專題15單調(diào)性問題【題型歸納目錄】題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像題型二：求單調(diào)區(qū)間題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一：單調(diào)性基礎(chǔ)問題1、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)．2、已知函數(shù)的單調(diào)性問題=1\*GB3①若在某個區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞增；=2\*GB3②若在某個區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有恒成立（但不恒等于0）；反之，要滿足，才能得出在某個區(qū)間上單調(diào)遞減．知識點(diǎn)二：討論單調(diào)區(qū)間問題類型一：不含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，盡可能因式分解；定義域需要注意是否是連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）求根做圖得結(jié)論(如能直接求出導(dǎo)函數(shù)等于0的根，并能做出導(dǎo)函數(shù)與x軸位置關(guān)系圖，則導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段已知，可直接得出結(jié)論)；（4）未得結(jié)論斷正負(fù)(若不能通過第三步直接得出結(jié)論，則先觀察導(dǎo)函數(shù)整體的正負(fù))；（5）正負(fù)未知看零點(diǎn)(若導(dǎo)函數(shù)正負(fù)難判斷，則觀察導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn))；（6）一階復(fù)雜求二階(找到零點(diǎn)后仍難確定正負(fù)區(qū)間段，或一階導(dǎo)函數(shù)無法觀察出零點(diǎn)，則求二階導(dǎo))；求二階導(dǎo)往往需要構(gòu)造新函數(shù)，令一階導(dǎo)函數(shù)或一階導(dǎo)函數(shù)中變號部分為新函數(shù)，對新函數(shù)再求導(dǎo)．（7）借助二階定區(qū)間(通過二階導(dǎo)正負(fù)判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段)；類型二：含參數(shù)單調(diào)性討論（1）求導(dǎo)化簡定義域(化簡應(yīng)先通分，然后能因式分解要進(jìn)行因式分解，定義域需要注意是否是一個連續(xù)的區(qū)間)；（2）變號保留定號去(變號部分：導(dǎo)函數(shù)中未知正負(fù)，需要單獨(dú)討論的部分．定號部分：已知恒正或恒負(fù)，無需單獨(dú)討論的部分)；（3）恒正恒負(fù)先討論(變號部分因?yàn)閰?shù)的取值恒正恒負(fù))；然后再求有效根；（4）根的分布來定參(此處需要從兩方面考慮：根是否在定義域內(nèi)和多根之間的大小關(guān)系)；（5）導(dǎo)數(shù)圖像定區(qū)間；【方法技巧與總結(jié)】1、求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求，令，解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實(shí)數(shù)；（3）把函數(shù)的間斷點(diǎn)（即的無定義點(diǎn)）的橫坐標(biāo)和的各實(shí)根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點(diǎn)把函數(shù)的定義域分成若干個小區(qū)間；（4）確定在各小區(qū)間內(nèi)的符號，根據(jù)的符號判斷函數(shù)在每個相應(yīng)小區(qū)間內(nèi)的增減性.注①使的離散點(diǎn)不影響函數(shù)的單調(diào)性，即當(dāng)在某個區(qū)間內(nèi)離散點(diǎn)處為零，在其余點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時，在這個區(qū)間上仍舊是單調(diào)遞增（或遞減）的.例如，在上，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，而顯然在上是單調(diào)遞增函數(shù).②若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則（不恒為0），反之不成立.因?yàn)?，即或，?dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.當(dāng)時，在這個區(qū)間為常值函數(shù)；同理，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（不恒為0），反之不成立.這說明在一個區(qū)間上函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于零，是這個函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增的充分不必要條件.于是有如下結(jié)論：單調(diào)遞增；單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；單調(diào)遞減.【典例例題】題型一：利用導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系確定原函數(shù)圖像【方法技巧與總結(jié)】原函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值的符號的關(guān)系，原函數(shù)單調(diào)遞增導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）；原函數(shù)單調(diào)遞減導(dǎo)函數(shù)（導(dǎo)函數(shù)等于0，只在離散點(diǎn)成立，其余點(diǎn)滿足）.例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如圖所示.記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（

）A． B．C． D．例3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如圖所示，則的圖像是圖四個圖像中的（

）．A． B．C． D．變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如下圖，記的導(dǎo)函數(shù)為，則不等式的解集為______________.題型二：求單調(diào)區(qū)間【方法技巧與總結(jié)】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟如下：（1）求的定義域（2）求出.（3）令，求出其全部根，把全部的根在軸上標(biāo)出，穿針引線.（4）在定義域內(nèi)，令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；令，解出的取值范圍，得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.若一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的區(qū)間不只一個，則這些單調(diào)區(qū)間不能用“”、“或”連接，而應(yīng)用“和”、“，”隔開.例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．例5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為__________．例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______________.變式2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，的增區(qū)間為___________.變式3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調(diào)減區(qū)間是________.變式4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________.題型三：已知含量參函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)或不單調(diào)或存在單調(diào)區(qū)間，求參數(shù)范圍【方法技巧與總結(jié)】（1）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)恒大于等于或恒小于等于零求解，先分析導(dǎo)函數(shù)的形式及圖像特點(diǎn)，如一次函數(shù)最值落在端點(diǎn)，開口向上的拋物線最大值落在端點(diǎn)，開口向下的拋物線最小值落在端點(diǎn)等.（2）已知區(qū)間上函數(shù)不單調(diào)，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在變號零點(diǎn)，通常用分離變量法求解參變量范圍.（3）已知函數(shù)在區(qū)間上存在單調(diào)遞增或遞減區(qū)間，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零或小于零有解.例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，則（

）.A． B．C． D．例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B．C． D．例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）．A． B． C． D．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若在上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上不單調(diào)，則的取值范圍是______.變式9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間（-1,1）上為單調(diào)減函數(shù)，則的取值范圍是__________．題型四：不含參數(shù)單調(diào)性討論例10．（2023秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，且的圖像經(jīng)過點(diǎn)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間．例11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處切線的方程；（2）證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.例12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間．變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時，討論的單調(diào)性．題型五：含參數(shù)單調(diào)性討論【方法技巧與總結(jié)】1、關(guān)于含參函數(shù)單調(diào)性的討論問題，要根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的情況來作出選擇，通過對新函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的討論，從而得到原函數(shù)對應(yīng)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，最終判斷原函數(shù)的增減．（注意定義域的間斷情況）．2、需要求二階導(dǎo)的題目，往往通過二階導(dǎo)的正負(fù)來判斷一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合一階導(dǎo)函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值或零點(diǎn)可判斷一階導(dǎo)函數(shù)正負(fù)區(qū)間段．3、利用草稿圖像輔助說明．例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.例14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），求的單調(diào)區(qū)間；例15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)性；變式11．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，討論的單調(diào)性；變式12．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．討論函數(shù)的單調(diào)性.變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).討論的單調(diào)性；變式14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中k∈R.當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；【過關(guān)測試】一、單選題1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)，則的單調(diào)增區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C．或 D．4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B．，C． D．二、多選題9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)榍覍?dǎo)函數(shù)為，如圖是函數(shù)的圖像，則下列說法正確的是A．函數(shù)的增區(qū)間是B．函數(shù)的增區(qū)間是C．是函數(shù)的極小值點(diǎn)D．是函數(shù)的極小值點(diǎn)三、填空題11．（2023秋·廣東深圳·高三深圳市高級中學(xué)?？计谀┮阎x在上的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，當(dāng)時，的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式的解集為______.12．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是________．14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知對任意不相等的正數(shù)都有恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象如圖所示，記、、，則、、最大的是________.16．（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______．四、解答題17．（2023秋·寧夏吳忠·高三青銅峽市高級中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)．(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，（其中e＝2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）．求f（x）的單調(diào)區(qū)間.19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若的單調(diào)遞減區(qū)間為，求實(shí)數(shù)的值．20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方