高三數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí)高三數(shù)學(xué)專題總復(fù)習(xí)高考數(shù)學(xué)

復(fù)習(xí)專題專題一會合、邏輯與不等式會合看法及其基本理論，是近代數(shù)學(xué)最基本的內(nèi)容之一，會合的語言、思想、看法浸透于中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個分支．有關(guān)簡略邏輯的知識與原理一直貫串于數(shù)學(xué)的剖析、推理與計算之中，學(xué)習(xí)對于邏輯的有關(guān)知識，能夠使我們對數(shù)學(xué)的有關(guān)看法理解更透辟，表達(dá)更準(zhǔn)確．不等式是高中數(shù)學(xué)的重點內(nèi)容之一，是工具性很強(qiáng)的一部分內(nèi)容，解不等式、不等式的性質(zhì)等都有很重要的應(yīng)用．關(guān)注本專題內(nèi)容在其余各專題中的應(yīng)用是學(xué)習(xí)這一專題內(nèi)容時要注意的．§－集合【知識重點】．會合中的元素?fù)碛写_立性、互異性、無序性．．會合常用的兩種表示方法：列舉法和描繪法，此外還有大寫字母表示法，圖示法韋恩圖，一些數(shù)集也能夠用區(qū)間的形式表示．．兩類不一樣的關(guān)系：附屬關(guān)系——元素與會合間的關(guān)系；包含關(guān)系——兩個會合間的關(guān)系相等是包含關(guān)系的特別情況．．會合的三種運算：交集、并集、補(bǔ)集．【復(fù)習(xí)要求】．對于給定的會合能認(rèn)識它表示什么會合．在中學(xué)常有的會合有兩類：數(shù)集和點集．．能正確劃分和表示元素與會合，會合與會合兩類不一樣的關(guān)系．

．掌握會合的交、并、補(bǔ)運算．能使用韋恩圖表達(dá)會合的關(guān)系及運算．．把會合作為工具正確地表示函數(shù)的定義域、值域、方程與不等式的解集等．【例題剖析】例給出以下六個關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\z￡ -, ；金.... ￡,此中正確的關(guān)系是 ^解答：【評析】?熟習(xí)會合的常用符號：不含任何元素的會合叫做空集，記作一；表示自然數(shù)集；+或表示正整數(shù)集；表示整數(shù)集;表示有理數(shù)集；表示實數(shù)集..明確元素與會合的關(guān)系及符號表示：假如是會合的元素，記作：￡；假如不是會合的元素，記作：...明確會合與會合的關(guān)系及符號表示：假如會合 中隨意一個元素都是會合 的元素那么會合叫做會合的子集.記作：假如會合是會合那么，會合叫做會合的子集，且的真子集.中起碼有一個元素不屬于，元素都是會合 的元素那么會合叫做會合的子集.記作：假如會合是會合那么，會合叫做會合的子集，且的真子集.中起碼有一個元素不屬于，.子集的性質(zhì):①任何會合都是它自己的子集:

②空集是任何會合的子集：「；提示：空集是任何非空會合的真子集.③傳達(dá)性：假如 一， , 則.；假如例已知全集③傳達(dá)性：假如 一， , 則.；假如例已知全集小于的正整數(shù)，其子集知足條件解：依據(jù)已知條件，獲得如圖，n--求會合，所示的韋恩圖于是，韋恩圖中的暗影部分應(yīng)填數(shù)字 ，，.【評析】、明確會合之間的運算對于兩個給定的會合、，由既屬于又屬于的全部元素構(gòu)對于兩個給定的會合、，由既屬于又屬于的全部元素構(gòu)成的會合叫做、的交集.記作：n?對于兩個給定的會合 、，把它們?nèi)康脑夭⒃谝煌M成的會合叫做、的并集.記作：u?假如會合是全集的一個子集，由中不屬于的全部元素組成的會合叫做在中的補(bǔ)集.記作i?、會合的交、并、補(bǔ)運算事實上是較為復(fù)雜的“且”、“或”、“非”的邏輯關(guān)系運算，而韋恩圖能夠?qū)⑦@種復(fù)雜的邏輯關(guān)系直觀化，是解決會合運算問題的一個很好的工具，要習(xí)慣使用它解決問題，要存心識的利用它解決問題.例 設(shè)會合=I—<<,=I<.若n?=,

則實數(shù)的取值范圍是答：一8，一.【評析】本題能夠經(jīng)過數(shù)軸進(jìn)行剖析，要特別注意當(dāng)變化時是否能夠取到區(qū)間端點的值.象韋恩圖相同，數(shù)軸相同是解決會合運算問題的一個特別好的工具.例設(shè)，￡,會合 ，則一= .= 【剖析】因為 ，所以+=或=舍去，十 二——不然—沒存心義，所以，+=,_=—，所以一￡,+,,=一,聯(lián)合+=,=，所以一=.練習(xí)一一、選擇題.給出以下關(guān)系：①一R；②廠名：③1—L；@廠FQ.其一仁 V￡ 2 -Vy7中正確命題的個數(shù)是.以下各式中，與表示同一會合的是一'+,=I=+.已知=,I＞.已知=,I＞且＞〉，則，的關(guān)系是?已知全集=,會合= |=,￡￡ ,則下式中正確的關(guān)系是=U =ULC二、填空題.已知會合=IV—或WVU= .則會合中元素的個數(shù)為.設(shè)全集=,=IW—或三，=VV,則cn=.設(shè)會合=,,,，在上定義運算「為：，一、=,此中為十被除的余數(shù)，則=I知足關(guān)系式三金=的￡的個數(shù)為三、解答題?設(shè)會合=，求nu?設(shè)會合=.設(shè)全集=小于的自然數(shù)，會合，知足n= ,cG=,, ，C門C=， ，求會合和..已知會合=|-WW, =I>,①n,務(wù)實數(shù)的取值范圍；②nw,務(wù)實數(shù)的取值范圍；③c彩，且nw,務(wù)實數(shù)的取值范圍.§－常用邏輯用語【知識重點】．命題是能夠判斷真假的語句．．邏輯聯(lián)絡(luò)詞有“或”“且”“非”．不含邏輯聯(lián)絡(luò)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題和邏輯聯(lián)絡(luò)詞組成的命題叫做復(fù)合命題．能夠利用真值表判斷復(fù)合命題的真假．．命題的四種形式原命題：若則.抗命題：若則.否命題：若_，則一.逆否命題：若一，則一.注意差別”命題的否認(rèn)”與“否命題”這兩個不一樣的看法.原命題與逆否命題、抗命題與否命題是等價關(guān)系..充要條件假如_，則叫做的充足條件， 叫做的必需條件.—假如一且一，即一則叫做的充要條件，同時，也叫做的充要條件..全稱量詞與存在量詞【復(fù)習(xí)要求】.理解命題的看法.認(rèn)識“若，則”形式的命題的抗命題、否命題與逆否命題，會剖析四種命題的互相關(guān)系.理解必需條件、充分條件與充要條件的意義..認(rèn)識邏輯聯(lián)絡(luò)詞“或”、“且”、“非”的含義..理解全稱量詞與存在量詞的意義.能正確地對含有一個量詞的命題進(jìn)行否認(rèn).【例題剖析】例分別寫出由以下命題組成的“V”“A”“一”形式的復(fù)合命題，并判斷它們的真假.：￡，： .;:平行四邊形的對角線相等，：平行四邊形的對角線互相均分.解：V： ￡,或，；A： ￡，且..； ： ...因為真，假，所以V為真，A為假，_為假.V:平行四邊形的對角線相等或互相均分.A:平行四邊形的對角線相等且互相均分._:存在平行四邊形對角線不相等.因為假，真，所以V為真，A為假，—為真.【評析】判斷復(fù)合命題的真假能夠借助真值表.例 分別寫出以下命題的抗命題、否命題和逆否命題，并判斷其真假.若+=，貝U=；若G=，則，.解： 抗命題：若 =，則+=;是假命題.否命題：若+W,則W；是假命題.逆否命題：若W,則+W；是真命題.抗命題：若，，則n=；是真命題.否命題：若nw,則不是的真子集；是真命題.

逆否命題：若不是的真子集，則nw.是假命題.評論：原命題與逆否命題互為逆否命題，同真同假；抗命題與逆否命題也是互為逆否命題．例指出以下語句中，是的什么條件，是的什么條件．：三?：豐： ； ： ．【剖析】由定義知，若.且，則是的充足不用要條-F件；若且，則是的必需不充足條件；若一且一，與互為充要條件.-* T1于是可得中是的必需不充足條件；是的充足不用要條件．中是的充足不用要條件；是的必需不充足條

件．【評析】判斷充足條件和必需條件，第一要搞清楚哪個是條件哪個是結(jié)論，剩下的問題就是判斷與之間誰能推出誰了．例設(shè)會合=I>， =I<，那么“金或金”是“￡n”的充足非必需條件 必需非充足條件充要條件非充足條件也非必需條件充要條件非充足條件也非必需條件解：條件：￡或￡，即為￡；條件：￡n，即為又拿金|<<，且G1<<三，所以是的必需非充足條件，選.【評析】當(dāng)條件和以會合的形式表現(xiàn)時，可用下邊的方法判斷充足性與必需性：設(shè)知足條件 的元素組成會合，知足條件的元素組成會合，若且.，則是的充足非必需條件；若..且，則是的必需非充足條件；若=，則與互為—充要條件.例命題“對隨意的￡,一+W”的否認(rèn)是不存在￡，—+W, 存在￡,一+W存在￡,—+> 對隨意的￡,——>【剖析】這是一個全稱命題，它的否認(rèn)是一個特稱命題.其否認(rèn)為“存在￡, —+>.”答：選.【評析】注意全特稱命題的否認(rèn)是將全稱量詞改為存在量詞或?qū)⒋嬖诹吭~改為全稱量詞，并把結(jié)論否認(rèn).練習(xí)一一、選擇題.以下四個命題中的真命題為-----￡, << -￡,+>．假如“或”與“非”都是真命題，那么必定是真命題 不必定是真命題不必定是假命題 與的真假相同.已知為正數(shù)，則“>”是“為負(fù)數(shù)”的充足不用要條件 必需不充足條件充要條件 既不充足也不用要條件“是的子集”能夠用以下數(shù)學(xué)語言表達(dá)：”若對隨意的3:-￡，則稱-”.￡，則稱-”.那么“不是的子集”可用數(shù)學(xué)語言表達(dá)為的子集的子集的子集的子集的子集-- 一若金但，則稱不是3=若但金，則稱不是V2若但金，則稱不是的子集八填空題.“是真命題”是“V是假命題的” 條件..命題“若V—,則I1>”的逆否命題為 .三c.已知會合，是全集的子集，則“ ”是“”的條件..設(shè)、為兩個會合，以下四個命題：①.一對隨意￡，有: ②,一n=③.一, ④一存在￡，使得.V-F 't--H此中真命題的序號是 .把切合要求的命題序號都填上三、解答題.判斷以下命題是全稱命題仍是特稱命題并判斷其真假：指數(shù)函數(shù)都是單一函數(shù)；起碼有一個整數(shù)，它既能被整除又能被整除；_￡I￡ , ＞;-R一—..已知實數(shù)，￡.試寫出命題："+=，貝U="的抗命題，否命題，逆否命題，并判斷四個命題的真假，說明判斷的原由.§一不等式含推理與證明【知識重點】.不等式的性質(zhì).假如＞，那么V；假如＞，且＞，那么＞;假如＞，那么+＞+假如+＞，那么＞—:假如＞，＞，那么+＞+;假如＞，＞，那么＞;假如＞，＜，那么〈 ；假如＞＞，＞＞，那么＞ ;假如>>，那么〉￡+,〉假如>>，那么.進(jìn)行不等式關(guān)系判斷經(jīng)常用到的實數(shù)的性質(zhì):.會解一元一次不等式，一元二次不等式，簡單的分式不等式、絕對值不等式.簡單的含參數(shù)的不等式..均值定理：假如、￡+，那么-當(dāng)且僅當(dāng)=時，式中等號建立.其余常用的基本不等式：假如 、￡，那么十三，假如、同號，那么.合情推理之概括推理與類比推理；演繹推理；綜合法、剖析法與反證法.【復(fù)習(xí)要求】.運用不等式的性質(zhì)解決以下幾類問題：依據(jù)給定的條件，判斷給出的不等式可否建立；利用不等式的性質(zhì)，實數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)判斷實數(shù)值的大小關(guān)系；利用不等式的性質(zhì)等判斷不等式變換中條件與結(jié)論間的充足必需關(guān)系..嫻熟掌握一元一次不等式，一元二次不等式、簡單的分式不等式、絕對值不等式的解法.并會解簡單的含參數(shù)的不等式.．認(rèn)識合情推理和演繹推理的含義，能利用概括和類比等進(jìn)行簡單的推理．認(rèn)識演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進(jìn)行一些簡單推理．能較為靈巧的運用綜合法、剖析法與反證法證明數(shù)學(xué)識題．嫻熟運用比較法比較數(shù)與式之間的大小關(guān)系．比較法：常有“作差比較法”和“作商比較法”；綜合法：從已知推致使結(jié)果的思想方法；剖析法：從結(jié)果追憶到產(chǎn)生這一結(jié)果的原由的思想方法；反證法：由證明_轉(zhuǎn)向證明____,而與假定矛盾， F -f-FW或與某個真命題矛盾，從而判斷.為假，從而推出為真的方法，叫做反證法.一般來講，由剖析法獲得的證明思路常常用綜合法的方式來書寫.【例題剖析】例若>>，則必定建立的不等式是.II>II .> .-II>一 .【剖析】對于選項.當(dāng)=時，II>II不建立.對于選項.當(dāng)〈時， >不建立.對于選項.因為>，依據(jù)不等式的性質(zhì)一II>-II,正確.對于選項.當(dāng)>>>時， 不建立.所以，選.以下命題中的真命題是

.若〉，則I.若〉，則I|>.若〉，則〉.若>，則.若>，則【剖析】對于選項.當(dāng)=一,=—時，II〉II不建立.對于選項?當(dāng)〉,〈時， 不建立.一<一對于選項.因為>，依據(jù)不等式的性質(zhì) >，正確.對于選項.當(dāng)〈時， 不建立.所以， ^選【評析】判斷不等關(guān)系的正誤，其一要掌握判斷的依照，依照有關(guān)的理論判斷，切忌僅憑感覺進(jìn)行判斷；其二要掌握判斷的方法.判斷不等式的理論依照參看本節(jié)的知識重點，止匕外，后邊專題講到的函數(shù)的有關(guān)知識特別是函數(shù)的單一性也是解決不等式問題的特別重要的方法.判斷一個不等式是正確的，就應(yīng)當(dāng)給出一個合理的證明或說明，就像例、例對正確的選項判斷那樣.判斷一個不等式是不正確的，應(yīng)舉出反例.正確的，應(yīng)舉出反例.解以下不等式:解:方程的兩個根是上6解:方程的兩個根是上6一聯(lián)合函數(shù)的圖象，可得不等式不等式一+>等價于一一>,易知方程的兩個根為，，易知方程的兩個根為，，聯(lián)合函數(shù)=—十的圖象，可得不等式 一+>的解集為I<或>.不等式一+w等價于一一W,以下同的解法，TOC\o"1-5"\h\z可得不等式的解集為 ，，一等價于一一>,以下同 的解法，可得不 >等式的解集為I<或>.不等式I一|<等價于一<一<,所以一< <，即一<<，所以不等式I 一|<的解集為 1一w<■不等式.能夠整理為 < <等價于?或以下同 的解法，可得不等式 < < =的解集為1一wV.【評析】一元一次不等式、一元二次不等式的解法要嫻熟掌握.其他不等式的解法合適掌握..利用不等式的性質(zhì)能夠解一元一次不等式.■解一元二次不等式要注意函數(shù)、方程、不等式三者之間的聯(lián)系，經(jīng)過研究與一元二次不等式相對應(yīng)的一元二次方程的根的狀況、從而聯(lián)合相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象便可以解決一元二次不等式解集的問題了.所以，解一元二次不等式的步驟為：計算二次不等式相應(yīng)的方程的鑒別式；求出相應(yīng)的一元二次方程的根或依據(jù)鑒別式說明無根；畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的簡圖；依據(jù)簡圖寫出二次不等式的解集．、不等式_ 與一一>同解；不等式_與 > <一一<同解；、不等式I I〈與一VV同解；不等式I>與“>或<一”同解.在解簡單的分式不等式時要注意細(xì)節(jié)，比如題對于“W”號的辦理.例 解以下對于的不等式；TOC\o"1-5"\h\z+V； — +W.解：由+V得V-,當(dāng)=時，不等式解集為二；當(dāng)〉時，不等式解集為 ；<—當(dāng)〈時，不等式解集為 .>--一+w等價于不等式一一W,當(dāng)=時，不等式解集為I=;當(dāng)>時，不等式解集為 Iww ；當(dāng)V時，不等式解集為Iww.【評析】含參數(shù)的不等式的解法與不含參數(shù)的不等式的解法、步驟是完整一致的.要注意的是，當(dāng)進(jìn)行到某一步驟擁有不確立性時，需要進(jìn)行分類議論.

如 的解決過程中，當(dāng)解出方程的兩根為以后，需要畫出二次函數(shù)+ 的草圖，這時如 的解決過程中，當(dāng)解出方程的兩根為以后，需要畫出二次函數(shù)+ 的草圖，這時兩根與的大小不定，需要議論，當(dāng)分=,>,V三種情況以后，便可以在各自狀況下確立與 的大小，畫出二次函數(shù)=—十的草圖寫出解集了.例已知>>,VV,V,求證：證明：方法一作差比較由已知一V,一V,又V,所以一十一因為>>,VV,所以一>,一>,所以_ . _，所以 即 > > > -方法二因為VV,所以一V,又>>，所以一>,所以一>一，所以一>一所以 ，又因為V，所以 < > 例已知++=,>>,求證：>; __證明：假定W,因為>>，所以V,V.所以++V,與++=矛盾.因為=一一， >，所以，所以〉一，又〉，所以—，所以一一例已知，，金， ，求證： 一，一，一中起碼有一個不大于均大于證明：假定即均大于—>——>——>一因為， ， ￡ ,，所以一，一，一￡ , ,所以 ，同理一+>, —+>,-+2J- >所以一++ — ++ —+>,即>，矛盾.所以中起碼有一個不大于所以【評析】證明常用的方法有比較法、綜合法、剖析法與反證法等.證明不等式也是這樣.、例中的方法一所用到的比較法從思想、書寫的角度都較為簡單，也相對易于掌握，要嫻熟掌握.、例中的方法二所用到的綜合法是一般證明題常用的方法，其書寫方法簡潔、易讀，但要注意的是，這樣的題的思路經(jīng)常是剖析法.比方，例中的方法二的思路我們能夠以為是這樣獲得的：欲證只要證明一>一因為一>,一>, :> 即只要證明一〈一，即只要證明一>一，而由已知一>,一<,所以能夠循著這個思路依照相反的次序書寫．所以，在好多狀況下，剖析法更是思慮問題的方法，而綜合法更是一種書寫方法．、適適用反證法證明的常有的命題一般是特別不言而喻的問題如例、否認(rèn)式的命題、存在性的命題、含至多起碼等字樣的命題如例等等．證明的步驟一般是：假定結(jié)論的反面是正確的；推出矛盾的結(jié)論；得出本來命題正確的結(jié)論．例依據(jù)圖中圖形及相應(yīng)點的個數(shù)找規(guī)律，第個圖形相應(yīng)的點數(shù)為．【剖析】第一個圖有行，每行有＋個點；第二個圖有行，每行有＋個點；第三個圖有行，每行有＋個點；第八個圖有行，每行有十個點，所以共有義=個點．答：．練習(xí)－一、選擇題則以下各式正確的選項?若是—>—>TOC\o"1-5"\h\z> < > -.已知， 為非零實數(shù)，且<，則以下命題建立的是< < ::: ---.已知=III< , =I>，且n=，貝I」的取0值范圍是IW I<< I<I<<.設(shè)會合=,,,,,,,,,都是的含有兩個元素的子集，且知足：對隨意的W,,￡，，，， 者口有表示兩個數(shù)，中的較小者，則的最大值是二、填空題.已知數(shù)列 的第一項=，且 ，請計算出■._■,■+-=TOC\o"1-5"\h\z這個數(shù)列的前幾項，并據(jù)此概括出這個數(shù)列的通項公式 =■.不等式一十<的解集為 ^.設(shè)會合=e|| |< , = ^|一+>,則集合￡I￡,且三n= ■.設(shè)e且W,給出下邊個式子：①+；②一+；③ ：④十一 + 此中恒大于的是.寫出全部知足條件式子的序號三、解答題?解以下不等式：+>; ;I—|<;++<; ::'■已知++=，求證： ++W.．解以下對于的不等式：一一<;一〉;習(xí)題、選擇題．命題“若是正數(shù)，則若是正數(shù)若是負(fù)數(shù)．若會合、是全集”的否命題是的子集若不是正數(shù)，則若不是正數(shù)，則 WI則圖中暗影部分表示的會合是nn”是“對隨意的正數(shù)十—之”的條件充足不用要條件必需不充足充要條件既不充足也不用要條件*已知會合若定義運算“”知足：“若則運算”能夠是加法*已知，知足減法VV，且乘法除法，那么以下選項中不必定成***立的是八填空題.若全集，且「則會合.命題" e，但：u”的否認(rèn)是.已知=一，一，， ，= |=|I,￡，則二■.已知會合=|一+<,=I<，若重，則實TOC\o"1-5"\h\z數(shù)的取值范圍是 ^.設(shè)，是兩個實數(shù)，給出以下條件：①+>;②+=;③+>;④+>;⑤ >,此中能推出“，中起碼有一個大于”的條件是 .寫出全部正確條件的序號三、解答題.解不等式—<.若VV且+=.求的取值范圍；試判斷與+的大小.?設(shè)W,解對于的不等式： +一2+一..設(shè)數(shù)集知足條件：① ：②.且,；③若￡,則￡ E C若￡，則中起碼有多少個元素；證明： 中不行能只有一個元素.專題一會合、邏輯與不等式參照答案練習(xí)一一、選擇題.. . .提示：

．會合表示非負(fù)偶數(shù)集，會合表示能被整除的自然數(shù)集，以正奇數(shù)：二，從而．會合表示非負(fù)偶數(shù)集，會合表示能被整除的自然數(shù)集，以正奇數(shù)：二，從而八填空題為或.三、解答題.剖析：畫以下圖的韋恩圖:?答：①V；②三一；③一WV提示：畫數(shù)軸剖析，注意可否取到“臨界值”.提示：畫數(shù)軸剖析，注意可否取到“臨界值”.練習(xí)入、選擇題八填空題.必需不充足條件.若I則三一.充要條件練習(xí)入、選擇題八填空題.必需不充足條件.若I則三一.充要條件.④提示:■因為，即對隨意￡，有￡.依據(jù)邏輯知識知■因為，即對隨意￡，有￡.依據(jù)邏輯知識知為④.此外，也能夠經(jīng)過文氏圖來判斷.此外，也能夠經(jīng)過文氏圖來判斷.三、解答題.答： 全稱命題，真命題.特稱命題，真命題..答： 全稱命題，真命題.特稱命題，真命題.特稱命題，真命題;全稱命題，真命題..略解：答：抗命題：若，則IJ+=;是假命題；比如否命題：若則豐;是假命題；比如=,逆否命題：若則+W；是真命題；因為若+，則所以，即原命題是真命題所以其逆否命題為真命題.練習(xí)入、選擇題八填空題三、解答題特稱命題，真命題;全稱命題，真命題..略解：答：抗命題：若，則IJ+=;是假命題；比如否命題：若則豐;是假命題；比如=,逆否命題：若則+W；是真命題；因為若+，則所以，即原命題是真命題所以其逆否命題為真命題.練習(xí)入、選擇題八填空題三、解答題■答:■證明:所以■解:原不等式一.④分三種狀況議論:①當(dāng)V時，解集為②當(dāng)時，原不等式V,②當(dāng)時，原不等式V,解集為二；③當(dāng)>時，解集為I—VV不等式一>匕一>.分三種狀況議論：①當(dāng)=時，原不等式a—>,解集為I< ;②當(dāng)>時，一>_一_>,解集為工.或一一；③當(dāng)〈時，一二一_<,解集為.一；.：*習(xí)題一、選擇題* ... *提示：.正確.不正確..正確.當(dāng)豐當(dāng)豐時，正確；當(dāng)時，不正確，，不必定建立.二、填空題三 .③.提示：、均可用舉反例的方式說明①②④⑤不正確.對于③：若、均小于等于.即，W,W,則+W,與+>矛盾，所以③正確.三、解答題

解：不等式即一—<——< <所以一 ，此不等式等價于 一>，解得〈或 >所以，原不等式的解集為.解：由+=得=所以，原不等式的解集為.解：由+=得=所以一>且+ —= — +因為 ，所以—<<-即+V..解：原不等式化為 一移項整理，得一一因為W,故一>,故不等式的解集為 I<.解：若￡，貝uIV或^>—一，因為VV,一V,所以—<<一=一十=———<+三一+ — +W.所以一W.W.仁- 二一婦■ 二憶中起碼有一，，三個元素.假定中只有一個元素，設(shè)這個元素為，由已知.，,.即一.即一+=，此方程無解，這與 中有一個元素矛盾，所以中不行能只有一個元素.專題二函數(shù)函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，是描繪變量之間依靠關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型．本章內(nèi)容有兩條主線：一是對函數(shù)性質(zhì)作一般性的研究，二是研究幾種詳細(xì)的基本初等函數(shù)——一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)．研究函數(shù)的問題主要環(huán)繞以下幾個方面：函數(shù)的看法，函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)的有關(guān)應(yīng)用等．§－函數(shù)【知識重點】要認(rèn)識映照的看法，映照是學(xué)習(xí)、研究函數(shù)的基礎(chǔ)，對函數(shù)看法、函數(shù)性質(zhì)的深刻理解在好多狀況下要借助映照這一看法．、設(shè)，是兩個非空會合，假如依照某種對應(yīng)法例，對中的隨意一個元素，在中有一個且僅有一個元素與對應(yīng)，則稱是會合到會合的映照.記作：f,此中叫原象，叫象．、設(shè)會合是一個非空的數(shù)集，對中的隨意數(shù)，依照確立的法例，都有獨一確立的數(shù)與它對應(yīng)，則這種映照叫做會合上的一個函數(shù).記作= ,￡.此中叫做自變量，自變量取值的范圍數(shù)集叫做這個函數(shù)的定義域.全部函數(shù)值組成的會合I=,￡叫做這個函數(shù)的值域.函數(shù)的值域由定義域與對應(yīng)法例完整確立.、函數(shù)是一種特別的映照.其定義域和值域都是非空的數(shù)集，值域中的每一個元素都有原象.組成函數(shù)的三因素：定義域，值域和對應(yīng)法例.此中定義域和對應(yīng)法例是中心.【復(fù)習(xí)要求】．認(rèn)識映照的意義，對于給出對應(yīng)關(guān)系的映照會求映照中指定元素的象與原象．．能依據(jù)函數(shù)三因素判斷兩個函數(shù)能否為同一函數(shù)．．掌握函數(shù)的三種表示法列表法、圖象法和分析法，理解函數(shù)符號對應(yīng)法例，能依照必定的條件求出函數(shù)的對應(yīng)法例．．理解定義域在三因素的地位，并會求定義域．【例題剖析】例設(shè)會合和都是自然數(shù)會合.映照：一把會合中的元素映照到會合中的元素＋，則在映照作用下，的象是；的原象是．【剖析】由已知，在映照作用下的象為＋．所以，的象是+=;設(shè)象 的原象為，則的象為，即+=.因為金，十跟著的增大而增大，又能夠發(fā)現(xiàn) +=,所以的原象是．例設(shè)函數(shù) 則=;若+ =—，則的全部可能值為 ^【剖析】從映照的角度看，函數(shù)就是映照，函數(shù)分析式就是映照的法例．所以=.，當(dāng)，所以

，當(dāng)?shù)?或當(dāng)〉時，由一++=一,即一得=或舍.綜上，=或=.例以下四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是【剖析】中兩個函數(shù)的定義域均不一樣，所以不是同一函數(shù).中兩個函數(shù)的定義域相同，化簡后為=1I及=1I,法例也相同，所以選.【評析】判斷兩個函數(shù)能否為同一函數(shù)，就是要看兩個函數(shù)的定義域與法例能否完整相同.一般有兩個步驟：在不對分析式進(jìn)行變形的狀況下求定義域，看定義域能否一致.對分析式進(jìn)行合理變形的狀況下，見解例是否一致.例求以下函數(shù)的定義域I=——+ 4 =解：由I—I—2，得I—I》，所以一》或W一,所以2或W.所以，所求函數(shù)的定義域為 I三或W.由+—＞得，＞或＜一.

所以，所求函數(shù)的定義域為由！得〈，且w,3手所以，所求函數(shù)的定義域為 V由‘一5,得［一,9(-<即，［一一盧I" :彳，且w,豐-所以一WW,且，且w,豐-所以一WW,且且所以，所求函數(shù)定義域為WW，且w例已知函數(shù)的定義域為，，求函數(shù)＋及的定義域．【剖析】本題的題設(shè)條件中未給出函數(shù)的分析式，這就要求我們依據(jù)函數(shù)三因素之間的互相限制關(guān)系明確兩件事情：①定義域是指的取值范圍；②受對應(yīng)法例限制的量的取值范圍在“已知”和“求”中間是一致的．那么由的定義域是，可知法例限制的量的取值范圍是，，而在函數(shù)＋中，受直接限制的是＋，而定義域是指的范圍，所以經(jīng)過解不等式V＋V得－VV，即＋的定義域是－，．同理可得的定義域為I—VV,且w.例如圖，用長為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長為，求此框架圍成的面積與的函數(shù)關(guān)系式，并指出定義域．解：依據(jù)題意，所以， .nnn依據(jù)問題的實質(zhì)意義. 〉，〉.解'n得：. nL所以，所求函數(shù)定義域為<< n【評析】求函數(shù)定義域問題一般有以下三種種類問題.給出函數(shù)分析式求定義域如例，這種問題就是求使分析式存心義的自變量的取值范圍.正確的解不等式或不等式組在解決這種問題中是重要的.中學(xué)數(shù)學(xué)中常有的對變量有限制的運算法例有：①分式中分母不為零；②偶次方根下被開方數(shù)非負(fù)；③零次冪的底數(shù)要求不為零；④對數(shù)中的真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于 ：⑤=，則「：e.不給出 的分析式而求定義域如例.其解決方法見例的剖析.在實質(zhì)問題中求函數(shù)的定義域如例.在這種問題中除了考慮分析式對自變量的限制，還應(yīng)試慮實質(zhì)問題對自變量的限制.止匕外，在辦理函數(shù)問題時要有一種隨時關(guān)注定義域的意識，這是極其重要的.比方在研究函數(shù)單一性、奇偶性、最值等問題時，第一要考慮的就是函數(shù)的定義域.例 已知_=—，求 的分析式；已知,_=一，求的值；假如 為二次函數(shù)， =，而且當(dāng)=時， 獲得最小值－，求的分析式；已知函數(shù)=與函數(shù)= =的圖象對于直線 二對稱，求的分析式．【剖析】求函數(shù)的分析式，從映照的角度看就是求對應(yīng)法例，于是，我們一般有下邊兩種方法解決這樣的問題．石抄 一 經(jīng)過這樣“湊型”的方法，我們可方法一. 一二 二 ， 以明確看到法例 是“原象對應(yīng)于原象除以原象的平方減”.所以，= ■方法二.設(shè)_ ，貝IJ_?貝U 二，所以 這樣，經(jīng)過“換元”的方法也能夠明確看到法例是什么.用“湊型”的方法，所以因為為二次函數(shù)，而且當(dāng)=時， 獲得最小值一所以，可設(shè)=— —,又=，所以一一=，所以=?= — —= —+?這個問題相當(dāng)于已知的圖象知足必定的條件，從而求函數(shù) 的分析式.所以，能夠類比分析幾何中求軌跡方程的方法求的分析式.設(shè)的圖象上隨意一點坐標(biāo)為，，貝對于=對稱

點的坐標(biāo)為一，，由已知，點在函數(shù)= 的圖象上，所以，點的坐標(biāo)一，知足= 的分析式，即=一,所以，=-.【評析】因為已知條件的不一樣，求函數(shù)的分析式的常有方法有象所用到的“湊形”及“換元”的方法；有象所用到的待定系數(shù)法；也有象所用到的分析法．值得注意的是中所用的分析法．在求函數(shù)分析式或許求軌跡方程時都能夠用這種方法，是一種通法．同時也表示函數(shù)和它的圖象與曲線和它的方程之間有必定的聯(lián)系．例已知二次函數(shù) 的對稱軸為=，且圖象在軸上的截距為一，被軸截得的線段長為，求的分析式．解：解法一設(shè) =++,由 的對稱軸為=，可得=一;由圖象在軸上的截距為一，可得=一；由圖象被軸截得的線段長為，可得=一，=均為方程++=的根.所以一=，即一+=，所以=.一一．解法二因為圖象被軸截得的線段長為，可得解法二因為圖象被軸截得的線段長為，可得均為方程=的根.TOC\o"1-5"\h\z所以，設(shè)=+ —,又圖象在軸上的截距為－，即函數(shù)圖象過，－點.即一=一, =.所以= ——.【評析】二次函數(shù)是非經(jīng)常有的一種函數(shù)模型，在高中數(shù)學(xué)中地位很重.二次函數(shù)的分析式有三種形式：一般式= ++;極點式= —十,此中，為極點坐標(biāo)；雙根式= — —，此中，為函數(shù)圖象與軸交點的橫坐標(biāo)，即二次函數(shù)所對應(yīng)的一元二次方程的兩個根.例某地域上年度電價為元/?，年用電量為?.今年度計劃將電價降到 元/?至元/-之間，而用戶希望電價為 元/?.經(jīng)測算，下調(diào)電價后新增的用電量與實質(zhì)電價和用戶希望電價的差成反比比率系數(shù)為.該地域電力的成本價為元/?.寫出今年度電價下調(diào)后，電力部門的利潤與實質(zhì)電價的函數(shù)關(guān)系式；設(shè)=，當(dāng)電價最低定為多少時，仍可保證電力部門的利潤比上年起碼增添％解： 依題意，當(dāng)實質(zhì)電價為元/?時，用電量將增添TOC\o"1-5"\h\z故電力部門的利潤為 ’ .易知，上年度的利潤為 一，依題意，且<< , +->-+解得<w.所以，當(dāng)電價最低定為 元/-時，仍可保證電力部門的利潤比上年起碼增添 ％.練習(xí)一、選擇題.已知函數(shù) 的定義域為， = +的定義域為〉 V —VV.圖中的圖象所表示的函數(shù)的分析式為—— —三三二一一一-<<——— j wW=—I—Iww.已知一=+ ，則 __一，一?已知=若=，則的值是［星或 _-

、填空題．給定映照，在映照下，的象.函數(shù)■已知函數(shù)的原象是的定義域是分別由下表給出,的〉的值是■已知函數(shù)與函數(shù)的圖象對于點，對稱，的分析式為、填空題．給定映照，在映照下，的象.函數(shù)■已知函數(shù)的原象是的定義域是分別由下表給出,的〉的值是■已知函數(shù)與函數(shù)的圖象對于點，對稱，三、解答題的值.■在以下圖的直角坐標(biāo)系中，一運動物體經(jīng)過點，其軌■已知的值.■在以下圖的直角坐標(biāo)系中，一運動物體經(jīng)過點，其軌跡方程為=+V,=,為軸上的給定區(qū)間.為使物體落在區(qū)間 內(nèi)，求的取值范圍.■如圖，直角邊長為的等腰△，以／的速度沿直線向右運動，求該三角形與矩形重合部分面積與時間的函數(shù)關(guān)系設(shè)wW,并求出的最大值.§－函數(shù)的性質(zhì)【知識重點】函數(shù)的性質(zhì)包含函數(shù)的定義域、值域及值的某些特色、單一性、奇偶性、周期性與對稱性等等．本章側(cè)重研究后四個方面的性質(zhì)．本節(jié)的重點在于理解與函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的看法，掌握有關(guān)判斷、證明的基本方法以及簡單的應(yīng)用．?dāng)?shù)形聯(lián)合是本節(jié)常用的思想方法．.設(shè)函數(shù)=的定義域為，假如對于內(nèi)的隨意一個，都有一￡，且一=— ，則這個函數(shù)叫做奇函數(shù).設(shè)函數(shù)=的定義域為，假如對于內(nèi)隨意一個，都有一金，且一= ,則這個函數(shù)叫做偶函數(shù).由奇函數(shù)定義可知，對于奇函數(shù)=，點，與點一，一 都在其圖象上.又點 與點.對于原點對稱，我們能夠獲得：奇函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點為對稱中心的中心對稱圖形； 經(jīng)過同樣的剖析能夠獲得，偶函數(shù)的圖象是以 軸為對稱軸的軸對稱圖形..一般地，設(shè)函數(shù)= 的定義域為，區(qū)間.假如取區(qū)間中的隨意兩個值，，改變量、=一>,則當(dāng)」= ― >時，就稱函數(shù)= 在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)：= 一 V時，就稱函數(shù)= 在區(qū)間上是減函數(shù).假如一個函數(shù)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個函數(shù)在這個區(qū)間上擁有單一性，區(qū)間稱為單一區(qū)間.在單一區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上漲的，減函數(shù)的圖象是降落的.

．一般的，對于函數(shù)，假如存在一個不為零的常數(shù)，使合適取定義域中的每一個值時， += 都建立，那么就把函數(shù)= 叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù) 叫做這個函數(shù)的周期.．一般的，對于函數(shù)，假如存在一個不為零的常數(shù)，使合適取定義域中的每一個值時，＋= －都建立，則函數(shù)=的圖象對于直線=對稱．【復(fù)習(xí)要求】．理解函數(shù)的單一性、最大值、最小值及其幾何意義；會用定義證明函數(shù)的單一性，會利用函數(shù)的單一性辦理有關(guān)的不等式問題；．認(rèn)識函數(shù)奇偶性的含義．能判斷簡單函數(shù)的奇偶性．．認(rèn)識函數(shù)周期性的含義．．認(rèn)識函數(shù)單一性、奇偶性和周期性之間的聯(lián)系，并能解決相關(guān)的簡單問題．【例題剖析】例判斷以下函數(shù)的奇偶性．解：解—t,獲得函數(shù)的定義域為 I＞或W，定義域區(qū)間對于原點不對稱，所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．函數(shù)的定義域為W 函數(shù)的定義域為W ，可是，因為，即w—,且w——,所以此函數(shù)為非奇非偶函數(shù)．函數(shù)的定義域為，又一=———=—十TOC\o"1-5"\h\z—— ,所以此函數(shù)為奇函數(shù)．解 ，得一V<,又 .- -—一十一所以此函數(shù)為奇函數(shù).函數(shù)的定義域為，又..一-_- - ， _一++所以此函數(shù)為奇函數(shù)．【評析】由函數(shù)奇偶性的定義，能夠獲得下邊幾個結(jié)論：①一個函數(shù)是奇或偶函數(shù)的必需不充足條件是定義域?qū)τ谠c對稱；②是奇函數(shù)，而且在=時有定義，則必有=；③既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)，其分析式必定為 =.判斷函數(shù)奇偶性依照其定義能夠分為兩個步驟：①判斷函數(shù)的定義域能否對于原點對稱；②觀察—與的關(guān)系．由此，若以奇偶性為標(biāo)準(zhǔn)能夠把函數(shù)分為奇函數(shù)，偶函數(shù)，既奇又偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)四類．例設(shè)函數(shù)在上有定義，給出以下函數(shù)：此中必為奇函數(shù)的有填寫全部正確答案的序號【剖析】①令因為與關(guān)系不明確，所以此函數(shù)的奇偶性沒法確立.②令為奇函數(shù).③令關(guān)系不明確，所以此函數(shù)的奇偶性沒法確立.④令為奇函數(shù).所以，②④為奇函數(shù).例設(shè)函數(shù)在上有定義,的值不恒為零，對于隨意的奇偶性為解：令再令的值不恒為零,故 是奇函數(shù)而非偶函數(shù).【評析】對于函數(shù)方程“ 十+ ”的使用一般有【評析】對于函數(shù)方程“ 十+ ”的使用一般有以下兩個思路：令，為某些特別的值，如本題解法中，令獲得了.自然，假如令則能夠獲得等等．令，擁有某種特別的關(guān)系，如本題解法中，令 =一?獲得= ，在某些狀況下也可令=_,二，等等?總之，函數(shù)方程的使用比較靈巧，要依據(jù)詳細(xì)狀況作合適辦理.在不是很熟習(xí)的時候，要有試一試的勇氣.例已知二次函數(shù)=++知足+= —，求的值，并比較一與的大小.解：因為 += —，所以=為二次函數(shù)圖象的對稱軸，所以，=一.依據(jù)對稱性， 一= ，又函數(shù)在，+8上單一遞加,TOC\o"1-5"\h\z所以<，即一< .例已知 為奇函數(shù)，當(dāng)，時， =—，求—的值；當(dāng)<時，求 的分析式.解：因為 為奇函數(shù)，所以 一=— =——X?方法一：當(dāng)<時，一>.所以，=——=——— =— —?方法二：設(shè)，是在<時圖象上一點，則必定在在>時的圖象上.所以,，所以用函數(shù)單一性定義證明，函數(shù)++ 〉在區(qū)上為增函數(shù).證明:-I-因為所以+>，所以函數(shù)>在區(qū)間—>,

上為增函數(shù).已知函數(shù)是定義域為的單一增函數(shù).比較+的大小;,務(wù)實數(shù)的取值范圍.解：因為所以+>由已知,是單一增函數(shù)，所以因為是單一增函數(shù)，且+ ,所以>+,解得>或【評析】回首單一增函數(shù)的定義,為區(qū)間隨意兩個值的前提下，有三個重要的問題：△的符號；小的符號；函數(shù)在區(qū)間上是增仍是減.由定義可知：對于任取的，若〉，且則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù);不單這樣，若>,且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則>;于是，我們能夠清楚地看到，函數(shù)的單一性與不等式有著天然的聯(lián)系．請聯(lián)合例例領(lǐng)會這一點．函數(shù)的單一性是極為重要的函數(shù)性質(zhì)，其與其余問題的聯(lián)系、自身的應(yīng)用都很寬泛，在復(fù)習(xí)中要予以充足注意．在區(qū)間°°,試比較解：是定義域為一8,U,+8的奇函數(shù)，且它上是減函數(shù)．與－的大??；，且因為V,求證:是奇函數(shù)，所以－在區(qū)間一8,上是減函數(shù)，所以，即因為<，所以，異號，不如設(shè)>，<，因為在區(qū)間°°,試比較解：是定義域為一8,U,+8的奇函數(shù)，且它上是減函數(shù)．與－的大??；，且因為V,求證:是奇函數(shù)，所以－在區(qū)間一8,上是減函數(shù)，所以，即因為<，所以，異號，不如設(shè)>，<，因為＋<，所以<因為￡一8,<－ ，在區(qū)間°°,上是減函數(shù)，所以因為是奇函數(shù)，所以所以，即＋ >．函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且，￡的值；在區(qū)間,+上的分析式.解：因為函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，￡所以所以練習(xí)入、選擇題.以下函數(shù)中，在，上為增函數(shù)的是■以下判斷正確的選項是定義在上的函數(shù)，若是偶函數(shù)定義在上的函數(shù)知足>上不是減函數(shù)定義在上的函數(shù)在區(qū)間一8,上是減函數(shù)，在區(qū)間，＋8上也是減函數(shù)，則在上是減函數(shù)不存在既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)■已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，而且是周期為的周期函數(shù)，又■則■設(shè)是上的隨意函數(shù)，則以下表達(dá)正確的選項是是奇函數(shù)I是奇函數(shù)是偶函數(shù)是偶函數(shù)、填空題．若函數(shù)+在區(qū)間一．若函數(shù)+在區(qū)間一，+8是增函數(shù)取值范圍是的取值范圍是取值范圍是的取值范圍是．已知函數(shù)是定義在一8,+8上的偶函數(shù).當(dāng)￡一8,時，.設(shè)函數(shù)．已知函數(shù)是定