熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理第一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體8.3玻色－愛因斯坦凝聚8.4光子氣體8.5金屬中的自由電子氣8.6白矮星第二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第七章根據(jù)玻爾茲曼分布討論了定域系統(tǒng)（固體）和滿足經(jīng)典極限條件的玻色和費(fèi)米系統(tǒng)（氣體）。經(jīng)典極限條件也稱非簡并條件，可表達(dá)為：滿足上述條件的氣體稱為非簡并氣體，無論由玻色子構(gòu)成（玻色系統(tǒng)）還是費(fèi)米子構(gòu)成（費(fèi)米系統(tǒng)），都可以用玻爾茲曼分布來處理；不滿足上述條件的氣體稱為簡并氣體，需要分別用玻色分布和費(fèi)米分布來處理。弱簡并氣體強(qiáng)簡并氣體若第三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三玻爾茲曼分布玻色分布費(fèi)米分布定域系統(tǒng)和非簡并氣體由玻色子構(gòu)成的簡并氣體由費(fèi)米子構(gòu)成的簡并氣體適用范圍第四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三一、玻色系統(tǒng)8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式引入巨配分函數(shù)則系統(tǒng)平均總粒子數(shù)第五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三內(nèi)能廣義力（物態(tài)方程）對(duì)簡單系統(tǒng)第六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三注意到是的函數(shù)，有

熵和α、β的確定：根據(jù)開系的熱力學(xué)基本方程表明是的積分因子。第七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三所以

表明是的積分因子。第八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

比較上兩式，可得前面得到：積分得第九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三由玻色分布第十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三與（6.7.4）比較，可得玻耳茲曼關(guān)系：第十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三因?yàn)槭牵ê唵蜗到y(tǒng)即）的函數(shù)，以為自然變量的特性函數(shù)是巨熱力學(xué)勢：巨熱力學(xué)勢第十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三則費(fèi)米系統(tǒng)熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式與玻色系統(tǒng)熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式完全相同。二、費(fèi)米系統(tǒng)引入費(fèi)米系統(tǒng)的巨配分函數(shù)第十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三平均總分子數(shù)

總內(nèi)能

廣義力熵玻耳茲曼關(guān)系巨熱力學(xué)勢第十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三首先通過量子力學(xué)的理論計(jì)算，或者分析有關(guān)實(shí)驗(yàn)的光譜數(shù)據(jù)，獲取熱力學(xué)系統(tǒng)的能級(jí)表達(dá)式和能級(jí)簡并度，由此計(jì)算配分函數(shù)，最后用熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式通過配分函數(shù)計(jì)算熱力學(xué)量，從而確定系統(tǒng)的全部平衡性質(zhì)。三、量子統(tǒng)計(jì)物理學(xué)處理熱力學(xué)系統(tǒng)的一般方法第十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體弱簡并氣體：或雖小但不可忽略的玻色和費(fèi)米氣體。以下推導(dǎo)過程的公式中，上面的符號(hào)適用于費(fèi)米氣體，下面的符號(hào)適用于玻色氣體。并且不考慮分子的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，即分子只有平動(dòng)自由度，其能量表達(dá)為非簡并條件或第十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三其中g(shù)是由于粒子可能具有自旋而引進(jìn)的簡并度。系統(tǒng)的內(nèi)能為考慮到平動(dòng)自由度的能級(jí)是連續(xù)的，求和可以用積分來近似，于是系統(tǒng)的總分子數(shù)為習(xí)題6－1第十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在弱簡并的情形下，較小，較小，可取級(jí)數(shù)的一級(jí)近似（零級(jí)近似相當(dāng)于玻爾茲曼分布）：引入變量，將上兩式改寫為：

其中第十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三求積分由分部積分因?yàn)樗缘谑彭摚惨话俣捻?，編輯?023年，星期三

可得第二十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第二十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

兩式相除，再取近似其中由于較小，用零級(jí)近似，即玻爾茲曼分布的結(jié)果帶入：第二十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

可得由非相對(duì)論粒子的性質(zhì)（習(xí)題7.1）得物態(tài)方程第二十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

第一項(xiàng)是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能和壓強(qiáng)，第二項(xiàng)是由微觀粒子全同性原理引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)所導(dǎo)致的附加內(nèi)能和附加壓強(qiáng)。費(fèi)米氣體的附加內(nèi)能（壓強(qiáng)）為正而玻色氣體的附加內(nèi)能為負(fù)?？梢哉J(rèn)為，量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)使費(fèi)米子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色粒子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。

總結(jié)：第二十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三上節(jié)討論了弱簡并理想玻色（費(fèi)米）氣體的性質(zhì)，初步看到由微觀粒子全同性帶來的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)系統(tǒng)宏觀性質(zhì)的影響，在弱簡并的情形下

8.3玻色－愛因斯坦凝聚(BEC)小，影響是微弱的。上面的符號(hào)適用于費(fèi)米氣體，下面的符號(hào)適用于玻色氣體第二十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三由于玻色子的特性，當(dāng)理想玻色氣體滿足時(shí)，玻色子將向基態(tài)能級(jí)轉(zhuǎn)移，出現(xiàn)獨(dú)特的玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象。

1924年印度物理學(xué)家玻色提出黑體輻射是光子理想氣體的觀點(diǎn)，他研究了“光子在各能級(jí)上的分布”問題，以不同于普朗克的方式推導(dǎo)出普朗克黑體輻射公式。他將這一結(jié)果寄給愛因斯坦。愛因斯坦意識(shí)到玻色工作的重要性，立即著手這一問題的研究。他于1924和1925年發(fā)表兩篇文章，將玻色對(duì)光子的統(tǒng)計(jì)方法推廣到某類原子，并預(yù)言當(dāng)這類原子的溫度足夠低時(shí)，所有的原子就會(huì)突然聚集在一種盡可能低的能量狀態(tài)，這就是我們所說的玻色－愛因斯坦凝聚。在很長一段時(shí)間里，沒有任何物理系統(tǒng)被認(rèn)為與玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象有關(guān)。1938年，倫敦提出低溫下液氦的超流現(xiàn)象可能是氦原子玻色凝聚的體現(xiàn)，玻色－愛因斯坦凝聚才真正引起物理學(xué)界的重視。

第二十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三以表示粒子的最低能級(jí)，則要求：由于，這就要求所有能級(jí)均有一、臨界溫度考慮由N個(gè)全同近獨(dú)立玻色子組成的系統(tǒng)，假設(shè)粒子的自旋為0（g=1），溫度為T，體積為V。據(jù)玻色分布，處在能級(jí)的粒子數(shù)為：第二十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三即理想玻色氣體的化學(xué)勢必須低于粒子最低能級(jí)的能量。若取最低能級(jí)為能量的零點(diǎn)，即，則

化學(xué)勢μ由粒子數(shù)守恒公式確定：可知化學(xué)勢μ為溫度T及粒子數(shù)密度n的函數(shù)。由于和都與溫度無關(guān)，因此若給定n，則溫度T愈低，因?yàn)椋笤酱?。將上式的求和用積分代替，利用第二十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三化學(xué)勢隨溫度的降低而升高，當(dāng)溫度降至某一臨界溫度時(shí)，μ將趨于－0。這時(shí)趨于1。

則臨界溫度由下式給出：令第二十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三求積分因?yàn)榈谌?，共一百二十四頁，編輯?023年，星期三即時(shí)，。因此，對(duì)于給定的粒子數(shù)密度n，臨界溫度為：

利用第三十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三對(duì)，例：第三十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三溫度低于時(shí)有何現(xiàn)象出現(xiàn)？前面的討論指出，溫度愈低時(shí)μ值愈高，但在任何溫度下μ必取負(fù)值。由此可知，時(shí)，μ仍趨于－0，所以有

的粒子到哪去了呢？因?yàn)橹泻许?xiàng)，所以上式的積分中沒有的粒子的貢獻(xiàn)。高溫時(shí)粒子都處在激發(fā)態(tài)，可以不用考慮的粒子數(shù)密度但時(shí)，必須考慮的貢獻(xiàn)。

二、玻色－愛因斯坦凝聚現(xiàn)象第三十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第一項(xiàng)是處在能級(jí)ε=0的粒子數(shù)密度在，μ趨于－0時(shí)，有第二項(xiàng)是處在激發(fā)態(tài)能級(jí)ε>0的粒子數(shù)密度其中第三十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三利用可得若，溫度為T時(shí)處在最低能級(jí)ε＝0的粒子數(shù)密度為：第三十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三可見在TC以下n0與n具有相同的量級(jí)。以下是n0隨溫度的變化：第三十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在絕對(duì)零度以下粒子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)。對(duì)于玻色粒子，一個(gè)量子態(tài)所能容納的粒子數(shù)目不受限制，因此絕對(duì)零度下玻色粒子將全部處在ε＝0的最低能級(jí)。但上式表明，在時(shí)就有宏觀量級(jí)的粒子在能級(jí)ε＝0凝聚。這一現(xiàn)象稱為玻色－愛因斯坦凝聚，簡稱玻色凝聚。為凝聚溫度。凝聚在的粒子集合稱為玻色凝聚體。凝聚體不但能量、動(dòng)量為零，由于凝聚體的微觀狀態(tài)完全確定，熵也為零。凝聚體中粒子的動(dòng)量既然為零，對(duì)壓強(qiáng)沒有貢獻(xiàn)。第三十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在時(shí)，理想玻色氣體的內(nèi)能是處在能級(jí)ε>0的粒子能量的統(tǒng)計(jì)平均值：三、BEC系統(tǒng)的內(nèi)能和熱容量

定容熱容第三十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三上式指出，在時(shí)，理想玻色氣體的與成正比，到時(shí)，達(dá)到極值：高溫時(shí)應(yīng)趨于經(jīng)典值：隨溫度的變化如圖：第三十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三發(fā)生相變，稱為相變。四、相變?cè)邮遣Ｉ樱髿鈮合碌姆悬c(diǎn)是4.2K。正常液態(tài)，稱為HeⅠ。超流動(dòng)性，稱為HeⅡ.比較第四十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

滿足上式時(shí)原子的熱波長與原子平均間距具有相同的量級(jí)，量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)起決定作用。理想玻色氣體出現(xiàn)凝聚體的條件為：由此可見，可通過降低溫度和增加氣體粒子數(shù)密度的方法來實(shí)現(xiàn)玻色凝聚。80年代以來，激光冷卻、激光陷阱和蒸發(fā)冷卻技術(shù)有了突破性的進(jìn)展，終于在1995年實(shí)現(xiàn)了堿金屬，，蒸氣的玻色－愛因斯坦凝聚。第四十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三物質(zhì)臨界溫度凝聚體原子數(shù)目（個(gè)）凝聚體原子密度堿金屬蒸汽的玻色凝聚第四十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

玻色－愛因斯坦凝聚的實(shí)現(xiàn)有著十分重要的科學(xué)意義和潛在的應(yīng)用價(jià)值。玻色－愛因斯坦凝聚體所具有的奇特性質(zhì)，使它不僅對(duì)基礎(chǔ)研究有重要意義，而且在芯片技術(shù)、精密測量和納米技術(shù)等領(lǐng)域都讓人看到了非常美好的應(yīng)用前景。凝聚體中的原子幾乎不動(dòng)，可以用來設(shè)計(jì)精確度更高的原子鐘，以應(yīng)用于太空航行和精確定位等。凝聚體具有很好相干性，可以用于研制高精度的原子干涉儀，測量各種勢場，測量重力場加速度和加速度的變化等。原子激光也可能用于集成電路的制造，大大提高集成電路的密度，因此將大大提高電腦芯片的運(yùn)算速度。凝聚體還被建議用于量子信息的處理，為量子計(jì)算機(jī)的研究提供另外一種選擇。

第四十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三1995年6月，維曼和康奈爾的研究組在銣（87Rb）原子蒸氣中第一次直接觀測到玻色－愛因斯坦凝聚。幾個(gè)月后，麻省理工學(xué)院的沃爾夫?qū)た颂乩昭芯拷M在鈉（23Na）原子蒸氣中實(shí)現(xiàn)了玻色－愛因斯坦凝聚。此后，這個(gè)領(lǐng)域經(jīng)歷了爆發(fā)性的發(fā)展。目前世界上已有近30個(gè)研究組在稀薄原子氣中實(shí)現(xiàn)了玻色－愛因斯坦凝聚。

瑞典皇家科學(xué)院2001年10月9日宣布，將2001年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)聯(lián)合授予美國科學(xué)家埃里克·康奈爾、卡爾·維曼和德國科學(xué)家沃爾夫?qū)た颂乩铡?/p>

第四十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三1、受熱物體或空窖可以輻射電磁波。輻射能量密度和能量密度隨頻率的依賴關(guān)系與溫度及輻射體的性質(zhì)有關(guān)。8.4光子氣體一、輻射場的一般熱力學(xué)性質(zhì)2、如果輻射體對(duì)電磁波的吸收和輻射達(dá)到平衡，則輻射能量密度和能量密度隨頻率的依賴關(guān)系將只取決于溫度，與輻射體的其它性質(zhì)無關(guān)，稱為平衡輻射?？战褍?nèi)的輻射就是平衡輻射。平衡輻射能量密度是各向同性的、非偏振的和均勻的。黑體輻射=空窖輻射=平衡輻射第四十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三輻射能量密度

輻射壓強(qiáng)

輻射場的熵

輻射通量密度（斯特藩——玻耳茲曼定律）3、平衡輻射場（空窖輻射）的熱力學(xué)結(jié)果輻射場的吉布斯函數(shù)第四十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三輻射場可以分解為無窮多個(gè)單色平面波的疊加。具有一定圓頻率、波矢量和偏振的單色平面波可以看作輻射場的一個(gè)振動(dòng)自由度，根據(jù)能均分定理，一個(gè)振動(dòng)自由度具有平均能量。在體積內(nèi)，在的圓頻率范圍內(nèi)，輻射場的振動(dòng)自由度數(shù)為（由駐波條件）：

二、用統(tǒng)計(jì)物理方法處理輻射場1、用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)從波動(dòng)觀點(diǎn)處理輻射場所以在體積V內(nèi)，在范圍內(nèi)平衡輻射的內(nèi)能為第四十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三瑞利－金斯公式

結(jié)論：在低頻范圍與實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合，但在高頻范圍與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符；在有限溫度下平衡輻射場的內(nèi)能和定容熱容量均發(fā)散?；虻谒氖隧?，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三具有一定波矢量和圓頻率的單色平面波與具有一定動(dòng)量和一定能量的光子相對(duì)應(yīng)。它們之間服從德布羅意關(guān)系2、用量子統(tǒng)計(jì)理論從粒子觀點(diǎn)處理輻射場可得光子的能量動(dòng)量關(guān)系（1）光子氣體模型：或第四十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三將空窖內(nèi)的電磁輻射看成一個(gè)光子氣體系統(tǒng)。由于不同頻率的電磁波之間是線性無關(guān)，相互獨(dú)立的，所以光子與光子之間不存在相互作用（近獨(dú)立）；又光子的自旋量子數(shù)為1，所以光子氣體可以看成理想玻色氣體。光子氣體的平衡是通過窖壁不斷發(fā)射和吸收光子達(dá)到的，所以光子氣體系統(tǒng)的光子數(shù)不守恒。在導(dǎo)出玻色分布時(shí)，只有能量守恒的條件，只引入一個(gè)拉氏乘子，所以光子氣體的統(tǒng)計(jì)分布為：因?yàn)橐馕吨胶鉅顟B(tài)下光子氣體的化學(xué)勢為零。第五十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在體積為的輻射場內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)，光子可能的量子狀態(tài)數(shù)，因?yàn)楣庾幼孕孔訑?shù)為1，自旋在動(dòng)量方向的投影可取兩個(gè)可能值，相當(dāng)于左右圓偏振。所以在體積為的輻射場內(nèi)，在到的動(dòng)量范圍內(nèi)，光子可能的量子狀態(tài)數(shù)：（2）普朗克公式由第五十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三因此在上述范圍內(nèi)輻射場的內(nèi)能為則在體積為的輻射場內(nèi)，在到的頻率范圍內(nèi)的光子數(shù)為即輻射場內(nèi)能按頻率的分布，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果完全相符，如圖。普朗克公式第五十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三普朗克公式（輻射場內(nèi)能按頻率的分布）：第五十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，，考慮低頻近似：瑞利－金斯公式的一級(jí)近似。第五十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三當(dāng)時(shí)，，考慮近似高頻近似：維恩公式第五十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三輻射場的內(nèi)能其中用到積分第五十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三即斯特藩—玻耳茲曼定律，其中斯特藩常量：由第五十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三根據(jù)普朗克公式，內(nèi)能隨頻率的分布有一個(gè)極大值，與該極大值對(duì)應(yīng)的頻率用來表示，（3）維恩位移定律解最后的超越方程，得令取極大的x滿足：第五十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三求的解：第五十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三因?yàn)槭馆椛鋱龅膬?nèi)能密度取極大的是一定的，即與溫度成正比，稱為維恩位移定律。第六十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三用波長表示的普朗克公式：利用習(xí)題8－8第六十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第六十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三使取極大的波長由下式確定：令第六十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三解最后的超越方程，兩條曲線相交點(diǎn)在習(xí)題8－9第六十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第六十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三太陽人體宇宙微波背景輻射第六十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三光子氣體的巨配分函數(shù)引入變量（4）通過配分函數(shù)求光子氣體的熱力學(xué)函數(shù)上式可以表示為其中第六十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三應(yīng)用分步積分：于是配分函數(shù)為因?yàn)榉e分第六十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三光子氣體的內(nèi)能光子氣體的壓強(qiáng)比較這兩個(gè)式子可以得斯特藩——玻耳茲曼定律第六十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三光子氣體的熵

光子氣體的熱容量由此可知，光子氣體的熵隨溫度而趨于零，符合熱力學(xué)第三定律的要求，同時(shí)熵也滿足廣延量的要求。第七十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三由于具有一定圓頻率、波矢和偏振的平面波與具有一定能量、動(dòng)量和自旋投影的光子狀態(tài)相應(yīng)，當(dāng)輻射場某一平面波處在量子數(shù)為n的狀態(tài)時(shí)，相當(dāng)于存在相應(yīng)的圓頻率、波矢和偏振相同的n個(gè)光子。玻色分布給出在溫度為T的平衡狀態(tài)下n的平均值3、關(guān)于用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)處理輻射場所得結(jié)論的解釋首先從波動(dòng)觀點(diǎn)來理解普朗克公式的物理圖像。根據(jù)量子理論，一個(gè)振動(dòng)自由度(一個(gè)平面波)的能量可能值為：第七十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三從粒子觀點(diǎn)看，是平均光子數(shù)。從波動(dòng)觀點(diǎn)看，是量子數(shù)n的平均值。這樣波動(dòng)和粒子的圖像便統(tǒng)一起來了。對(duì)于的低頻自由度，其能量可看作是準(zhǔn)連續(xù)的，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)關(guān)于一個(gè)振動(dòng)自由度具有平均能量kT的結(jié)論是適用的。反之滿足的高頻自由度則被凍結(jié)在n＝0的基態(tài)（無法從熱運(yùn)動(dòng)中吸收能量）。這樣經(jīng)典統(tǒng)計(jì)研究平衡輻射問題出現(xiàn)的困難便得到解決。第七十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三1、通過維恩位移定律由輻射體的顏色定性判斷輻射體的溫度相對(duì)高低。三、應(yīng)用人眼觀測輻射體時(shí)，只能感受輻射能量密度較強(qiáng)的頻段。根據(jù)維恩位移定律，輻射體溫度與峰值頻率成正比，因此，輻射體溫度越高，峰值頻率值越大，表觀上呈藍(lán)或紫色。反之，輻射體溫度越低，峰值頻率越小，表觀上呈紅色。第七十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第七十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第七十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三光譜型恒星表面溫度恒星顏色O40000～25000K藍(lán)色星B25000～12000K藍(lán)白色星A11500～7700K白色星F7600～6100K黃白色星G6000～5000K黃色星K4900～3700K紅橙色星M3600～2600K紅色星恒星光譜分類第七十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三大爆炸宇宙學(xué)：宇宙誕生于一次大爆炸，從高溫、高密度狀態(tài)開始膨脹，溫度和密度不斷下降，最終演化為今天的宇宙。2、宇宙微波背景輻射大爆炸宇宙學(xué)的三個(gè)觀測證據(jù)：（1）一切化學(xué)元素的年齡都是有限的，都不大于150億年；（2）氦平均豐度：觀測發(fā)現(xiàn)在不同天體上，氫含量和氦含量之比近似相同，質(zhì)量之比為3：1。根據(jù)宇宙膨脹速度和熱輻射溫度的測量，計(jì)算出宇宙早期產(chǎn)生的氦豐度恰好是30%。第七十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三早期宇宙是由高溫輻射（高能光子）、夸克與基本粒子（質(zhì)子、中子、電子、中微子）組成的“羹湯”。（3）宇宙微波背景輻射；大爆炸后的宇宙逐漸冷卻，現(xiàn)在溫度為絕對(duì)溫度2.7K，宇宙微波背景輻射就是大爆炸的“余溫”，它均勻分布在整個(gè)宇宙空間中。

第七十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三本節(jié)以金屬中的自由電子氣體為例，討論強(qiáng)簡并情形下（）費(fèi)米氣體的特點(diǎn)。8.5金屬中的自由電子氣體在金屬中，一些活潑元素最外層價(jià)電子擺脫了原子核的束縛在金屬中運(yùn)動(dòng)，稱為公有電子。這些公有電子受到離子和其它電子的庫侖作用，在初步近似下可以認(rèn)為這些相互作用相互抵消，只有在金屬表面由于沒有外界離子的引力來抵消內(nèi)部離子的作用，所以電子在金屬內(nèi)部離子的吸引下而被束縛在里面。因此可以把這些公有電子看作是封閉在金屬內(nèi)部的自由粒子，稱之為自由電子氣體。自由電子氣體模型第七十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三金屬的高導(dǎo)電率和高熱導(dǎo)率說明金屬中自由電子的存在。但如果將經(jīng)典統(tǒng)計(jì)的能均分定理應(yīng)用于自由電子，一個(gè)自由電子對(duì)金屬熱容量將有的貢獻(xiàn)，這是與實(shí)際不符的。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，除在極低溫度情況外，金屬中自由電子的熱容量與離子振動(dòng)的熱容量相比較可以忽略。1928年索末菲根據(jù)費(fèi)米分布成功地解決了這個(gè)問題。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)理論在處理金屬中自由電子的熱容量時(shí)碰到的困難：第八十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三將電子質(zhì)量和其它物理常數(shù)帶入計(jì)算出：一、金屬中自由電子氣體是強(qiáng)簡并的以銅為例，在常溫下，其密度為，銅的原子量為63，假設(shè)一個(gè)銅原子貢獻(xiàn)一個(gè)自由電子，則有

說明在常溫下金屬中的自由電子形成強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體，其它金屬情況也相似。第八十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三二、溫度T=0情況下費(fèi)米系統(tǒng)的性質(zhì)考慮到電子自旋在動(dòng)量方向有兩個(gè)可能值，故在體積V內(nèi)，能量范圍內(nèi)，電子可能的微觀狀態(tài)數(shù)（習(xí)題6.1（非相對(duì)論情形）），即簡并度為：1、T=0情況下的費(fèi)米分布及費(fèi)米能級(jí)根據(jù)費(fèi)米分布，溫度為T時(shí)處在能量為的一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：第八十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三于是在體積V內(nèi)，能量范圍內(nèi)，平均電子數(shù)為：在給定電子數(shù)N、溫度Ｔ和體積V時(shí)，化學(xué)勢由下面的守恒條件確定：所以化學(xué)勢是溫度T和電子數(shù)密度n的函數(shù)。第八十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三若以表示溫度T=0K時(shí)的化學(xué)勢，由可知T＝0K時(shí)費(fèi)米氣體的分布為：在時(shí)，在的每一個(gè)量子態(tài)上平均電子數(shù)為1，在的每一個(gè)量子態(tài)上平均電子數(shù)為零。這是由于在0k時(shí)電子將盡可能占據(jù)能量最低的狀態(tài)，但泡利不相容原理限制每一個(gè)量子態(tài)最多只能容納一個(gè)電子，因此電子從狀態(tài)起依次填充到止。第八十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三是0K時(shí)電子的最大能量，稱作費(fèi)米能級(jí)。解出費(fèi)米能級(jí)定義費(fèi)米動(dòng)量定義費(fèi)米速度由T＝0K時(shí)的守恒條件定義費(fèi)米溫度第八十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三利用前面銅的數(shù)據(jù)，計(jì)算銅的費(fèi)米能級(jí)、費(fèi)米動(dòng)量、費(fèi)米速度及費(fèi)米溫度：在通常所考慮的溫度下第八十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三T＝0K時(shí)電子氣體的內(nèi)能：所以0K時(shí)電子氣體的平均內(nèi)能為0K時(shí)電子氣體的壓強(qiáng)為

電子氣體的壓強(qiáng)常稱為簡并壓強(qiáng)，這是一種與熱運(yùn)動(dòng)無關(guān)的壓強(qiáng)，為費(fèi)米系統(tǒng)所特有。第八十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

這是一個(gè)極大的數(shù)值。它是泡利不相容原理和電子氣體具有高密度的結(jié)果。這巨大的簡并壓在金屬中被電子與離子的靜電吸力所補(bǔ)償，在白矮星中則被強(qiáng)大的引力所補(bǔ)償。利用前面銅的數(shù)據(jù)，計(jì)算銅的電子氣體壓強(qiáng)：第八十八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三元素電子密度簡并條件費(fèi)米能量費(fèi)米溫度費(fèi)米壓強(qiáng)LiNaKRbCsCu6800AgAu第八十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

理想玻色氣體在絕對(duì)零度下的能量、動(dòng)量、速度、壓強(qiáng)和熵為零。

理想費(fèi)米氣體在絕對(duì)零度下的費(fèi)米能量、費(fèi)米動(dòng)量、費(fèi)米速度和費(fèi)米壓強(qiáng)均不為零，只有熵為零。2、絕對(duì)零度下理想費(fèi)米氣體和玻色氣體性質(zhì)的比較第九十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三三、溫度T>0情況下費(fèi)米系統(tǒng)的性質(zhì)1、T>0情況下費(fèi)米分布及熱容量由注意到函數(shù)按指數(shù)規(guī)律隨變化，實(shí)際上只在附近數(shù)量級(jí)為的范圍內(nèi)，電子的分布與0K時(shí)分布有差異。第九十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在絕對(duì)零度時(shí)電子占據(jù)了從０到的每一個(gè)量子態(tài)，溫度升高時(shí)由于熱激發(fā)，電子可能躍遷到能量較高的未被占據(jù)的狀態(tài)去。但是處在低能態(tài)的電子要躍遷到?jīng)]有被占據(jù)的狀態(tài)，必須吸收很大的熱運(yùn)動(dòng)能量，這是極小可能的。所以絕大多數(shù)狀態(tài)的占據(jù)情況實(shí)際上并不改變，只是在附近數(shù)量級(jí)為的能量范圍內(nèi)占據(jù)情況發(fā)生改變。這種分布的性質(zhì)可以解釋為：在的情況下，電子氣體的分布與絕對(duì)零度時(shí)的分布差異不大，與非常接近，有第九十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三可見溫度T越高，化學(xué)勢越小。第九十三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三在，即的情形下恒有因此費(fèi)米氣體的強(qiáng)簡并條件等價(jià)于

。由此可見，只有能量在

附近，數(shù)量級(jí)為范圍內(nèi)的電子對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。由此可以粗略估計(jì)電子氣體的熱容量。以

表示能量在附近范圍內(nèi)對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)的有效電子數(shù)第九十四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三將能均分定理用于有效電子，每一個(gè)有效電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為在室溫范圍，對(duì)于銅：與離子振動(dòng)的熱容量相比，電子的熱容量可以忽略不計(jì)。那么金屬中自由電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為第九十五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三2、自由電子氣體的熱容量定量計(jì)算總電子數(shù)總內(nèi)能

由此可確定出化學(xué)勢。上述積分可化為：其中第九十六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三令則第九十七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三因?yàn)榈诰攀隧?，共一百二十四頁，編輯?023年，星期三第九十九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三解出第一百頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三

由在常溫范圍電子的熱容量遠(yuǎn)小于離子振動(dòng)的熱容量，但在低溫范圍，離子振動(dòng)的熱熔量按隨溫度而減少（9.7）；電子熱容量與T成正比，減少比較緩慢。所以，在足夠低的溫度下電子熱容量將大于離子振動(dòng)的熱容量而成為對(duì)金屬熱容量的主要貢獻(xiàn)。得電子氣體的定容熱容量為第一百零一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三理論上將金屬的公有電子近似看作在金屬內(nèi)部作自由運(yùn)動(dòng)的近獨(dú)立粒子。由于離子在空間排列的周期性，離子在金屬中產(chǎn)生一個(gè)周期性勢場，實(shí)際上電子在這周期場中運(yùn)動(dòng)，離子的熱振動(dòng)對(duì)電子的運(yùn)動(dòng)也產(chǎn)生影響，電子之間又存在著庫侖相互作用。更深入的描述金屬中電子的運(yùn)動(dòng)相當(dāng)復(fù)雜。我們只對(duì)電子間庫侖作用的影響作一個(gè)粗略地介紹。

計(jì)及電子和離子振動(dòng)的熱容量，低溫下金屬的熱容量可以表示為3、計(jì)及電子和離子振動(dòng)的金屬熱容量第一百零二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第一百零三頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三為了分析電子間庫侖作用的影響，我們將金屬中的正離子用均勻的正電荷背景代替，以保持金屬的電中性。由于每一個(gè)電子都要排斥其他電子，在每一個(gè)電子周圍將出現(xiàn)等效的正電荷，對(duì)于電子產(chǎn)生屏蔽作用，使電子間的庫侖長程作用力變?yōu)槎坛痰钠帘巫饔昧?。因此可以將電子近似看作近?dú)立粒子，遵守費(fèi)米分布。不過這時(shí)所說的電子已經(jīng)不是通常意義下的裸電子，而是為正電荷云圍繞的一種準(zhǔn)粒子，簡稱準(zhǔn)電子。準(zhǔn)電子與電子存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。不過它的質(zhì)量不再是裸電子的質(zhì)量而是有效質(zhì)量。周期場和離子振動(dòng)對(duì)電子運(yùn)動(dòng)的影響也可以歸結(jié)為改變電子的質(zhì)量。與電子質(zhì)量成正比，將質(zhì)量改正為考慮上述各種影響后的有效質(zhì)量，可以解釋和的差異。第一百零四頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三宇宙中的恒星要經(jīng)歷早年期、中年期和老年期三個(gè)階段。中年期的恒星，其內(nèi)部進(jìn)行著氫聚變成氦的熱核反應(yīng)。熱核反應(yīng)所產(chǎn)生的向外輻射壓力與恒星向內(nèi)的引力相抗衡，使恒星處于一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的階段，比如今天的太陽就處在這樣一個(gè)時(shí)期，但是這種穩(wěn)定只是相對(duì)的，一旦核聚變結(jié)束，那么恒星便開始衰亡。8.6白矮星、中子星和黑洞

恒星演化晚期因能源耗盡而引力坍縮從而形成高密度天體，主要有白矮星、中子星和黑洞三類。一、恒星演化的一般規(guī)律第一百零五頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三第一百零六頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三大質(zhì)量恒星的一生第一百零七頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三小質(zhì)量恒星的一生第一百零八頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三由于恒星核心的溫度要比外層高得多，核心的氫首先燃燒完形成氦的核心，氦核不斷擴(kuò)大，當(dāng)質(zhì)量擴(kuò)大到整個(gè)恒星質(zhì)量的10%～15%時(shí)，靠氫聚變成氦所產(chǎn)生的輻射壓力已抵擋不住引力，于是氦核在引力作用下開始塌縮，形成高密度的致密星體，星體的不同質(zhì)量范圍將形成白矮星、中子星和黑洞。它們是恒星演化末期的不同結(jié)局。第一百零九頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三下面是白矮星的一組典型數(shù)據(jù)質(zhì)量：二、白矮星在巨大的引力作用下，恒星密度急劇上升，溫度很高，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于氦原子電離所需要的能量，因此實(shí)際上全部氦是以完全電離的狀態(tài)存在的，由于密度極高，電子氣體的費(fèi)米能量非常大：第一百一十頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三將白矮星看作是含有N個(gè)電子和N/2個(gè)氦核的系統(tǒng)。以表示電子的質(zhì)量，表示質(zhì)子（中子）的質(zhì)量，白矮星的質(zhì)量為電子的密度電子的費(fèi)米能量電子的費(fèi)米溫度第一百一十一頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三由于電子的費(fèi)米溫度遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于白矮星的溫度。因此白矮星上的電子氣體是高度簡并的，可以近似看作處在絕對(duì)零度的理想費(fèi)米氣體。白矮星的力學(xué)模型

白矮星的質(zhì)量和維系星體的引力主要來自氦核。在氦核的背景上存在高度簡并的電子氣體，白矮星的存在是電子氣體的簡并壓和引力達(dá)到平衡的結(jié)果。忽略氦核產(chǎn)生的壓強(qiáng)和星體輻射的能量損失，我們分別討論非相對(duì)論情形和相對(duì)論情形。第一百一十二頁，共一百二十四頁，編輯于2023年，星期三如果把白矮星上的電子氣體看作非相對(duì)論性的，則電子氣體的簡并壓為：極端相對(duì)論情形下電子氣