廣西壯族自治區(qū)河池市那社中學(xué)林場2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線平面，直線平面，直線∥平面，則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為（

）A.大前提錯誤

B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤

D.非以上錯誤參考答案：A2.若集合，則A∩B=（

）A.[0,3] B.[1,3] C.(1,3] D.(0,3]參考答案：D【分析】求出A中不等式的解集確定出A，找出A與B的交集即可．【詳解】A＝{x|x2﹣3x0}＝，B＝{x|}＝∴A∩B＝故選：D．【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵．3.若A（－2，3），B（3，－2），C（，）三點共線，則的值為（）A．

B．2

C．

D．－2參考答案：A4.設(shè)f（x）是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f（x）滿足：“當(dāng)f（k）≥k2成立時，總可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”．那么，下列命題總成立的是（） A．若f（1）＜1成立，則f（10）＜100成立 B．若f（2）＜4成立，則f（1）≥1成立 C．若f（3）≥9成立，則當(dāng)k≥1時，均有f（k）≥k2成立 D．若f（4）≥25成立，則當(dāng)k≥4時，均有f（k）≥k2成立 參考答案：D【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】“當(dāng)f（k）≥k2成立時，總可推出f（k+1）≥（k+1）2成立”是一種遞推關(guān)系，前一個數(shù)成立，后一個數(shù)一定成立，反之不一定成立． 【解答】解：對A，因為“原命題成立，否命題不一定成立”，所以若f（1）＜1成立，則不一定f（10）＜100成立；對B，因為“原命題成立，則逆否命題一定成立”，所以只能得出：若f（2）＜4成立，則f（1）＜1成立，不能得出：若f（2）＜4成立，則f（1）≥1成立；對C，當(dāng)k=1或2時，不一定有f（k）≥k2成立；對D，∵f（4）≥25≥16，∴對于任意的k≥4，均有f（k）≥k2成立． 故選D 【點評】本題主要考查對函數(shù)性質(zhì)的理解，正確理解題意是解決本題的關(guān)鍵． 5.已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的表面積為(

)A． B． C．2π D．4π參考答案：D【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；數(shù)形結(jié)合；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；球．【分析】畫出圖形，正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，求出PO1，OO1，解出球的半徑，求出球的表面積即可．【解答】解：正四棱錐P﹣ABCD的外接球的球心在它的高PO1上，記為O，PO=AO=R，PO1=1，OO1=R﹣1，或OO1=1﹣R（此時O在PO1的延長線上），在Rt△AO1O中，R2=1+（R﹣1）2得R=1，∴球的表面積S=4πR2=4π．故選：D．【點評】本題考查了球的表面積，球的內(nèi)接體問題，考查計算能力，是基礎(chǔ)題．6.橢圓的左、右頂點分別為，點在上且直線的斜率的取值范圍是，那么直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．參考答案：B略7.若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，則m的值為（

）A.1或3 B.2或3 C.3 D.2參考答案：C【分析】利用冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】∵冪函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，∴即故選：C【點睛】本題考查冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)的定義域為

（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.若圓的圓心到直線的距離為則（

）A.或

B.或

C.或

D.或參考答案：C10.已知集合,則A.(－∞,3) B.(－1,+∞) C. (－1,1)

D.(1,3)參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機抽取1張，事件A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得為黑桃”，則概率P（A∪B）=．（結(jié)果用最簡分數(shù)表示）參考答案：【考點】互斥事件的概率加法公式．【分析】由題意知本題是一個古典概型和互斥事件，分別求兩個事件的概率是我們熟悉的古典概型，這兩個事件是不能同時發(fā)生的事件，所以用互斥事件的概率公式得到結(jié)果．【解答】解：由題意知本題是一個古典概型和互斥事件，∵事件A為“抽得紅桃K”，∴事件A的概率P=，∵事件B為“抽得為黑桃”，∴事件B的概率是P=，∴由互斥事件概率公式P（A∪B）=．故答案為：．12.若復(fù)數(shù)為實數(shù)，則實數(shù)___▲_____；參考答案：略13.函數(shù)在上的最大值與最小值的和為，則______．參考答案：214.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是A1B1上一點，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角的正切值為，設(shè)三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑為a，則=．參考答案：【考點】球內(nèi)接多面體；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【分析】過E作EF∥AA1交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，則∠EGF為平面EBD與平面AB﹣CD所成銳二面角的平面角，設(shè)AB=3，求出A1E=1，可得三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑，即可得出結(jié)論．【解答】解：過E作EF∥AA1交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，則∠EGF為平面EBD與平面AB﹣CD所成銳二面角的平面角，∵，∴，設(shè)AB=3，則EF=3，∴，則BF=2=B1E，∴A1E=1，則三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑，∴．故答案為．【點評】本題考查三棱錐A﹣A1D1E外接球的直徑，考查面面角，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．15.已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0），F(xiàn)1（﹣c，0）是左焦點，圓x2+y2=c2與雙曲線左支的一個交點是P，若直線PF1與雙曲線右支有交點，則雙曲線的離心率的取值范圍是．參考答案：（，+∞）【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)直線PF的方程為y=k（x+c），由直線和圓相交，可得k不為0，求得圓和雙曲線的交點P，運用兩點的斜率公式，由題意可得k＜，解不等式可得b＞2a，結(jié)合離心率公式計算即可得到所求范圍．【解答】解：設(shè)直線PF1的方程為y=k（x+c），即kx﹣y+kc=0，由直線和圓有交點，可得＜c，解得k≠0．聯(lián)立圓x2+y2=c2與雙曲線方程﹣=1，解得交點P，設(shè)為（﹣，）．可得k=＞0，由題意可得k＜，結(jié)合a2+b2=c2，a＜c2﹣ab，化簡可得b＞2a，即有b2＞4a2，可得c2＞5a2，即有e=＞．故答案為：（，+∞）16.已知直線與圓交于兩點，且（其中為坐標原點），則實數(shù)等于

.

參考答案：略17.已知，則的最大值是

.參考答案：10三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=sin+2sin2（x﹣）（x∈R）．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．參考答案：【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象．【分析】（Ⅰ）利用差角三角函數(shù)，結(jié)合輔助角公式，化簡函數(shù)，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由已知，即可求函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos=2[]+1=2sin+1=2sin（2x﹣）+1．∴T==π．…（6分）（Ⅱ）由已知得：所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為…（12分）【點評】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．19.（本小題6分）

如圖，已知—正三棱錐P-ABC的底面棱長AB=3，高PO=，求這個正三棱錐的表面積．參考答案：20.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.參考答案：(Ⅰ)；(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，又由，得，即.又因為，得到，.由余弦定理可得.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，從而，.故.【點睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識.考查計算求解能力.21.已知f（x）=ax﹣lnx，x∈（0，e]，g（x）=，其中e是自然常數(shù)，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時，研究f（x）的單調(diào)性與極值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求證：f（x）＞g（x）+；（Ⅲ）是否存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點】6E：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)f（x）的極小值；（Ⅱ）f（x）在（0，e]上的最小值為1，令h（x）=g（x））+，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可證得結(jié)論；（Ⅲ）假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，求導(dǎo)函數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，利用f（x）的最小值是3，即可求解．【解答】（Ⅰ）解：f（x）=x﹣lnx，f′（x）=…∴當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減當(dāng)1＜x＜e時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增

…∴f（x）的極小值為f（1）=1

…（Ⅱ）證明：∵f（x）的極小值為1，即f（x）在（0，e]上的最小值為1，∴f（x）＞0，f（x）min=1…令h（x）=g（x））+=+，，…當(dāng)0＜x＜e時，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增

…∴h（x）max=h（e）=＜=1=|f（x）|min

…∴在（1）的條件下，f（x）＞g（x）+；…（Ⅲ）解：假設(shè)存在實數(shù)a，使f（x）的最小值是3，f′（x）=①當(dāng)a≤0時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．…②當(dāng)0＜＜e時，f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，在（，e]上單調(diào)遞增，f（x）min=f（）=1+lna=3，∴a=e2，滿足條件．…③當(dāng)時，x∈（0，e]，所以f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，f（x）min=f（e）=ae﹣1=3，∴a=（舍去），所以，此時f（x）無最小值．…綜上，存在實數(shù)a=e2，使f（x）的最小值是3．…22.對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分數(shù)列，其中。對正整數(shù)k，規(guī)定為的k階差分數(shù)列，其中。（1）

若數(shù)列首項，且滿足，求數(shù)列的通項公式；（2）

對（1）中的數(shù)列，是否存在等差數(shù)列，使得對一切正整數(shù)都成立？若存在，求數(shù)列的通項公式；若不存在，請說明理由；（3）

令，設(shè)，若恒成立，求最小的正整數(shù)M的值。