2021-2022學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市振興中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)過(guò)曲線f（x）=﹣ex﹣x（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上任意一點(diǎn)處的切線為l1，總存在過(guò)曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．[﹣1，2] B．（﹣1，2） C．[﹣2，1] D．（﹣2，1）參考答案：A【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)f（x）=﹣ex﹣x的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求得∈（0，1），再求出g（x）的導(dǎo)函數(shù)的范圍，然后把過(guò)曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過(guò)曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系求解．【解答】解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，∵ex+1＞1，∴∈（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g′（x）=a﹣2sinx，又﹣2sinx∈[﹣2，2]，∴a﹣2sinx∈[﹣2+a，2+a]，要使過(guò)曲線f（x）=﹣ex﹣x上任意一點(diǎn)的切線為l1，總存在過(guò)曲線g（x）=ax+2cosx上一點(diǎn)處的切線l2，使得l1⊥l2，則，解得﹣1≤a≤2．即a的取值范圍為﹣1≤a≤2．故選：A．2.有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有（A）240種

（B）192種

（C）96種

（D）48種參考答案：B略3.若數(shù)列的通項(xiàng)公式,記,試通過(guò)計(jì)算的值，推測(cè)出為（）A.

B.C.

D.參考答案：B略4.若a,b,c>0且，則的最小值為……（

）

A．

B．

C．2

D．4參考答案：B5.如圖，二面角的大小是60°，線.，與所成的角為30°.則與平面所成的角的正弦值是

▲

；

參考答案：略6.雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于（）A．2 B．2

C．4

D．4參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】根據(jù)雙曲線的離心率以及焦點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程組即可得到結(jié)論．【解答】解：∵：﹣=1（a＞0，b＞0）的離心率為2，∴e=，雙曲線的漸近線方程為y=，不妨取y=，即bx﹣ay=0，則c=2a，b=，∵焦點(diǎn)F（c，0）到漸近線bx﹣ay=0的距離為，∴d=，即，解得c=2，則焦距為2c=4，故選：C7.西大附中數(shù)學(xué)組有實(shí)習(xí)老師共5名，現(xiàn)將他們分配到高二年級(jí)的1、2、3三個(gè)班實(shí)習(xí)，每班至少1名，最多2名，則不同的分配方案有（

）A．30種

B．90種C．180種

D．270種參考答案：B8.拋物線的準(zhǔn)線方程為

A．

B．

C．

D．參考答案：C略9.拋物線（＞）的焦點(diǎn)為F，已知點(diǎn)A，B為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足．過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為（

）A．2 B．

C．1

D．參考答案：D【分析】設(shè)，，連接，，由拋物線定理可得，由余弦定理可得，然后根據(jù)基本不等式，求得的取值范圍，即可得到答案【詳解】設(shè)，，連接，由拋物線定義可得，在梯形中，余弦定理可得：配方可得：又即的最大值為故選

10.直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，則該橢圓的離心率為（）A． B． C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】設(shè)出橢圓的方程，求出直線的方程，利用已知條件列出方程，即可求解橢圓的離心率．【解答】解：設(shè)橢圓的方程為：，直線l經(jīng)過(guò)橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，則直線方程為：，橢圓中心到l的距離為其短軸長(zhǎng)的，可得：，4=b2（），∴，=3，∴e==．故選：B．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.右圖是一個(gè)下半部分為正方體、上半部分為正三棱柱的盒子(中間連通)，若其表面積為，則其體積為

．參考答案：12.若直線與雙曲線始終有公共點(diǎn)，則取值范圍是

。參考答案：

解析：

當(dāng)時(shí)，顯然符合條件；當(dāng)時(shí)，則13.

參考答案：30°14.將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax﹣by=0與圓（x﹣2）2+y2=2相交的概率為．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；古典概型及其概率計(jì)算公式．【分析】利用古典概型概率計(jì)算公式，先計(jì)算總的基本事件數(shù)N，再計(jì)算事件直線ax﹣by=0與圓（x﹣2）2+y2=2相交時(shí)包含的基本事件數(shù)n，最后事件發(fā)生的概率為P=【解答】解：∵直線ax﹣by=0與圓（x﹣2）2+y2=2相交，∴圓心到直線的距離即a＜b∵設(shè)一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)為（a，b），則這樣的有序整數(shù)對(duì)共有6×6=36個(gè)其中a＜b的有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共5+4+3+2+1=15個(gè)，∴直線ax﹣by=0與圓（x﹣2）2+y2=2相交的概率為P=故答案為．15.定義一種運(yùn)算“*”，它對(duì)于整數(shù)n滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：（1）2*1001=1；

（2）（2n+2）*1001=3·[（2n）*1001]，則2008*1001的值是

.參考答案：16.已知函數(shù)g（x）=x2﹣2ax，f（x）=﹣ln（x+1），若存在x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]使得f′（x1）≥g（x2）成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：a≥1【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用；3R：函數(shù)恒成立問(wèn)題；3W：二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】先將問(wèn)題等價(jià)為：f'（x）min≥g（x）min，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值，解不等式即可得到所求范圍．【解答】解：根據(jù)任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f′（x1）＞g（x2）成立，只需滿足：f'（x）min≥g（x）min，而f'（x）=x2﹣，x∈[0，1]時(shí)為增函數(shù)，所以，f'（x）min=f（0）=﹣1，g（x）=x2﹣2ax的圖象是開口朝上，且以直線x=a為對(duì)稱軸的拋物線，①若a＜1，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（1）=1﹣2a，因此，﹣1≥1﹣2a，解得a≥1，故此時(shí)不存在滿足條件的a值；②若1≤a≤2，則x∈[1，a]時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，x∈[a，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，所以，g（x）min=g（a）=﹣a2，因此，﹣1≥﹣a2，解得a≤﹣1，或a≥1，故此時(shí)1≤a≤2；③若a＞2，則x∈[1，2]時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，g（x）min=g（2）=4﹣4a，因此﹣1≥4﹣4a：，解得a≥，故此時(shí)a＞2；綜上可得：a≥1故答案為：a≥117.用等值算法求294和84的最大公約數(shù)時(shí)，需要做

次減法.參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.設(shè)集合，那么“”是“”的A、充分不必要條件

B、必要不充分條件

C、充要條件

D、既不充分也不必要條件參考答案：A略19.已知命題，若m＞，則mx2﹣x+1=0無(wú)實(shí)根，寫出該命題的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假．參考答案：【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】根據(jù)四種命題的定義，可得該命題的逆命題、否命題、逆否命題，進(jìn)而判斷它們的真假．【解答】解：若m＞時(shí)，則方程為二次方程，且△=1﹣4m＜0，為真命題，其逆命題為：若mx2﹣x+1=0無(wú)實(shí)根，則m＞為真命題，其否命題為：若m≤，則mx2﹣x+1=0有實(shí)根為真命題，其逆否命題為：若mx2﹣x+1=0有實(shí)根，則m≤為真命題．20.已知的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且在處的切線方程是求的解析式；參考答案：

略21.已知圓C的圓心坐標(biāo)（1，1），直線l：x+y=1被圓C截得弦長(zhǎng)為，（1）求圓C的方程；（II）從圓C外一點(diǎn)p（2，3）向圓引切線，求切線方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓的位置關(guān)系．【分析】（I）設(shè)圓C的半徑為r，根據(jù)圓心坐標(biāo)寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離即為弦心距，然后根據(jù)垂徑定理得到其垂足為弦的中點(diǎn)，由弦長(zhǎng)的一半，圓心距及半徑構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于r的方程，求出方程的解即可得到r的值，從而確定圓C的方程；（II）當(dāng)切線方程的斜率不存在時(shí)，顯然得到x=2為圓的切線；當(dāng)切線方程的斜率存在時(shí)，設(shè)出切線的斜率為k，由P的坐標(biāo)和k寫出切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到所設(shè)直線的距離d，根據(jù)直線與圓相切，得到d等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出切線的方程，綜上，得到所求圓的兩條切線方程．【解答】解：（I）設(shè)圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=r2因?yàn)閳A心C到直線l的距離：d==，所以：r2=+=1，即r=1，圓的方程為：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1；（II）當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，顯然x=2為圓的一條切線；當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線的斜率為k，則切線方程為y﹣3=k（x﹣2），即：kx﹣y﹣2k+3=0由=1，解得k=，所以切線方程為y﹣3=（x﹣2），即3x﹣4y+6=0綜上：所求的切線方程為x=2和3x﹣4y=6=0．22.對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為G函數(shù)．①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數(shù)g（x）=x2與h（x）=2x﹣b是定義在[0，1]上的函數(shù)．（1）試問(wèn)函數(shù)g（x）是否為G函數(shù)？并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)，求實(shí)數(shù)b組成的集合．參考答案：【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)G函數(shù)的定義，驗(yàn)證函數(shù)g（x）是否滿足條件．即可（2）若函數(shù)h（x）是G函數(shù)根據(jù)條件結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷求解即可．【解答】解：（1）是，理由如下：當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，總有g(shù)（x）=x2≥0，滿足①，當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），滿足②…（2）h（x）=2x﹣b為增函數(shù)，h（x）≥h