黑龍江省伊春市宜春黃崗中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，是和的等差中項(xiàng)，且記是數(shù)列的前項(xiàng)和，則A．81

B．62

C．27

D．30參考答案：D2.函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為

A4

B3

C2

D1參考答案：答案：D3.若函數(shù)內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排列為則對(duì)任意正整數(shù)必有

（

）A． B．C． D．參考答案：B4.已知集合A={y|y=log2x，0＜x＜1}，B={y|y=（）x，x＞1}，則（?RA）∩B=（）A．（0，） B．（0，1） C．（，1） D．?參考答案：A【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合．【分析】求出A中y的范圍確定出A，求出B中y的范圍確定出B，找出A補(bǔ)集與B的交集即可．【解答】解：由A中y=log2x，0＜x＜1，得到y(tǒng)＜0，即A=（﹣∞，0），∴?RA=[0，+∞），由B中y=（）x，x＞1，得到0＜y＜，即B=（0，），則（?RA）∩B=（0，），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．5.已知等差數(shù)列{an}的公差不為零，其前n項(xiàng)和為Sn，若，，成等比數(shù)列，則（）A.3 B.6 C.9 D.12參考答案：C【分析】由題意，得，利用等差數(shù)列求和公式，列出方程求得，即可求解的值，得到答案.【詳解】由題意，知，，成等比數(shù)列，所以，即，整理得，所以，解得，所以＝，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比中項(xiàng)公式，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中熟練應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.函數(shù)與在同一坐標(biāo)系的圖像有公共點(diǎn)的充要條件是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.已知，則向量a與向量b的夾角是

（

）

A．30°

B．45°

C．90°

D．135°參考答案：B略8.《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)L與高h(yuǎn)，計(jì)算其體積V的近似公式V≈L2h，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3，那么，近似公式V≈L2h相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】根據(jù)近似公式V≈L2h，建立方程，即可求得結(jié)論．【解答】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為r，高為h，則L=2πr，∴=（2πr）2h，∴π=．故選：B．9.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家。大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書(shū)作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長(zhǎng)得到的正方形是由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組成的)類比“趙爽弦圖”，趙爽弦圖可類似地構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由個(gè)3全等的等邊三角形與中間的一個(gè)小等邊三角形組成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF=2AF，若在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是（）A、B、C、D、參考答案：B由題意可得，設(shè),可得,在中，由余弦定理得，所以，，由面積比的幾何概型，可知在大等邊三角形中隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自小等邊三角形的概率是，故選B.

10.設(shè)向量，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A、

B、

C、與垂直

D、∥參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知有限集.如果中元素滿足，就稱為“復(fù)活集”，給出下列結(jié)論：①集合是“復(fù)活集”；②是“復(fù)活集”，則；③不可能是“復(fù)活集”；④若，則“復(fù)活集”有且只有一個(gè)，且.其中正確的結(jié)論是___________________．（填上你認(rèn)為所有正確的結(jié)論序號(hào)）參考答案：①③④略12.如圖，過(guò)拋物線焦點(diǎn)的直線依次交拋物線與圓于點(diǎn)A、B、C、D,則的值是________參考答案：113.已知直線與圓相切，若，，則的最小值為

．參考答案：314.已知向量a，b，c滿足a+b+c=0，|c|=，且c與a-b所成的角為120°，則當(dāng)t∈R時(shí)，|ta+(1-t)b|的取值范圍是

▲

．參考答案：

略15.若P（1，4）為拋物線C：y2=mx上一點(diǎn)，則P點(diǎn)到該拋物線的焦點(diǎn)F的距離為|PF|=．參考答案：5【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】代入P的坐標(biāo)，求得m=16，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算即可得到．【解答】解：P（1，4）為拋物線C：y2=mx上一點(diǎn)，即有42=m，即m=16，拋物線的方程為y2=16x，焦點(diǎn)為（4，0），即有|PF|==5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查兩點(diǎn)的距離公式，及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.奇函數(shù)滿足：，且在區(qū)間與上分別遞減和遞增，則不等式的解集為

。參考答案：17.若函數(shù)f(x)=a在[0,+∞)上為增函數(shù),則實(shí)數(shù)a、b的取值范圍

是

.參考答案：答案：a>0且b≤0

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（單位：元/千克）滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù).已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克.

（1）求的值；（2）若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

B10,B12【答案解析】(1)2(2)時(shí)，取得最大值42解析：解（1）因時(shí)，，所以（2）每日所獲利潤(rùn)，令得或，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故當(dāng)時(shí)，取得最大值42答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售所獲利潤(rùn)最大.【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）由f（5）=11代入函數(shù)的解析式，解關(guān)于a的方程，可得a值；（Ⅱ）商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)=每日的銷售量×銷售該商品的單利潤(rùn)，可得日銷售量的利潤(rùn)函數(shù)為關(guān)于x的三次多項(xiàng)式函數(shù)，再用求導(dǎo)數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，得出函數(shù)的極大值點(diǎn)，從而得出最大值對(duì)應(yīng)的x值．19.如圖，在底面是菱形的四棱錐P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，，E為線段PD上一點(diǎn)，且PE=2ED．（Ⅰ）若F為PE的中點(diǎn)，證明：BF∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MT：二面角的平面角及求法；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連接BD交AC于O，連接OE，可得O為BD的中點(diǎn)．再由已知得到E為DF的中點(diǎn)，得OE∥BF，由線面平行的判定可得BF∥平面ACE；（Ⅱ）連接PO，可得PO⊥AC，進(jìn)一步得到PO⊥平面ABCD．在求解三角形可得AB．分別以直線OC，OD，OP為x軸、y軸、z軸建立空間直角標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，得到平面平面ACE與平面PAC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角P﹣AC﹣E的余弦值．【解答】（Ⅰ）證明：連接BD交AC于O，連接OE，∵四邊形ABCD是菱形，∴O為BD的中點(diǎn)．又∵PE=2ED，F(xiàn)為PE的中點(diǎn)，∴E為DF的中點(diǎn)，得OE∥BF，又∵BF?平面ACE，OE?平面ACE，∴BF∥平面ACE；（Ⅱ）解：連接PO，∵PA=PC，∴PO⊥AC，∵PB=PD，∴PO⊥BD，而AC∩BD=O，得PO⊥平面ABCD．在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°，∴△ACD是等邊三角形．設(shè)AB=a，則，，在Rt△POD中，由PO2+OD2=PD2，得，解得．分別以直線OC，OD，OP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，由題意得，，，，由，得．設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，由得令y=1，得，取平面PAC的一個(gè)法向量為，則，∴二面角P﹣AC﹣E的余弦值為．20.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（Ⅰ）求角A的大??；（Ⅱ）若a=1，求△ABC周長(zhǎng)l的最大值．參考答案：（Ⅰ）由正弦定理得，

………………1分

………………2分

………………4分

又在中，

………………5分

.

………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）及，得

，即

………………8分

因?yàn)?（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

………………9分

所以．

則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）

……………11分

所以．

則當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值．

……………12分法二:（Ⅱ）由正弦定理得，

…………8分

則

……10分

因?yàn)?，所?/p>

………………11分

當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)取得最大值．

………………12分21.（本小題滿分13分）已知函數(shù).（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最值.參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)?………………5分所以的最小正周期．…7分

（II）由…………..9分

當(dāng)，…………….11分

當(dāng).……………….13分22.已知函數(shù)f（x）=ex（x2+ax+a）．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）若曲線y=f（x）存在兩條互相垂直的切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（只需直接寫(xiě)出結(jié)果）參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex（x2+x+1），求出其導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)即可解出單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式f（x）≤ea在[a，+∞）上有解，即x2+ax+a≤ea﹣x，在[a，+∞）上有解，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x，研究?jī)蓚€(gè)函數(shù)的在[a，+∞）上的單調(diào)性，即可轉(zhuǎn)化出關(guān)于a的不等式，從而求得a的范圍；（3）由f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex（x+2）（x+a），當(dāng)a≠﹣2時(shí)，函數(shù)y=f′（x）的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故f（x）圖象上存在兩條互相垂直的切線．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex（x2+x+1），則f′（x）=ex（x2+3x+2），令f′（x）＞0得x＞﹣1或x＜﹣2；令f′（x）＜0得﹣2＜x＜﹣1．∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間（﹣∞，﹣2）與（﹣1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（﹣2，﹣1）；（2）f（x）≤ea，即ex（x2+ax+a）≤ea，可變?yōu)閤2+ax+a≤ea﹣x，令r（x）=x2+ax+a，t（x）=ea﹣x，當(dāng)a＞0時(shí)，在[a