河南省開(kāi)封市蔡莊中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面中復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限參考答案：A.試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，化簡(jiǎn)得，所以.根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義知，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限.故應(yīng)選A.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.2.從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則a<b的概率為()參考答案：D略3.已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，則集合A∩B中的元素個(gè)數(shù)為()A．0B．1

C．2

D．無(wú)窮個(gè)參考答案：C4.函數(shù)，其在點(diǎn)處的切線為，軸和直線分別交于點(diǎn)，又點(diǎn)，若的面積為時(shí)的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：B略5.已知f(x)=x2–2x+3，g(x)=kx–1，則“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的

（

）(A)充分但不必要條件

(B)必要但不充分條件(C)充要條件

(D)既不充分也不必要條件參考答案：A解：f(x)≥g(x)óx2–2x+3≥kx–1óx2–(2+k)x+4≥0，此式對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立ó△=(2+k)2-16≤0ó-4≤k+2≤4ó-6≤k≤2，而“|k|≤2”是“-6≤k≤2”的充分不必要條件，故選A.6.已知集合A={1，3，4，5}，集合B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．4 C．8 D．16參考答案：C【分析】求出集合B，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可．【解答】解：B={x∈Z|x2﹣4x﹣5＜0}=B={x∈Z|﹣1＜x＜5}={0，1，2，3，4}，則A∩B={1，3，4}，故A∩B的子集個(gè)數(shù)為23=8個(gè)，故選：C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及集合關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件求出A∩B是解決本題的關(guān)鍵．7.在二面角a-l-b的半平面a內(nèi)，線段AB⊥l，垂足為B；在半平面b內(nèi)，線段CD⊥l，垂足為D；M為l上任一點(diǎn)．若AB=2，CD=3，BD=1，則AM+CM的最小值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A設(shè)，則，，建立平面直角坐標(biāo)系，看作動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和，最小值為直線段SQ的長(zhǎng),選A.評(píng)：本題也可以將二面角展平成一個(gè)平面，這樣，只須求出在“平面”內(nèi)A、C之間的距離即為AM+CM的最小值．8.在這五個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，各位數(shù)字之和為奇數(shù)的共有（

）A．36個(gè)

B．24個(gè)

C．18個(gè)

D．6個(gè)參考答案：B要使數(shù)字之和為奇數(shù)，需有一個(gè)奇數(shù)或者由三個(gè)奇數(shù)。若有一個(gè)奇數(shù)，共有中組成方法；若有三個(gè)奇數(shù)，共有種組成方法，所以共有24種組成方法，因此選B。9.“微信搶紅包”自2015年以來(lái)異常火爆，在某個(gè)微信群某次進(jìn)行的搶紅包活動(dòng)中，若所發(fā)紅包的總金額為10元，被隨機(jī)分配為1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人搶，每人只能搶一次，則甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】先求出基本事件總數(shù)n=C=15，再求出其中金額之和大于等于4有可能的種數(shù)，由此能求出甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率．【解答】解：所發(fā)紅包的總金額為10元，被隨機(jī)分配為1.49元，1.81元，2.19元，3.41元，0.62元，0.48元，共6份，供甲、乙等6人搶，每人只能搶一次，基本事件總數(shù)n=C=15，其中金額之和大于等于4有可能有：（0.62，3.41），（1.49，3.41），（1.81，2.19），（1.81，3.41），（2.19，3.41），共有5種，∴甲、乙二人搶到的金額之和不低于4元的概率p=．故選：C．10.若sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，則sinαcosβ的值為（）A． B． C． D．參考答案：A【分析】利用兩角和與差公式打開(kāi)化簡(jiǎn)，即可得答案．【解答】解：由sin（α+β）=2sin（α﹣β）=，可得sinαcosβ+cosαsinβ=…①sinαcosβ﹣cosαsinβ=…②由①②解得：sinαcosβ=，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差公式運(yùn)用和計(jì)算能力．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)a＞0.若曲線與直線x＝a，y=0所圍成封閉圖形的面積為a，則a=____

__.參考答案：略12.等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若a5=10，S5=30，則+++…+=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化思想；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d．可得Sn，再利用“裂項(xiàng)求和”方法即可得出．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a5=10，S5=30，∴，解得a1=d=2．∴Sn==n（n+1），∴==．則+++…+=++…+=1﹣=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．13.已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)是2，側(cè)棱長(zhǎng)是，則該正四棱錐的體積為．參考答案：

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA=，設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，求出PO，由此能求出該正四棱錐的體積．【解答】解：如圖，正四棱錐P﹣ABCD中，AB=2，PA=，設(shè)正四棱錐的高為PO，連結(jié)AO，則AO=AC=．在直角三角形POA中，PO===1．所以VP﹣ABCD=?SABCD?PO=×4×1=．故答案為：．14.如圖，在四邊形ABCD中，＝5，BD＝4，O為BD的中點(diǎn)，且＝，則＝

▲

．參考答案：－3在中，由余弦定理可得：，由題意可得：，，故.

15.已知向量，若.則銳角=

.參考答案：16.在直角三角形ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，則=．參考答案：10【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【分析】建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法，確定A，B，D，P的坐標(biāo)，求出相應(yīng)的距離，即可得到結(jié)論．【解答】解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|CA|=a，|CB|=b，則A（a，0），B（0，b）∵點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)P為線段CD的中點(diǎn)，∴P∴===∴|PA|2+|PB|2==10（）=10|PC|2∴=10．故答案為：1017.已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f（x）的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)g（x）的圖象，則函數(shù)g（x）的解析式是

．參考答案：g（x）=2sin（2x+）

【考點(diǎn)】由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】通過(guò)函數(shù)的圖象求出A，求出函數(shù)的周期，利用周期公式求出ω，函數(shù)過(guò)（﹣，2），結(jié)合φ的范圍，求出φ，推出函數(shù)的解析式，通過(guò)函數(shù)圖象的平移推出結(jié)果．【解答】解：∵由圖象知A=2，T=﹣（﹣）=，∴T=π?ω=2，∵2sin[2×（﹣）+φ]=2，∴可得：2×（﹣）+φ=2kπ，k∈Z，∵﹣π＜φ＜π，∴得：φ=，可得：f（x）=2sin（2x+），∴則圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象解析式為g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x+），故答案為：g（x）=2sin（2x+）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查學(xué)生的識(shí)圖能力，函數(shù)的解析式的求法，圖象的變換，考查計(jì)算能力，屬于基本知識(shí)的考查．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)，（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的最大值與最小值.參考答案：（Ⅰ）………………5分（Ⅱ）.因?yàn)?，所?又因?yàn)樵趨^(qū)間上是遞增，在區(qū)間上遞減.所以，當(dāng)，即時(shí)，有最大值；當(dāng)，即時(shí)，有最小值.

……14分19.如圖：已知平面ABCD⊥平面BCE，平面ABE⊥平面BCE，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC為等邊三角形，P是線段CD上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：平面ABE⊥平面ADE；（2）求直線AB與平面APE所成角的最大值；（3）是否存在點(diǎn)P，使得AP⊥BD？請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面與平面垂直的判定；直線與平面所成的角．【分析】（1）證明平面ABE的法向量、面ADE的一個(gè)法向量垂直，即可證明平面ABE⊥平面ADE；（2）利用向量的數(shù)量積公式，求直線AB與平面APE所成角的最大值；（3）利用反證法證明不存在點(diǎn)P，使得AP⊥BD．【解答】（1）證明：∵平面ABCD⊥平面BCE=BC，在平面ABCD內(nèi)作AM⊥BC，則AM⊥平面BCE，同理，在平面ABE內(nèi)作AN⊥BE，則AN⊥平面BCE，∴AM∥AN，即AM，AN重合，AB⊥平面BCE，取BE、AE中點(diǎn)O、F，連結(jié)OC、OF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE、OC、OF為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，則A（﹣2，0，4），B（﹣2，0，0），，，E（2，0，0），可得平面ABE的法向量為=（0，2，0）設(shè)面ADE的一個(gè)法向量為則可得從而，平面ABE⊥平面ADE．（2）解：設(shè)|CP|=d，則，設(shè)面APE的一個(gè)法向量為則可得=（1，，1）．設(shè)直線AB與面ADE所成角為θ，則sinθ=∈（0，），所以，從而直線AB與平面APE所成角的最大值為．（3）解：由（2）知，，則，，d=﹣4＜0，故不存在點(diǎn)P，使得AP⊥BD．20.已知曲線C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)）．（Ⅰ）化C1，C2的方程為普通方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；（Ⅱ）過(guò)曲線C2的左頂點(diǎn)且傾斜角為的直線l交曲線C1于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】（1）把參數(shù)方程利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系消去參數(shù)，化為普通方程，從而得到它們分別表示什么曲線；（2）先求出過(guò)曲線C2的左頂點(diǎn)且傾斜角為的直線l參數(shù)方程，然后代入曲線C1，利用參數(shù)的應(yīng)用進(jìn)行求解的即可．【解答】解：（1）∵C1：（t為參數(shù)），C2：（θ為參數(shù)），∴消去參數(shù)得C1：（x+2）2+（y﹣1）2=1，C2：，曲線C1為圓心是（﹣2，1），半徑是1的圓．曲線C2為中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是8，短軸長(zhǎng)是6的橢圓．（2）曲線C2的左頂點(diǎn)為（﹣4，0），則直線l的參數(shù)方程為（s為參數(shù)）將其代入曲線C1整理可得：s2﹣3s+4=0，設(shè)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為s1，s2，則s1+s2=3，s1s2=4，所以|AB|=|s1﹣s2|==．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，兩點(diǎn)的距離公式的應(yīng)用，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．21.記，若不等式的解集為（1，3），試解關(guān)于的不等式.參考答案：由題意知.且故二次函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù).…………4分又因?yàn)?，…?分故由二次函數(shù)的單調(diào)性知不等式等價(jià)于即

……10分故即不等的解為：.……12分略22.已知如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，MC⊥平面ABC，D、E分別是線段AC、AB的中點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折至△NDE，平面NDE⊥平面ABC．（Ⅰ）求證：平面BCM∥平面EDN；（Ⅱ）求三棱錐M﹣EDN的體積V．參考答案：【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LU：平面與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出MC∥平面EDN，從而B(niǎo)C∥ED，進(jìn)而B(niǎo)C∥平面NDE，由此能證明平面BCM∥平面EDN．（Ⅱ）設(shè)BC中點(diǎn)為G，連接AG交DE于F．則AG⊥ED，推導(dǎo)出GF⊥平面NDE，由此能求出三棱錐M﹣NDE的體積．【解答】證明：（Ⅰ）∵平面EDN⊥平面ABC，MC⊥平面ABC，MC?平面EDN，∴MC∥平面EDN．…（2分）由已知，BC∥ED，∵BC?平面NDE，ED?平面NDE，∴BC∥平面NDE