2022年廣東省東莞市大朗中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.復(fù)數(shù)z=，則=（）A．i B．1+i C．﹣i D．1﹣i參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，則可求．【解答】解：z==，則=i．故選：A．2.已知點(diǎn)是平面區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)的最小值為，若恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．

C． D．參考答案：時(shí)，如圖2，顯然符合題意；時(shí)，如圖3，顯然符合題意.3.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率是（

）A.

B.

C.

D.2參考答案：D4.如圖所示，在中，，在線段（不在端點(diǎn)處）上，設(shè)，，，則的最小值為A.

B.9

C.

9

D.參考答案：D略5.函數(shù)有零點(diǎn)的區(qū)間是()A．

B．

C．

D．參考答案：D6.若實(shí)數(shù)，滿足不等式組，則的最大值是（

▲

）A.10

B.11

C.14

D.15參考答案：B略7.設(shè)集合A={x|＜x＜3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}，則A∩B=（）A．{x|＜x＜2} B．{x|﹣1＜x＜3} C．{x|＜x＜1} D．{x|1＜x＜2}參考答案：A【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；綜合法；集合．【分析】求出集合B，從而求出其和A的交集即可．【解答】解：∵集合A={x|＜x＜3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，則A∩B={x|＜x＜2}，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算，考查解不等式問題，是一道基礎(chǔ)題．8.過平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記，則當(dāng)最小時(shí)的值為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C9.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，則公比q=（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：B【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，兩式相減得3a3=a4﹣a3，由此能求出公比q=4．【解答】解：∵Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，3S3=a4﹣2，3S2=a3﹣2，兩式相減得3a3=a4﹣a3，a4=4a3，∴公比q=4．故選：B．10.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊4次,至少擊中3次的概率：先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù):7527

0293

7140

9857

0347

4373

8636

6947

1417

4698

0371

6233

2616

8045

6011

3661

9597

7424

7610

4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率；列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率．K2K4D

解析：由題意知模擬射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示射擊4次至少擊中3次的有：752702939857034743738636964746986233261680453661959774244281，共15組隨機(jī)數(shù)，∴所求概率為0.75．故選：D．【思路點(diǎn)撥】由題意知模擬射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)，在20組隨機(jī)數(shù)中表示種射擊4次至少擊中3次的有多少組，可以通過列舉得到共多少組隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一人口袋里裝有大小相同的個(gè)小球，其中紅色、黃色、綠色的球各個(gè)。如果任意取出個(gè)小球，那么其中恰有個(gè)小球同顏色的概率是__________（用分?jǐn)?shù)表示）。參考答案：12.已知向量，滿足，，，則向量與向量的夾角為

．參考答案：略13.如圖，在△ABC中，B=，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2，且DA=DC，AC=2，則∠DCA=參考答案：【分析】設(shè)∠DCA=θ，DC=x，根據(jù)余弦定理和正弦定理可得cos2θ（2sin2θ﹣1）=0，再解得即可【解答】解：設(shè)∠DCA=θ，DC=x，在△ADC中，由余弦定理可得AC2=x2+x2﹣2x2cos（2π﹣2θ），即4=x2（1+cos2θ），∴x2=在△BCD中，∠DCA=π﹣B﹣∠BDC=﹣2θ，由正弦定理可得=，即x==，∴x2=，∴=，∴1+cos2θ=1+2sin2θcos2θ，∴cos2θ（2sin2θ﹣1）=0，∴cos2θ=0或2sin2θ﹣1=0，解得2θ=或2θ=或2θ=∴θ=或θ=或θ=，故答案為：或或14.已知三角形所在平面與矩形所在平面互相垂直，，，若點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積等于_______.參考答案：略15.已知集合，，集合，則集合的子集共有

個(gè)．參考答案：416.（x2+x+2）5的展開式中，x7的系數(shù)為． 參考答案：50【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)（1+x+x2）5的展開式的含x7的項(xiàng)由兩類構(gòu)成，然后求出各類的含x7的項(xiàng)，再將各個(gè)項(xiàng)加起來，即可得到所求的項(xiàng)的系數(shù)． 【解答】解：：（1+x+2x2）5的展開式的含x7的項(xiàng)由5個(gè)括號(hào)中的兩個(gè)括號(hào)出x2，三個(gè)括號(hào)出x， 或三個(gè)括號(hào)出x2，一個(gè)括號(hào)出x，一個(gè)括號(hào)出2， 故含x7的項(xiàng)是C52（x2）2x3+C53（x2）3C21x2=10x7+40x7=50x7， 故含x7的項(xiàng)的系數(shù)是50， 故答案為：50． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題． 17.某所學(xué)校計(jì)劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件則該校招聘的教師人數(shù)最多是

名.參考答案：10；三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.有甲、乙兩個(gè)桔柚（球形水果）種植基地，已知所有采摘的桔柚的直徑都在[59,101]范圍內(nèi)（單位：毫米，以下同），按規(guī)定直徑在[71,89)內(nèi)為優(yōu)質(zhì)品，現(xiàn)從甲、乙兩基地所采摘的桔柚中各隨機(jī)抽取500個(gè)，測(cè)量這些桔柚的直徑，所得數(shù)據(jù)整理如下：直徑分組[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]甲基地頻數(shù)1030120175125355乙基地頻數(shù)5351151651106010

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面2×2列聯(lián)表，并回答是否有95%以上的把握認(rèn)為“桔柚直徑與所在基地有關(guān)”？

甲基地乙基地合計(jì)優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

合計(jì)

（2）求優(yōu)質(zhì)品率較高的基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)：（3）經(jīng)計(jì)算，甲基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本方差，乙基地的500個(gè)桔柚直徑的樣本方差，，并且可認(rèn)為優(yōu)質(zhì)品率較高的基地采摘的桔柚直徑服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.由優(yōu)質(zhì)品率較高的種植基地的抽樣數(shù)據(jù)，估計(jì)該基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78亳米的桔柚在總體中所占的比例.附：，.P(K2≥k0)0.100.050.0100.0050.001k02.7063.8416.6357.87910.828

若，則.，.參考答案：（Ⅰ）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表如下：

甲基地乙基地合計(jì)優(yōu)質(zhì)品420390810非優(yōu)質(zhì)品80110190合計(jì)5005001000

，所以,有95%的把握認(rèn)為：“兩個(gè)基地采摘的水果直徑有差異”．（Ⅱ）甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率為，所以，甲基地水果的優(yōu)質(zhì)品率較高，甲基地的500個(gè)桔柚直

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，甲基地的桔柚直徑，所以，估計(jì)甲基地采摘的桔柚中，直徑不低于86.78毫米的桔柚在總體中所占的比例大約為.19.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，過點(diǎn)與垂直的直線交軸負(fù)半軸于點(diǎn)，且，過三點(diǎn)的圓的半徑為2，過定點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（在之間）（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的斜率，在軸上是否存在點(diǎn)，使得以為鄰邊的平行四邊形為菱形？如果存在，求出的取值范圍？如果不存在，請(qǐng)說明理由．

參考答案：解（1），是的中點(diǎn)，，，過三點(diǎn)的圓的圓心為，半徑為，，

......4分（2）設(shè)直線的方程為

......6分，由于菱形對(duì)角線垂直，則，解得，

......9分即，，

......11分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立

......12分略20.已知函數(shù)

（Ⅰ）若且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅱ）如果當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；參考答案：解（Ⅰ）因?yàn)?，x0，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值；……….4分因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，所以

解得；……….6分（Ⅱ）不等式，又，則

，,則；……….9分

令，則，，在上單調(diào)遞增，，從而，故在上也單調(diào)遞增，所以，所以.

；……….14分21.（本題12分）用數(shù)學(xué)歸納法證明：時(shí)，參考答案：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，左邊=右邊，所以等式成立。②假設(shè)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，等式也成立。由①，②可知，對(duì)一切等式都成立。22.已知數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，，，且對(duì)任意恒成立，記{an}的前n項(xiàng)和為Sn.（1）若，求的值；（2）證明：對(duì)任意正實(shí)數(shù)p，成等比數(shù)列；（3）是否存在正實(shí)數(shù)t，使得數(shù)列為等比數(shù)