重點(diǎn)高中立體幾何中二面角經(jīng)典求法#BG=9,AG=74J4449A1G2=A1A2+AG2=B,A1C2=AB2+AD2+AA12=50在AA|CG中，由余弦定理得CosNA|CG=12E21 1 25求二面角的大小還有很多的方法，這里只是列舉了幾個(gè)常用的方法，希望同學(xué)們能在解題的時(shí)候加以總結(jié)，爭(zhēng)取在高考中旗開得勝！如何用空間向量求解二面角求解二面角大小的方法很多，諸如定義法、三垂線法、垂面法、射影法、向量法等若干種。而這些方法中最簡(jiǎn)單易學(xué)的就是向量法，但在實(shí)際教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)學(xué)生利用向量法求解二面角還是存在一些問題，究其原因應(yīng)是對(duì)向量法的源頭不盡了解。本文就簡(jiǎn)要介紹有關(guān)這類問題的處理方法，希望對(duì)大家有所幫助。在立體幾何中求二面角可歸結(jié)為求兩個(gè)向量的夾角問題.對(duì)于空間向量a、b,有cos<a,b>=a".利用這一結(jié)論，我們可以較方便地處理立體幾何中二面角的問題.ibi?⑻例1在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD，底面ABCD.求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值.證明：建立如圖空間直角坐標(biāo)系，并設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1,依題意得7B=(0,1,0),是面VAD的法向量，設(shè)b=(1,y,z)是面VDB的法向量，貝Uf 「、,=-1TOC\o"1-5"\h\za?vb=0,丁 .1 /7=_且=n=(1,f—a.vb=0. 1/—下.Mb加b四■■cos<AB,n〉 =- ,7IABI-InI又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角為銳角，所以其余弦值是例2如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1中，ZACB=90°,AC=1,CB=72,

側(cè)棱AA1=1,側(cè)面AA^B的兩條對(duì)角線交點(diǎn)為D,B1cl的中點(diǎn)為M.⑴求證CD，平面BDM；⑵求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.解：⑴略（2汝口圖以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.設(shè)BD中點(diǎn)為G,連結(jié)B1G，3v;2則依G(bG=(—1???11D?1G=0,

1ABDXB1G又cd'bd,/.B與時(shí)的夾角0等于所求二面角的平面角.\o"CurrentDocument"aCD,1TG 檔cos0= 1 =———.. 3ICDI-IB~GI1例3如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD，底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn)，作EFXPB交PB于點(diǎn)F.求面角C—PB—D的大小解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)DC=a設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（％，z),Pl=XT1B，則0(x，y，z一a)=-(a，000Z0二（1一九）0.所以1P=(一＞1-y0，2-z0)=(--a,(2-^)。，(入-2)a)?由條件EF，PB知，1?P=0,即--a2+(；--)a2-(--；)a2=0，解得-=1.^2 ^2 3..?點(diǎn)f的坐標(biāo)為(a,a，v)，且pe=(-a,a，-a)，川=(-a，33 3 36 6 3_^ _^ a2a22a2八.?.p?FD=—--—十——=03 3 3即PB±FD，故/EFD是二面角C—PB—D的平面角.a2a2a2a2———+—9189a2~6i^^i :a2a2 a2 <6，且|p]g|=，一+一+一二Ja9 3636 6?加居+?+等二9aT^FDcos/EFD= ITEIIFDI、:6 <6 2——a?——a6 3兀，二/EFD=-.

3所以，二面角C—PB—D的大小為g.例4已知三棱柱OA"°iAiBi中，平面OBBpi平面OAB，/AOB=9?！?/OOB=60。，且OB=OO=2,OA=小，求二面角O1 1 1—AB—O的余弦值.解：以O(shè)為原點(diǎn)，分別以O(shè)A,OB所在的直線為x,y軸，過O點(diǎn)且與平面AOB垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖，則O(0,0,0),O(0,1,a/3),1A(*：'3,0,0),A(.；3,1,v;3),B(0,2,0).1???ATO=(—、回,1,v3),TTB=(—3,2,0).1顯然應(yīng)為平面AOB的法向量，取n1二(。，0,1),設(shè)平面OAB的法向量為才=(x,y,z),則1 24?AO；=0,4?A-B=0.—中3x+y+、，'3z=0即1 「 ，令y,，3,x=2,—、