6-22)證：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的法則，有同理，有第十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三兩式相加，得到利用解析函數(shù)的C–R條件(1-3-4)式，即以及解析函數(shù)實部和虛部分別滿足拉普拉斯方程的性質(zhì)，第十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三見(3-6-1)式，得到上式化簡為按(1-3-2)式因而(3-6-23)第十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三由此看出，對于保角變換，w'(z)≠0，只要U(x,y)滿足拉普拉斯方程，Φ(u,v)也滿足同一方程(3-6-24)這樣，如果在z=x+iy平面上給定了U(x,y)的拉普拉斯方程邊值問題，則利用保角變換w=f(z),可以將它轉(zhuǎn)化為w=u+iv平面上Φ(u,v)的拉普拉斯方程邊值問題。以下我們來討論幾種簡單的保角變換，以及用它們解拉普拉斯方程邊值問題(有源情況下是泊松方程的邊值問題)的例子。第十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(四)由分式線性函數(shù)所實現(xiàn)的變換分式線性函數(shù)的一般形式是式中，a,b,c,d為常數(shù)(若ad–bc=0，則w將恒等于常數(shù))。我們來討論由它實現(xiàn)的保角變換。若c≠0,式(3-6-25)可改寫為(3-6-25)(3-6-26)第十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三這一變換可以分四步實現(xiàn)：(1)z1=z+C；(2)z2=|B|/z1；(3)z3=z2eiargB；(4)w=A+z3(3-6-27)(1)和(4)是z平面和z3平面上的平移變換；(3)是在z2平面上轉(zhuǎn)動角度argB的變換。下面著重討論變換(2)。記|B|=R2，R為正實數(shù)，令z1=reiθ、

z2=ρeiφ，則變換z2=R2

/z1可進一步分解為(3-6-28)在圖3-6-2中的z1和z'1是在以R為半徑的圓的一根半徑及其延長線的兩個點，它們和圓心距離的乘積等于半徑的平方：rρ

=R2。這樣的兩個點稱為對于這一圓周的一第十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三對對稱點，或反演點。z1和z'1則是關(guān)于實軸的一對對稱點。式(3-6-27)中的(2)就是這兩對關(guān)于圓和關(guān)于實軸的對稱點變換的結(jié)合，也就是變換的復(fù)合。和第二十頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三分式線性變換(3-6-25)有一個重要性質(zhì)：保圓性。它將z平面上的圓變?yōu)閣平面上的圓。這里所說“圓”包括圓心在無窮遠(yuǎn)，半徑為無窮大的特殊情況，即直線。變換(1)、(4)——平移和(3)——轉(zhuǎn)動顯然有保圓性。下面來證明變換(2)z2=R2

/z1也有保圓性。在z1=reiθ平面上，以z0=r0eiθ0為心，A為半徑的圓的方程是或(3-6-29)第二十一頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(3-6-30)如圖3-6-3，將(3-6-28)代入，即作變換z2=R1

/z1，得到當(dāng)b≠0時，這是在z2=ρeiφ平面上，以為心，以第二十二頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三為半徑的圓。特殊情況：b=0，變換z2=R2

/z1將z1平面上經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓映射到z2平面上成為圓心在無限遠(yuǎn)處，半徑為無窮大的圓，即直線ρcos(φ+θ0)=常數(shù)。反之，z1平面上的一根直線rcos(θ–θ0)=常數(shù)，映射到z2平面上是經(jīng)過坐標(biāo)原點的圓。不難看到，分式線性變換(3-6-25)在整個復(fù)平面除了一個點z0=–d/c外處處解析，并將整個閉z平面單值地映射到w平面上。它的反函數(shù)(3-6-31)也是分式線性函數(shù)，它將整個閉w平面單值地映射到z平面第二十三頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三上。因此，分式線性變換(3-6-25)將閉z平面一一對應(yīng)地映射到閉w平面，且具有保角性和保圓性。下面我們來證明相反的論斷也成立：定理三如果w=f(z)在閉z平面上除一點z0(無限遠(yuǎn)點或有限遠(yuǎn)點)外處處解析，并且將z平面一一對應(yīng)地映射到w平面，則f(z)是分式線性函數(shù)。證：按假設(shè)，z0是一個孤立奇點，f(z)及反函數(shù)單值。在本性奇點和高階極點的鄰域內(nèi)，f(z)的反函數(shù)不單值，因而z0不可能是本性奇點或高階奇點。另外，z0不可能是可去奇點，否則f(z)是常數(shù)。第二十四頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三如果z0是一階極點，則當(dāng)z0為有限遠(yuǎn)點時f(z)在z0的鄰域的羅朗展開式的負(fù)冪項只含(z–z0)–1項。這表明f(z)–B/(z–z0)在閉z平平面上解析，因而由劉維爾定理可知其為常數(shù)A。因此，(3-6-31)這是分式線性函數(shù)(3-6-26)。如果無限遠(yuǎn)點是一階極點，則由同樣的討論知道f(z)=Bz+A，同樣是分式線性函數(shù)(3-6-25)中c=0的特殊情況?！咀C畢】第二十五頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三例3和地面平行，距離地面h處有一根均勻帶電無限長直導(dǎo)線，單位長度電荷量為e，求電場。解：根據(jù)對稱性，任何一個垂直于導(dǎo)線的平面上的電場都相同，可以選其中一個平面來研究，如圖3-6-4(a)。這一平面上的電勢滿足二維點泊松方程(3-6-32)和邊界條件(3-6-33)第二十六頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(3-6-34)我們來找一個分式線性變換w=f(z)，它將z平面上的直線y=0映射為w平面上的單位圓；點P映射為圓心P*，如圖3-6-4(b)。根據(jù)定理三，這樣的分式線性變化是存在的。它將上半z平面映射到w平面上以P*為心的單位圓的內(nèi)部。設(shè)是這一變換。三個常數(shù)λ,α,β由三個條件決定：(1)P點(z=ih)映射為w=0，由此得α=ih；(2)直線y=0映射為單位圓。這一條件可以換一句話表述：第二十七頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三相對于直線y=0的反演點對映射為相對于單位圓的反演點對。例如，在z1=ih映射為w1=0的同時，相對于直線y=0的z1的反演點z1=ih映射為相對于單位圓的w1的反演點w2。根據(jù)反演點的定義，w1和w2的模ρ1和ρ2的乘積等于圓半徑的平方。由于ρ1=0，故ρ2=∞，即w2為無限遠(yuǎn)點。將z2=–ih，w2=∞代入(3-6-34)式，得到β=–ih。這樣，(3-6-34)成為

(3)以上只決定了直線y=0映射為以P*為心的圓，還沒有確定圓的半徑。為了保證圓的半徑=1(單位圓)，要求直線y=0上的一個點(例如z=0)映射為單位圓上的一個點(例如w=–1)。第二十八頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三經(jīng)過這一變換，方程和邊界條件成為(3-6-35)(3-6-36)(3-6-37)由此得λ=1，即它代表這樣一個物理問題：在半徑等于1的接地圓柱導(dǎo)體面的軸線上有一均勻帶電的導(dǎo)線，求柱面內(nèi)的電勢。在§11-2中將看到，它的解是[見(11-2-11)式](3-6-38)第二十九頁，共三十四頁，編輯于2023年，星期三(3-6-39)回到z平面就有(五)由冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)所實現(xiàn)的變換(1)冪函數(shù)將z平面上與正實軸夾角為π/n的角形區(qū)域變?yōu)閣的上半平面。在§1-2例2中見過一個這種變換的例子。注意，在z平面的上述角形區(qū)域內(nèi)部(對應(yīng)于w的上半平面內(nèi))，變換有保角