（優(yōu)選）線性代數(shù)與解析幾何曲面及其方程當(dāng)前第1頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)觀察柱面的形成過程:定義

在空間中，由平行于定直線并沿定曲線移動(dòng)的一族直線所形成的曲面稱為柱面。這條定曲線叫柱面的準(zhǔn)線，動(dòng)直線叫柱面的母線.母線準(zhǔn)線2、柱面及其方程當(dāng)前第2頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)且有從(2)(3)中消去x1,y1,z1得F(x,y,z)=0這就是以(1)為準(zhǔn)線，母線的方向數(shù)為X,Y,Z的柱面的方程.如果M1(x1,y1,z1)為準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則過點(diǎn)M1的母線方程為設(shè)柱面的準(zhǔn)線為準(zhǔn)線母線MM1母線的方向數(shù)為X,Y,Z.試建立這柱面的方程.當(dāng)前第3頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例1

柱面的準(zhǔn)線方程為而母線的方向數(shù)為-1，0，1，求這柱面的方程.解：設(shè)M1(x1，y1，z1)是準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，那么過M1(x1,y1,z1)的母線為且當(dāng)前第4頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)所以令(4)=t,得將(7)代(5)、(6)得由(8)、(9)得當(dāng)前第5頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程.1方程F(x,y)=0表示:2方程F(x,z)=0表示:3方程F(y,z)=0表示:母線平行于

z軸的柱面,準(zhǔn)線為xoy面上的曲線C:F(x,y)=0.母線平行于

y軸的柱面,準(zhǔn)線為xoz面上的曲線C:F(x,z)=0.母線平行于x軸的柱面,準(zhǔn)線為yoz面上的曲線C:F(y,z)=0.當(dāng)前第6頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)abzxyo橢圓柱面當(dāng)前第7頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)yxz=0zo

雙曲柱面當(dāng)前第8頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)zxyo拋物柱面當(dāng)前第9頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)3.

旋轉(zhuǎn)面及其方程lC當(dāng)前第10頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn).Sl定義在空間，一條曲線

C繞著定直線l旋轉(zhuǎn)一周所生成的曲面

S稱為旋轉(zhuǎn)面（或回轉(zhuǎn)曲面）

C稱為旋轉(zhuǎn)面的母線，

l稱為旋轉(zhuǎn)面的旋轉(zhuǎn)軸.

3.

旋轉(zhuǎn)面及其方程C當(dāng)前第11頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)生活中見過旋轉(zhuǎn)曲面嗎？當(dāng)前第12頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)當(dāng)前第13頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)緯圓Ⅱ以旋轉(zhuǎn)軸l為邊界的半平面與旋轉(zhuǎn)面的交線稱為旋轉(zhuǎn)面的經(jīng)線.說明：ⅰ緯圓也可看作垂直于旋轉(zhuǎn)軸l

的平面與旋轉(zhuǎn)面的交線S旋轉(zhuǎn)曲面的有關(guān)概念Ⅰ母線上任意一點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)軸l旋轉(zhuǎn)的軌跡是一個(gè)圓，稱為旋轉(zhuǎn)面的緯圓或緯線。ⅱ任一經(jīng)線都可以作為母線，但母線不一定是經(jīng)線。經(jīng)線和母線一樣嗎？lM經(jīng)線滿足什么條件母線就是經(jīng)線？旋轉(zhuǎn)曲面也可看作經(jīng)線繞軸旋轉(zhuǎn)生成C當(dāng)前第14頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)旋轉(zhuǎn)曲面的方程（直角坐標(biāo)系）設(shè)旋轉(zhuǎn)曲面的母線1旋轉(zhuǎn)曲面的一般方程旋轉(zhuǎn)軸為直線分析：lM1S旋轉(zhuǎn)曲面又可看作以軸l

為連心線的一族緯圓生成的曲面當(dāng)M1遍歷整個(gè)母線Γ

時(shí)，得出旋轉(zhuǎn)曲面的所有緯圓，這些緯圓生成旋轉(zhuǎn)曲面.

當(dāng)前第15頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)注：ⅰ寫出這母線上任意一點(diǎn)的緯圓方程，ⅱ寫出參數(shù)的約束條件，ⅲ消去參數(shù)得到所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程（或柱面、錐面的方程）。lM1S當(dāng)前第16頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例

求直線繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面的方程。母線不是經(jīng)線注：為方便，今后將取旋轉(zhuǎn)曲面的某一條經(jīng)線作為它的母線.單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面當(dāng)前第17頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)解（兩直線為異面直線），設(shè)M1(x1,y1,z1)是母線L1上的任意點(diǎn)，因?yàn)樾D(zhuǎn)軸L2通過原點(diǎn)，所以過M1的緯圓方程是：又由于M1在母線上，所以又有：即x1=2y1,z1=1,消去x1,y1,z1得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程：2(x2+y2+z2)-5(xy+yz+zx)+5(x+y+z)-7=0.當(dāng)前第18頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)母線在坐標(biāo)面而旋轉(zhuǎn)軸為坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)曲面：

已知yoz面上一條曲線C

,方程為F(y,z)=0,x=0,曲線C

繞

z

軸

旋轉(zhuǎn)一周就得一個(gè)旋轉(zhuǎn)曲面.設(shè)M1(0,y1`,z1)是C

上任意一點(diǎn),則有F(y1,z1)=0當(dāng)

C繞z軸旋轉(zhuǎn)而M1隨之轉(zhuǎn)到M(x,y,z)時(shí),有且F(y1,z1)=0.

當(dāng)前第19頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面的方程:思考題：xoy面上的一條曲線C，F(xiàn)(x,y)=0,z=0分別繞x軸及y軸旋轉(zhuǎn)得旋轉(zhuǎn)曲面的方程各為什么？當(dāng)前第20頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)規(guī)律：當(dāng)坐標(biāo)平面上的曲線C繞此坐標(biāo)平面的一個(gè)坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)時(shí)，要求該旋轉(zhuǎn)曲面的方程，只要將曲線C在坐標(biāo)面里的方程保留和旋轉(zhuǎn)軸同名的坐標(biāo)，而以其它兩個(gè)坐標(biāo)平方和的平方根來代替方程中的另一坐標(biāo)。當(dāng)前第21頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)解

:應(yīng)該先建立母線的方程圓錐面方程例：直線L繞另一條與L相交的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得旋轉(zhuǎn)曲面叫圓錐面．兩直線的交點(diǎn)叫圓錐面的頂點(diǎn)，兩直線的夾角叫圓錐面的半頂角．試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為z軸，半頂角為的圓錐面方程．當(dāng)前第22頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面zxyzxy例2：將橢圓

分別繞長軸（即x軸）與短軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。當(dāng)前第23頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

xyoz

xoz叫做旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面y例3:(1)將雙曲線

當(dāng)前第24頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)axzoz.xy當(dāng)前第25頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

（2）將曲線

叫做旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面yzoxyzox繞實(shí)軸（即y軸）旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為當(dāng)前第26頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)旋轉(zhuǎn)拋物面xyzox例4：將拋物線繞它的對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面方程為yzo當(dāng)前第27頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例5、將圓繞Z軸旋轉(zhuǎn)，求所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程。解：所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為：即：(x2+y2+z2+b2-a2)2=4b2(x2+y2)該曲面稱為圓環(huán)面.當(dāng)前第28頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)zyoab繞z軸旋轉(zhuǎn)所成曲面將圓當(dāng)前第29頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)xzyo.當(dāng)前第30頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)x.生活中見過這個(gè)曲面嗎？zyo..當(dāng)前第31頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)救生圈.當(dāng)前第32頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

準(zhǔn)線母線頂點(diǎn)

x0z

y錐面及其方程定義

在空間，通過一定點(diǎn)且與定曲線相交的一族直線所產(chǎn)生的曲面稱為錐面，這些直線都稱為錐面的母線，定點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，定曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。母線A錐面的準(zhǔn)線不唯一，和一切母線都相交的每一條曲線都可以作為它的準(zhǔn)線.當(dāng)前第33頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)設(shè)錐面的準(zhǔn)線為設(shè)點(diǎn)M1(x1,y1,z1)為錐面準(zhǔn)線上任一點(diǎn)，則錐面過點(diǎn)M1的母線為：頂點(diǎn)為A(x0,y0,z0)，試建立錐面的方程.且有F1(x1,y1,z1)=0,F2(x1,y1,z1)=0消去參數(shù)x1,y1,z1得三元方程F(x,y,z)=0準(zhǔn)線母線母線x0z

yMM1A當(dāng)前第34頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例1、求頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線為的錐面的方程。答：（二次錐面）同理分別表示錐面。當(dāng)前第35頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)解：

設(shè)M(x,y,z)為任一母線上的點(diǎn)，那么過M點(diǎn)的母線的方向向量為軸線的方向向量為根據(jù)題意有M得例2：已知圓錐面的頂點(diǎn)A(1,2,3),軸垂直于平面母線與軸組成300角,試求這圓錐面的方程.A當(dāng)前第36頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)空間曲線及其方程設(shè)空間曲線L的一般方程消去一個(gè)變量后得方程任取其中的兩個(gè)聯(lián)立，如它也表示同一條曲線L.當(dāng)前第37頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)以曲線L為準(zhǔn)線,母線平行于z

軸(即垂直xOy面)的柱面叫做曲線L關(guān)于xOy面的投影柱面,投影柱面與xOy面的交線叫做空間曲線在xOy面上的投影曲線,或簡(jiǎn)稱投影.

所以方程組 所表示的曲線叫做空間曲線L在xOy面上的投影.注:同理可得曲線在yOz面或xOz面上的投影曲線方程.當(dāng)前第38頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)Lyz

x0例如從分別消去y及z，得當(dāng)前第39頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)由空間曲線

C的方程消去

z后得到(母線平行

z軸的柱面).例當(dāng)前第40頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)解在

xOy面上的投影為例求曲線在

xOy面上的投影.當(dāng)前第41頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例設(shè)一個(gè)立體由上半球面 和錐面所圍成,求它在xoy面上的投影.解:

半球面與錐面的交線為由方程消去z,得x2+y2=1yxzOx2+y21這是一個(gè)母線平行于z軸的圓柱面.于是交線C

在xoy面上的投影曲線為這是xoy面上的一個(gè)圓.所以,所求立體在xoy面上的投影為:x2+y21當(dāng)前第42頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)空間曲線

C的參數(shù)方程例曲線C的參數(shù)方程為空間曲線的參數(shù)方程當(dāng)前第43頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例

圓柱螺線

當(dāng)前第44頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)§6.4

二次曲面

1、橢球面2、二次曲面3、單葉雙曲面4、雙葉雙曲面5、橢圓拋物面6、雙曲拋物面7、二次方程的化簡(jiǎn)

當(dāng)前第45頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)二次曲面的定義：三元二次方程討論二次曲面性狀的平面截痕法：

1、對(duì)稱性，2、曲面的范圍，3、主截線，即用坐標(biāo)面截曲面的截線，4、平行截線，即和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截的截線，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．以下用截痕法討論幾種特殊的二次曲面．所表示的曲面稱之為二次曲面．a(chǎn)x2+by2+cz2+dxy+exz+

fyz+gx+hy+iz+j=0當(dāng)前第46頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)橢球面定義在直角坐標(biāo)系下，由方程所表示的曲面叫做橢球面，其中a,b,c都為任意的正常數(shù)。方程叫做橢球面的標(biāo)準(zhǔn)方程.1、對(duì)稱性曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸，原點(diǎn)對(duì)稱。頂點(diǎn)（±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)xzyO當(dāng)前第47頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

3、主截線

用平面z=0,y=0,x=0分別去截割橢球面,得橢圓，它們的方程分別為

由方程可知x2≤a2,y2≤b2,z2≤c2,|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c,也就是曲面在由六個(gè)平面x=±a,y=±b,z=±c組成的長方體內(nèi)。2、范圍

Oxyz當(dāng)前第48頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)zoxyO

用平面z=h去截割(要求|h

|c),得橢圓當(dāng)|h

|＜

c

時(shí),|h|越大,橢圓越小;4、平行截線

頂點(diǎn)在橢圓(2)上，當(dāng)前第49頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)zoxyO

用平面z=h去截割(要求|h

|c),得橢圓當(dāng)|h

|＜

c

時(shí),|h|越大,橢圓越小;當(dāng)|h

|=c時(shí),橢圓退縮成點(diǎn).4、平行截線

頂點(diǎn)在橢圓（3）上，當(dāng)前第50頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)特別:當(dāng)a=b=c時(shí),方程x2+y2+z2=a2,表示球心在原點(diǎn)o,半徑為a的球面.當(dāng)a=b≠c時(shí)，或a=c≠b,或a≠b=c時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面.橢球面的參數(shù)方程球面的參數(shù)方程當(dāng)前第51頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例：已知橢球面試求過x軸并與曲面的交線是圓的平面。解：圓的方程為圓的方程為（1）與（2）等價(jià)，得所求平面的方程為當(dāng)前第52頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)所表示的曲面叫做單葉雙曲面，其中a,b,c都為正常數(shù)，叫做單葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程。單葉雙曲面定義在直角坐標(biāo)系下，由方程（1）對(duì)稱性曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸，原點(diǎn)對(duì)稱。頂點(diǎn)（±a,0,0）與（0,±b,0)oxyz當(dāng)前第53頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

xyoz(2)主截線用三個(gè)坐標(biāo)平面z=0，y=0，x=0分別截曲面的交線方程分別為當(dāng)前第54頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

用一組平行平面（h為任意實(shí)數(shù)）

與曲面相交

，其交線為橢圓.(3)平行截線頂點(diǎn)與

xyoz在（2）上，在（3）上，當(dāng)前第55頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)實(shí)軸與x軸平行,虛軸與z

軸平行，頂點(diǎn)在腰橢圓（1）上。實(shí)軸與z

軸平行,虛軸與

x

軸平行，頂點(diǎn)在雙曲線（3）上.

xyoz用平行于xoz面的平面y=h截割單葉雙曲面,其截線方程為：當(dāng)|h|≠b時(shí)表示雙曲線當(dāng)前第56頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)的直線.同理用平行于yoz面的平面x=h截曲面其截線與（3）中的b類似。

xyoz截痕為一對(duì)相交于點(diǎn)z的直線當(dāng)前第57頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)單葉雙曲面圖形在工業(yè)生產(chǎn)中的應(yīng)用是什么？當(dāng)a=b時(shí)，方程方程與各表示什么圖形？表示旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。當(dāng)前第58頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)所表示的曲面叫做雙葉雙曲面，雙葉雙曲面定義：在直角坐標(biāo)系下，由方程其中a,b,c都為正常數(shù)，叫做雙葉雙曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)對(duì)稱性曲面關(guān)于三坐標(biāo)面，三坐標(biāo)軸，原點(diǎn)對(duì)稱.頂點(diǎn)（0,0,±c）(2)主截線用兩個(gè)坐標(biāo)平面y=0，x=0分別截曲面的交線方程分別為xyzo當(dāng)前第59頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)與都表示雙曲線.xyo(3)平行截線a、用平面z=h(|h|＞c)來截曲面，其截線方程為表示橢圓，頂點(diǎn)在（6）上，在（7）上.當(dāng)前第60頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

xyob、用平行于xoz面的平面y=h(h≠0）時(shí)，其截線為雙曲線,方程為:方程與都表示雙葉雙曲面。實(shí)軸與z軸平行，虛軸與x軸平行，頂點(diǎn)在（6）上橢球面，單葉雙曲面，雙葉雙曲面它們的方程可以統(tǒng)一嗎？z當(dāng)前第61頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)例：用一組平行平面z=h(h為任意實(shí)數(shù)），截割單葉雙曲面得一族橢圓，求這些橢圓焦點(diǎn)的軌跡方程.解：這一族橢圓的方程為即當(dāng)前第62頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)因a>b,從而橢圓焦點(diǎn)軌跡方程為消去參數(shù)得當(dāng)前第63頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)

單葉：雙葉：...yx

zo

在平面上，雙曲線有漸近線。相仿，單葉雙曲面和雙葉雙曲面有漸近錐面。用z=h去截它們，當(dāng)|h|無限增大時(shí)，雙曲面的截口橢圓與它的漸近錐面的截口橢圓任意接近，即：雙曲面和錐面任意接近。漸進(jìn)錐面：雙曲面及其漸近錐面當(dāng)前第64頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)表示的曲面叫做橢圓拋物面，其中a,b

都為任意正常數(shù),為橢圓拋物面的標(biāo)準(zhǔn)方程.原點(diǎn)也叫橢圓拋物面的頂點(diǎn).橢圓拋物面定義

在直角坐標(biāo)系下，由方程(1)對(duì)稱性曲面關(guān)于xoz,yoz坐標(biāo)面，z軸對(duì)稱.（2）主截線用坐標(biāo)面y=0及x=0截曲面，其截線方程分別為zxyo當(dāng)前第65頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)xyzo（3）平行截線a、用平面z=h(h>0)來截曲面，其截線總是橢圓頂點(diǎn)在（1）上，在（2）上，當(dāng)前第66頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)b、用平行于xoz面的平面截割橢圓拋物面得交線為拋物線.它的軸平行于z

軸

xyzo頂點(diǎn)在主拋物線(2)上.當(dāng)前第67頁\共有76頁\編于星期二\12點(diǎn)xyzo（4）與（1）全等.c、用