河南省南陽市河南大學(xué)附屬高級中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=x﹣存在單調(diào)遞減區(qū)間，且y=f（x）的圖象在x=0處的切線l與曲線y=ex相切，符合情況的切線l（）A．有3條 B．有2條 C．有1條 D．不存在參考答案：D【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，討論a＜0，a＞0可得a＞0成立，求得切線l的方程，再假設(shè)l與曲線y=ex相切，設(shè)切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得x0﹣﹣1=0，設(shè)h（x）=exx﹣ex﹣1，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得h（x）在（0，+∞）有唯一解，由a＞0，即可判斷不存在．【解答】解：函數(shù)f（x）=x﹣的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=1﹣e，依題意可知，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）有解，①a＜0時，f′（x）＜0在（﹣∞，+∞）無解，不符合題意；②a＞0時，f′（x）＞0即a＞e，lna＞，x＜alna符合題意，則a＞0．易知，曲線y=f（x）在x=0處的切線l的方程為y=（1﹣）x﹣1．假設(shè)l與曲線y=ex相切，設(shè)切點為（x0，y0），即有e=1﹣=（1﹣）x0﹣1，消去a得，設(shè)h（x）=exx﹣ex﹣1，則h′（x）=exx，令h′（x）＞0，則x＞0，所以h（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)x→﹣∞，h（x）→﹣1，x→+∞，h（x）→+∞，所以h（x）在（0，+∞）有唯一解，則，而a＞0時，，與矛盾，所以不存在．故選：D．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查直線方程的運用和構(gòu)造函數(shù)法，以及函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想的運用，屬于中檔題．2.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人數(shù)是持有C股票的人數(shù)的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人數(shù)比除了持有A股票外，同時還持有其它股票的人數(shù)多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．則只持有B股票的股民人數(shù)是（）A．7 B．6 C．5 D．4參考答案：A【考點】Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運算．【分析】由題意作出文氏圖，能求出只持有B股票的股民人數(shù)..【解答】解：由題意作出文氏圖，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人數(shù)是7人．故選：A．3.已知向量=(x,y),=(-1,2)，且+=（1，3），則

等于(

)A．

B.

C.

D.參考答案：【知識點】平面向量的坐標(biāo)運算；向量的模.F2【答案解析】C解析：=（+）﹣=（1，3）﹣（﹣1，2）=（2，1），||==故選C.【思路點撥】利用向量差的坐標(biāo)表示，求出=（x，y），再由||=計算即可．4.已知點M（，0），橢圓+y2=1與直線y=k（x+）交于點A、B，則△ABM的周長為（）A．4 B．8 C．12 D．16參考答案：B【考點】KG：直線與圓錐曲線的關(guān)系．【分析】直線過定點，由橢圓定義可得AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周長為AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出結(jié)果．【解答】解：直線過定點，由題設(shè)知M、N是橢圓的焦點，由橢圓定義知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周長為AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故選：B．【點評】本題考查橢圓的定義，直線經(jīng)過定點問題，直線和圓錐曲線的關(guān)系，利用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．5.設(shè)復(fù)數(shù)，則（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B略6.已知雙曲線上有一個點，它關(guān)于原點的對稱點為，雙曲線的右焦點為，滿足，且，則雙曲線的離心率的值是（）A．

B．

C.2

D．參考答案：B7.記集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：.考點：1、集合的基本運算.8.若方程的根在區(qū)間上，則的值為

A．

B．1

C．或1

D．或2參考答案：答案：C9.若集合A=，B=，則（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：C10.若，，則“”是“”的

A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知

。參考答案：略12.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，，過作橢圓長軸的垂線交橢圓于點，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于__________．參考答案：設(shè)到位于軸上方，坐標(biāo)為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．13.已知點P，A，B，C，D是球O表面上的點，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長為2正方形。若PA=2,則△OAB的面積為______________.參考答案：點【點評】本題主要考查組合體的位置關(guān)系、抽象概括能力、空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想，該題靈活性較強，難度較大。該題若直接利用三棱錐來考慮不宜入手，注意到條件中的垂直關(guān)系，把三棱錐轉(zhuǎn)化為長方體來考慮就容易多了。14.如果，，那么的取值范圍是

▲

．參考答案：15.已知集合,,則

．參考答案：，所以.16.已知直線,,則的值為▲,直線間的距離為▲.參考答案：；17.已知雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合，C1的方程為，若C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍，則C2的方程為．參考答案：【考點】KC：雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】求出雙曲線的焦點坐標(biāo)，利用漸近線的傾斜角的關(guān)系，列出方程，然后求解即可．【解答】解：雙曲線C1與雙曲線C2的焦點重合，C1的方程為，焦點坐標(biāo)（±2，0）．雙曲線C1的一條漸近線為：y=，傾斜角為30°，C2的一條漸近線的傾斜角是C1的一條漸近線的傾斜角的2倍，可得C2的漸近線y=．可得，c=2，解得a=1，b=，所求雙曲線方程為：．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知等比數(shù)列的公比為，是的前項和．（1）若，，求的值；（2）若，，有無最值？并說明理由；（3）設(shè)，若首項和都是正整數(shù)，滿足不等式：，且對于任意正整數(shù)有成立，問：這樣的數(shù)列有幾個？參考答案：（1）當(dāng)時，，，

2分當(dāng)時，，，

4分所以（可以寫成；（2）若，，則，當(dāng)時，，所以隨的增大而增大，而，此時有最小值為1，但無最大值．

6分當(dāng)時，①時，，所以隨的增大而增大，即是偶數(shù)時，，即：；

8分②時，，即：，所以隨的增大而減小，即是奇數(shù)時，，即：；由①②得：，有最大值為，最小值為．

10分（3）由得，所以，

11分，隨著的增大而增大，故，即：，，得．

13分當(dāng)時，，又，得共有個；

15分當(dāng)時，又，得共有個；

17分由此得：共有個．

18分19.雅禮中學(xué)研究性學(xué)習(xí)課題小組針對長沙市工薪階層對“長沙市樓市限購令”的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查，隨機調(diào)查了50位市民，他們月收入頻數(shù)分布表，以及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.月收入（單位：百元）[15,25)[25,35)[35,45)[45,55)[55,65)[65,75)頻數(shù)510151055贊成人數(shù)4812521

（1）完成下圖的月收入頻率分布直方圖（注意填寫縱坐標(biāo)）及2×2列聯(lián)表；

月收入不低于55百元人數(shù)月收入低于55百元人數(shù)合計贊成

不贊成

合計

（2）若從月收入（單位：百元）在[15,25)的被調(diào)查者中隨機選取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查，求選中的2人恰好有1人不贊成“樓市限購令”的概率.參考答案：（1）見解析；（2）【分析】（1）由所給數(shù)據(jù)計算各組頻率，再計算頻率除以組距，作頻率分布直方圖；（2）列出從5人（其中4人贊同，1人不贊同）取出2人的所有基本事件，找到其中恰有一人不贊同的基本事件數(shù)，計算其概率.【詳解】（1）各組的頻率分別是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，所以圖中各組的縱坐標(biāo)分別是：0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，

月收入不低于55百元人數(shù)月收入低于55百元人數(shù)合計贊成32不贊成18合計104050

（2）設(shè)月收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中贊成的分別是，，，，不贊成的是，從中選出兩人的所有結(jié)果有：，，，，，，，，，，其中選中的有：，，，.所以選中的2人恰好有1人不贊成“樓市限購令”的概率是.【點睛】該題考查的是有關(guān)概率統(tǒng)計的問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有補充列聯(lián)表，作頻率分布直方圖，古典概型，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵.20.坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，以O(shè)為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．圓O的參數(shù)方程為，（為參數(shù)，）(I)求圓心的一個極坐標(biāo)；(Ⅱ)當(dāng)為何值時，圓O上的點到直線的最大距離為3．參考答案：解：（1）因為圓心坐標(biāo)為

------1分設(shè)圓心的極坐標(biāo)為則

-----2分所以圓心的極坐標(biāo)為

------5分（2）直線的極坐標(biāo)方程為

直線的普通方程為

----6分圓上的點到直線的距離即

-----7分

圓上的點到直線的最大距離為

-----9分

……10分

略21.已知函數(shù)f（x）=|2x﹣a|+5x，其中實數(shù)a＞0．（Ⅰ）當(dāng)a=3時，求不等式f（x）≥4x+6的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤﹣2}，求a的值．參考答案：【考點】絕對值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）=|2x﹣3|+5x，通過對x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，再解不等式f（x）≥4x+6即可求得其解集；（Ⅱ）法一：（從去絕對值的角度考慮）通過對x取值范圍的分類討論，去掉不等式中的絕對值符號，解相應(yīng)的不等式，最后取并即可；法二：（從等價轉(zhuǎn)化角度考慮），|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等價于5x≤2x﹣a≤﹣5x，易解得，不等式f（x）≤0的解集為{x|x≤﹣2}，從而可求得a的值【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=3時，f（x）≥4x+6可化為|2x﹣3|≥﹣x+6，2x﹣3≥﹣x+6或2x﹣3≤x﹣6．由此可得x≥3或x≤﹣3．故不等式f（x）≥4x+6的解集為{x|x≥3或x≤﹣3}．…（Ⅱ）法一：（從去絕對值的角度考慮）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等價于或解之得或因為a＞0，所以不等式組的解集為，由題設(shè)可得，故a=6．…法二：（從等價轉(zhuǎn)化角度考慮）由f（x）≤0，得|2x﹣a|≤﹣5x，此不等式化等價于5x≤2x﹣a≤﹣5x，即為不等式組解得因為a＞0，所以不等式組的解集為，由題設(shè)可得，故a=6．…22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)在是單調(diào)減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)時，證明：（其中（e≈2.718……即自然對數(shù)的底數(shù)）參考答案：（1）定義域為...........................................1分..................................................2分當(dāng)時,遞增,當(dāng)時,遞減,......................................................3分的單調(diào)增區(qū)間為的單調(diào)減區(qū)間為.............