2021年河南省信陽市楠桿中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.曲線在點處的切線傾斜角為A． B． C． D．參考答案：A略2.如圖動直線l：y=b與拋物線y2=4x交于點A，與橢圓交于拋物線右側(cè)的點B，F(xiàn)為拋物線的焦點，則AF+BF+AB的最大值為（）A．3 B． C．2 D．參考答案：D【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合拋物線的定義及橢圓定義把AF+BF+AB轉(zhuǎn)化求得最大值．【解答】解：如圖，延長BA交拋物線的準線于C，設(shè)橢圓的左焦點為F′，連接BF′，則由題意可得：AC=AF，BF=2a﹣BF′，∴AF+BF+AB=AC+2a﹣BF′+AB=AC+AB+2a﹣BF′=BC+2a﹣BF′=2a﹣（BF′﹣BC）．≤2a=．∴AF+BF+AB的最大值為．故選：D．3.極坐標方程表示的曲線是（

）A．一個圓

B．兩個圓

C.兩條直線

D．一個圓和一條直線參考答案：D4.當變化時，直線和圓的位置關(guān)系是（

）相交

相切

相離

不確定參考答案：A略5.二項式的展開式中含項的系數(shù)為 A．

B．

C．

D．參考答案：D6.已知圓的方程為x2+y2﹣6x﹣8y=0，設(shè)該圓過點（3，5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A．10 B．20 C．30 D．40參考答案：B【考點】直線與圓相交的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意可知，過（3，5）的最長弦為直徑，最短弦為過（3，5）且垂直于該直徑的弦，分別求出兩個量，然后利用對角線垂直的四邊形的面積等于對角線乘積的一半求出即可．【解答】解：圓的標準方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2=52，由題意得最長的弦|AC|=2×5=10，根據(jù)勾股定理得最短的弦|BD|=2=4，且AC⊥BD，四邊形ABCD的面積S=|AC|?|BD|=×10×4=20．故選B7.設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則

（

）A. B. C. D.參考答案：A略8.已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A幾何體為一個三棱錐，如圖，所以表面積為，選A.

9.雙曲線的漸近線方程是（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.橢圓+=1上一點P到一個焦點的距離為5,則P到另一個焦點的距離為A、10

B、6

C、5

D、4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若關(guān)于x的二項式的展開式中一次項的系數(shù)是－70，則a=__________．參考答案：【分析】利用二項式定理的展開式的通項公式，通過冪指數(shù)為1，即可得到實數(shù)的值?！驹斀狻空归_式通項公式為，由，得，所以一次項的系數(shù)為，得，故答案為：．【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，特定項的求法，熟練掌握二項式展開式的通項公式是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。12.已知等差數(shù)列{an}中a4=12，若a2，a4，a8成等比數(shù)列，則公差d=

．參考答案：0或3【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】方程思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，運用等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)，解方程可得公差d．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a4=12，可得a1+3d=12，①由a2，a4，a8成等比數(shù)列，可得：a42=a2a8，即為（a1+3d）2=（a1+d）（a1+7d），化簡可得d2=a1d，②由①②解得d=0或3．故答案為：0或3．【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的性質(zhì)的運用，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn．若Sn=2an﹣n，則+++=

．參考答案：

【分析】Sn=2an﹣n，n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1，化為：an+1=2（an﹣1+1），n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1．利用等比數(shù)列的通項公式可得an=2n﹣1，于是==．利用裂項求和方法即可得出．【解答】解：∵Sn=2an﹣n，∴n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣n﹣[2an﹣1﹣（n﹣1）]，∴an=2an﹣1+1，化為：an+1=2（an﹣1+1），n=1時，a1=2a1﹣1，解得a1=1．∴數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．∴an+1=2n，即an=2n﹣1，∴==．∴+++=++…+=1﹣=．故答案為：．14.凸四邊形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=CD=1，AB=2。以它的一邊為軸旋轉(zhuǎn)，所得旋轉(zhuǎn)體的體積最大可達到

。參考答案：15.已知數(shù)據(jù)a1，a2，…，an的方差為4，則數(shù)據(jù)2a1，2a2，…，2an的方差為

．參考答案：16【考點】極差、方差與標準差．【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)與方差，即可求出數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)和方差．【解答】解：設(shè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2；則數(shù)據(jù)ax1+b，ax2+b，…，axn+b的平均數(shù)是a+b，方差為a2s2；當a=2時，數(shù)據(jù)2a1，2a2，…，2an的方差為22×4=16．故答案為：16．16.在等差數(shù)列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，則a2+a8=．參考答案：180【考點】等差數(shù)列的性質(zhì)．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項數(shù)之和相等的兩項之和相等，化簡已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡后，將a5的值代入即可求出值．【解答】解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=450，得到a5=90，則a2+a8=2a5=180．故答案為：180．【點評】此題考查學(xué)生靈活運用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．學(xué)生化簡已知條件時注意項數(shù)之和等于10的兩項結(jié)合．17.直線被曲線所截得的弦長等于______．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在直角坐標系xOy中，圓與軸負半軸交于點A，過點A的直線AM,AN分別與圓O交于M,N兩點．（Ⅰ）若,，求的面積；（Ⅱ）若直線過點，證明：為定值，并求此定值．參考答案：（I）；（II）證明見解析，．試題分析：（I）由題意，得出直線的方程為，直線的方程為，由中位線定理，得，由此可求解的面積；（II）當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系、韋達定理，即可化簡得出為定值；當斜率不存在時，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，即可得到為定值．試題解析：（Ⅰ）由題知，所以，為圓的直徑，的方程為，直線的方程為，所以圓心到直線的距離，所以，由中位線定理知，，；（Ⅱ）設(shè)、，①當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入圓的方程中有：，整理得：，則有，，；②當直線斜率不存在時，直線的方程為，代入圓的方程可得：，，；綜合①②可得：為定值，此定值為．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題．【方法點晴】本題主要考查了三角形的面積的求法、定值的確定與計算、直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，此類問題的解答中，把直線的方程代入圓錐曲線的方程，得到一元二次方程，利用判別式、根據(jù)系數(shù)的關(guān)系、韋達定理的合理運用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想和分析問題和解答問題的能力，綜合性強、運算量大，屬于中檔試題．19.已知的二項展開式中第五項的系數(shù)與第三項的系數(shù)的比是10：1.（1）

求二項展開式中各項系數(shù)的和；（2）

求二項展開式中系數(shù)最大的項和二項式系數(shù)最大的項.參考答案：解：（1）

……2分

……3分解得n=8

………4分

……5分（2）法一：寫出二項展開式的所有項，觀察比較即得系數(shù)最大的項為

……10分由二項式系數(shù)的性質(zhì)知二項式系數(shù)最大的項為

…………12分

法二：設(shè)的系數(shù)最大則r是偶數(shù)時系數(shù)為正，可知，r取2，4，6.又由，得，r=6，展開式中系數(shù)最大的項為

……10分二項式系數(shù)最大的項為

……12分

略20.（10分）已知函數(shù)。若曲線與曲線相交，且在交點處有相同的切線，求的值和切線的方程.參考答案：

……3分由已知得，解得：.

……6分所以兩條切線交點為，切線斜率為.……8分所以切線方程為

即.

……10分21.已知數(shù)列{an}中，，.（1）寫出的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中你的結(jié)論.參考答案：（1），，，猜想（2）見解析【分析】（1）依遞推公式計算，并把各分子都化為3，可歸納出；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．【詳解】解：（1），，∴，，，猜想（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當時，由知猜想成立；②假設(shè)時，猜想成立，即則∴時，猜想成立，根據(jù)①②可知，猜想對一切正整數(shù)都成立.【點睛】本題考查歸納推理，考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于基礎(chǔ)題．在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，在證明時的命題時一定要用到時的歸納假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法．22.某校高三共有800名學(xué)生，為了解學(xué)生3月月考生物測試情況，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)差異較大，從中隨機抽取了200名學(xué)生，記錄他們的分數(shù)，并整理得如圖頻率分布直方圖．（1）若成績不低于60分的為及格，成績不低于80分的為優(yōu)秀，試估計總體中合格的有多少人？優(yōu)秀的有多少人？（2）已知樣本中有一半的女生分數(shù)不小于