偏微分課件概要物理模型方程分類第一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系2參考書目《數(shù)學(xué)物理方程》,王明新,清華大學(xué)出版社?！稊?shù)學(xué)物理方程》，姜禮尚，高教出版社。《工程技術(shù)中的偏微分方程》，潘祖梁，浙江大學(xué)出版社。第二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系3一.偏微分方程的基本概念自變量未知函數(shù)偏微分方程的一般形式第三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系4PDE的階：PDE的解古典解廣義解一些概念是指這樣一個函數(shù)，它滿足方程，并且在所考慮的區(qū)域內(nèi)有m階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。線性PDE非線性PDE半線性PDE擬線性PDE完全非線性PDE第四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系5線性PDE：PDE中對所含未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的全體都是線性的。例如：常系數(shù)線性PDE:不然稱為變系數(shù)的．齊次線性PDE:不然稱為非齊次的．線性PDE的主部:具有最高階數(shù)偏導(dǎo)數(shù)組成的部分．主部第五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系6PDE中對最高階導(dǎo)數(shù)是線性的。例如：半線性PDE：完全非線性PDE：PDE中對最高階導(dǎo)數(shù)不是線性的。擬線性PDE：擬線性PDE中，最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)僅為自變量的函數(shù)。例如：第六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系7舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）1.2.變換解為：解為：第七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系8舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）4.3.解為：變換解為：第八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系95.不易找出其通解，但還是可以找出一些特解任意解析函數(shù)的實(shí)部和虛部均滿足方程。也是解6.特解都不易找到KDV方程舉例（未知函數(shù)為二元函數(shù)）`第九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系107.擬線性PDE8.擬線性PDE9.半線性PDE10.半線性PDE11.完全非線性PDE第十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系11舉例(多元函數(shù))拉普拉斯(Laplace)方程熱傳導(dǎo)方程波動方程第十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系12二.定解問題的適定性定解問題PDE定解條件初值條件邊值條件初、邊值條件初值問題、邊值問題、混合問題第十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系13經(jīng)典的定解問題舉例波動方程的初值問題（一維）第十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系14經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初值問題（一維）第十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系15經(jīng)典的定解問題舉例二維調(diào)和方程的邊值問題第一邊值問題（Dirichlet）第二邊值問題（Neumann）第三邊值問題（Robin）第十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系16經(jīng)典的定解問題舉例熱傳導(dǎo)方程的初、邊值問題第十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系17何為適定性？存在性唯一性連續(xù)依賴性（穩(wěn)定性）適定性若PDE在附加條件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函數(shù)類中存在、唯一而且關(guān)于附加條件為穩(wěn)定的，就稱定解問題在相應(yīng)的函數(shù)類中為適定的。穩(wěn)定性：只要定解條件的偏差足夠小，相應(yīng)的定解問題解的偏差也將非常?。谑唔?，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系18三.物理模型與定解問題的導(dǎo)出弦振動方程的導(dǎo)出第十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系19弦振動方程與定解問題

一長為L的柔軟均勻細(xì)弦，拉緊后，當(dāng)它受到與平衡位置垂直的外力作用時，開始作微小橫振動。假設(shè)這運(yùn)動發(fā)生在同一平面內(nèi)，求弦上各點(diǎn)位移隨時間變化規(guī)律。弦上各點(diǎn)作往返運(yùn)動的主要原因在于弦的張力作用，弦在運(yùn)動過程中各點(diǎn)的位移、加速度和張力都在不斷變化，但它們遵循物理的運(yùn)動規(guī)律。由此可以建立弦上各點(diǎn)的位移函數(shù)所滿足的微分方程。第十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系20取弦的平衡位置為OX軸，運(yùn)動平面為XOUOUXPQL在時刻t，弦線在x點(diǎn)的位移為u(x,t)OUXPQ此為上圖中PQ的放大圖示第二十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系21假設(shè)弦線是均勻的，弦作微小振動，故可認(rèn)為即表明弧段PQ在振動過程中長度近似不變。因此根據(jù)Hooke定律，弦上各點(diǎn)的張力T的大小與時間t無關(guān)。再由于弦是柔軟的，弦上各點(diǎn)的張力T的方向正是弦的切線方向。第二十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系22(*1)(*2)設(shè)為弦的線密度(單位長度的質(zhì)量)，為作用在弦線上且垂直于平衡位置的強(qiáng)迫外力密度(單位長度的力)，根據(jù)牛頓第二定律，第二十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系23(*1)這表明張力的大小與x也無關(guān)，即常數(shù)(*2)，微分中值定理第二十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系24令，可得微分方程方程弦是均勻的，故為常數(shù)，記方程改寫為刻劃了均勻弦的微小橫振動的一般規(guī)律。通常稱為弦振動方程。第二十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系25為了具體給出弦的振動規(guī)律，除了列出它所滿足的方程外，由于弦開始時的形狀和弦上各點(diǎn)的速度，對弦振動將有直接影響，由此必須列出初始條件或者(以及)邊界條件已知端點(diǎn)的位移已知在端點(diǎn)受到垂直于弦的外力的作用已知端點(diǎn)的位移與所受外力作用的一個線性組合第二十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系26四.二階線性方程的分類兩個自變量，齊次主部目的：通過自變量的非奇異變換來簡化方程的主部，從而據(jù)此分類。非奇異（1）第二十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系27復(fù)合求導(dǎo)第二十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系28系數(shù)之間的關(guān)系（2）（1）（3）第二十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系29其他系數(shù)之間的關(guān)系（3*）第二十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系30考慮如若能找到兩個相互獨(dú)立的解那么就作變換從而有（4）第三十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系31假設(shè)是方程的特解，則關(guān)系式是常微分方程（4）（5）的一般積分。反之亦然。引理由此可知，要求方程（4）的解，只須求出常微分方程（5）的一般積分。第三十一頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系32定義稱常微分方程（5）為PDE（1）的特征方程。稱（5）的積分曲線為PDE（1）的特征曲線。（6）第三十二頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系33記定義方程(1)在點(diǎn)M處是雙曲型：橢圓型：拋物型：若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有若在點(diǎn)M處，有第三十三頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系34雙曲型PDE右端為兩相異的實(shí)函數(shù)它們的一般積分為由此令，方程（1）可改寫為雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)型雙曲型方程的第二標(biāo)準(zhǔn)型第三十四頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系35拋物型PDE由此得到一般積分為由此令，其中與獨(dú)立的任意函數(shù)。第三十五頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系36由于由此推出第三十六頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系37因此，方程（1）可改寫為拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)型而第三十七頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系38橢圓型PDE右端為兩相異的復(fù)數(shù)由此推出兩族復(fù)數(shù)積分曲線為其中第三十八頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系39由此令從而方程（1）可改寫為，滿足方程（4）橢圓型方程的標(biāo)準(zhǔn)型第三十九頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系40例1拋物型方程令第四十頁，共四十四頁，編輯于2023年，星期六浙江大學(xué)數(shù)學(xué)系41例2雙曲型方程第