演示文稿斯托克斯公式當(dāng)前第1頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)（優(yōu)選）斯托克斯公式當(dāng)前第2頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)一、斯托克斯公式有向曲面的正向邊界曲線：的正向與的側(cè)符合右手法則，如圖.

是有向曲面的正向邊界曲線右手法則當(dāng)前第3頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)設(shè)Σ是光滑或分片光滑的有向曲面,如果函數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則或定理10.8斯托克斯公式當(dāng)前第4頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

將斯托克斯公式分為三式首先證明第一式.證明思路:第二類曲面積分第一類曲面積分二重積分第二類曲線積分第二類曲面積分當(dāng)前第5頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)證方向?yàn)樯蟼?cè)與平行z

軸的直線只交于一點(diǎn),

當(dāng)前第6頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第7頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)注當(dāng)前第8頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)同理可證其余二式:三式相加可得當(dāng)前第9頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)(2)曲面與平行z軸的直線交點(diǎn)多于一個(gè),則可通過(guò)作輔助線面把分成與z軸只交在每一部分上應(yīng)用斯托克由于沿輔助曲線方向相所以對(duì)這類曲面斯托克斯公式仍成立.于一點(diǎn)的幾部分,然后相加,斯公式,反的兩個(gè)曲線積分相加剛好抵消,當(dāng)前第10頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)注

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.1o斯托克斯公式的實(shí)質(zhì):2o斯托克斯公式便于記憶的形式:或coscoscosdS當(dāng)前第11頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)3o斯托克斯公式是格林公式的推廣斯托克斯公式格林公式特殊情形是xOy面上的有向閉區(qū)域時(shí)xyzO=L當(dāng)前第12頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)xyzO=LD當(dāng)前第13頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)這正是格林公式.4°何時(shí)采用斯托克斯公式？的積分曲線的參數(shù)方程不易寫出，或用直接法計(jì)算較繁時(shí)，可考慮用斯托克斯公式.當(dāng)前第14頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)

在斯托克斯公式中，是以為邊界的任意分片光滑曲面(只要P，Q，R在包含的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)即可).5o如何選??？

通常，取為平面或球面等法向量的方向余弦易求的曲面.當(dāng)前第15頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)利用斯托克斯公式計(jì)算例1其中為平面x+y+z=1

被三坐標(biāo)面所截三角形的整個(gè)邊界,

它的正方向與這個(gè)三角形上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則.記三角形域?yàn)?取上側(cè),解當(dāng)前第16頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)利用輪換對(duì)稱性當(dāng)前第17頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)利用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分例2解當(dāng)前第18頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第19頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第20頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)為柱面與平面y=z

的交線從z

軸正向看為順時(shí)針,計(jì)算解(方法1)

則其法線方向余弦例3設(shè)為平面z=y

上被所圍橢圓域且取下側(cè),當(dāng)前第21頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)(方法2)將：參數(shù)化：當(dāng)前第22頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第23頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)二、環(huán)量與旋度定義向量場(chǎng)稱為注改變?chǔ)５沫h(huán)行方向時(shí),環(huán)量要變號(hào).1.環(huán)量當(dāng)前第24頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)為定義當(dāng)函數(shù)一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時(shí),稱向量2.旋度由哈密爾頓算符的定義當(dāng)前第25頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)注3o

利用旋度,可將斯托克斯公式寫為4o

斯托克斯公式的物理解釋:等于向量1o2o當(dāng)前第26頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)設(shè)某剛體繞定軸l轉(zhuǎn)動(dòng),M為剛體上任一點(diǎn),建立坐標(biāo)系如圖,則角速度為,點(diǎn)M

的線速度為5o旋度的力學(xué)意義當(dāng)前第27頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)線速度場(chǎng)中任一點(diǎn)處的旋度等于剛體旋轉(zhuǎn)角速度的2倍，這就是“旋度”一詞的由來(lái).除去一個(gè)常數(shù)因子2外，恰好等于物體旋轉(zhuǎn)的角速度.當(dāng)前第28頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn).M根據(jù)斯托克斯公式和積分中值定理當(dāng)前第29頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn).M當(dāng)前第30頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)稱環(huán)量對(duì)面積的變化率向量場(chǎng)的旋度是一個(gè)向量,此向量的方向是使方向旋量取最大值的方向,此方向的模是該點(diǎn)處最大方向旋量的值.當(dāng)前第31頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)三、空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)定理10.9

設(shè)空間閉區(qū)域G是一個(gè)一維單連通域,

要條件是即★G內(nèi)的任一閉曲線總可張一片完全含于G內(nèi)的曲面當(dāng)前第32頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)注當(dāng)成立時(shí)或用定積分表示為當(dāng)前第33頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第34頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例4與路徑無(wú)關(guān),并求函數(shù)解

令驗(yàn)證曲線積分積分與路徑無(wú)關(guān),因此選擇特殊路徑當(dāng)前第35頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第36頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)例5求電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度.解

(除原點(diǎn)外)這說(shuō)明,在除點(diǎn)電荷所在原點(diǎn)外,整個(gè)電場(chǎng)無(wú)旋.當(dāng)前第37頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)保守場(chǎng)：而與從A

到B

的路徑無(wú)關(guān).當(dāng)前第38頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)內(nèi)容小結(jié)1.斯托克斯公式當(dāng)前第39頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第40頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)4.向量即當(dāng)前第41頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)本章小結(jié)

梯度:散度:旋度:則1.場(chǎng)論中的三個(gè)重要概念當(dāng)前第42頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)場(chǎng)論中的三個(gè)重要定理（1）格林公式（2）斯托克斯公式（3）高斯公式當(dāng)前第43頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖當(dāng)前第44頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)當(dāng)前第45頁(yè)\共有50頁(yè)\編于星期二\10點(diǎn)備用題

例1-1

相交的圓弧連接而成的閉曲線.解Γ在球面上，所以從x軸正