2021-2022學(xué)年河南省洛陽市第六中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.滿足條件的所有集合的個(gè)數(shù)是A.1 B.2 C.3 D.4參考答案：D2.如圖，已知三棱錐P-ABC，PA⊥平面ABC，D是棱BC上的動(dòng)點(diǎn)，記PD與平面ABC所成的角為，與直線BC所成的角為，則與的大小關(guān)系為（

）A. B.C. D.不能確定參考答案：C【分析】先找到PD與平面ABC所成的角，再將要比較的角通過構(gòu)造的直角三角形建立三角函數(shù)值之間的關(guān)系，比較即可．【詳解】如圖所示：∵PA⊥平面ABC，∴PD與平面ABC所成的角=∠PDA,過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接PE，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAE，∴BC⊥PE,在Rt△AED，Rt△PAD，Rt△PED中：cos，cos，cos，∴coscoscos<cos,又均銳角，∴，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了空間中的線面關(guān)系，直線與平面所成的角、線線角及直角三角形中三角函數(shù)值的定義的應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，屬于中檔題．3.已知點(diǎn)，，P為曲線上任意一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A.[1,7] B.[－1,7] C. D.參考答案：A【分析】結(jié)合已知曲線方程，引入?yún)?shù)方程，然后結(jié)合和角正弦公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)則由可得，令，，，，，，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及三角函數(shù)性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，參數(shù)方程的應(yīng)用是求解本題的關(guān)鍵.4.已知不等式組，（a＞1）表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)（x0，y0）在平面區(qū)域D上，則3x0﹣y0的最小值等于（）A．4a﹣3 B．﹣1 C．1 D．參考答案：C【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足3x0﹣y0的最優(yōu)解，求解最小值．【解答】解：作出不等式組（a＞1）對(duì)應(yīng)的平面如圖：由解得交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)（x0，y0）在平面區(qū)域D上，則3x0﹣y0的最小值就是直線3x﹣y=z經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）取得，故3x0﹣y0的最小值為3﹣2=1．故選：C．5.在程序框圖中，輸入，按程序運(yùn)行后輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C由于程序中根據(jù)的取值，產(chǎn)生的值也不同，故可將程序中的值從小到大，每四個(gè)分為一組，即，．∵當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)，即時(shí)，；否則，即時(shí)，．故可知：每組的4個(gè)數(shù)中，偶數(shù)值乘以累加至，但兩個(gè)奇數(shù)對(duì)應(yīng)的值相互抵消，即，故選C．6.某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參加視力測(cè)試，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（

）（A）8，8（B）9，7

（C）10，6（D）12，4參考答案：B略7.若函數(shù)在上既是奇函數(shù)，也是減函數(shù)，則的圖像是（

）參考答案：A8.設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合，定義集合且，若，，則（

）A.{0,1} B.{1,2} C.{0,1,2} D.{0,1,2,5}參考答案：D由題意可得：，結(jié)合題中新定義的集合運(yùn)算可得：.本題選擇D選項(xiàng).9.函數(shù)y=的圖象可能是（）參考答案：B略10.命題“，”的否定是 A．

B．不存在 C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=﹣2x+y的最小值為．參考答案：﹣5【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=﹣2x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可．【解答】解：設(shè)x，y滿足約束條件：，在直角坐標(biāo)系中畫出可行域△ABC，由，可得A（2，﹣1），所以z=﹣2x+y的最小值為﹣5．故答案為：﹣512.某工程由四道工序組成，完成它們需用時(shí)間依次為天．四道工序的先后順序及相互關(guān)系是：可以同時(shí)開工；完成后，可以開工；完成后，可以開工．若該工程總時(shí)數(shù)為9天，則完成工序需要的天數(shù)最大是

．參考答案：答案：3解析：因?yàn)橥瓿珊?，才可以開工，C完成后，才可以開工，完成A、C、D需用時(shí)間依次為天，且可以同時(shí)開工，該工程總時(shí)數(shù)為9天，。13.已知實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組其中，則的最大值是_____．參考答案：25【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求出最大值即可．【詳解】=4，x，y滿足不等式組的可行域如圖：x2+y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（x，y）與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方，由圖形可知，點(diǎn)A到原點(diǎn)距離最大，由，解得A（4，3），所以x2+y2的最大值為25．故答案為：25．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，定積分的應(yīng)用，利用的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．14.（文科）已知函數(shù)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，則

．參考答案：15.閱讀如圖所示程序框圖，若輸出的n=5，則滿足條件的整數(shù)p共有

個(gè)．參考答案：32【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】分析程序框圖最后一次運(yùn)行的情況，即可求出滿足條件的整數(shù)p共有多少個(gè)．【解答】解：模擬程序框圖的運(yùn)行過程，最后一次循環(huán)是：S=22+23+24=28，滿足條件，S＜P；執(zhí)行循環(huán)S=28+25=60，n=5，不滿足條件，S≥P；終止循環(huán)，輸出n=5；所以滿足條件的整數(shù)p共有60﹣28=32個(gè)．故答案為：32．16.過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于A,B，若M是線段AB的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為

參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【答案解析】解：設(shè)，則，

∵過點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓：相交于A，B兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，∴兩式相減可得，

∴∴，∴．【思路點(diǎn)撥】利用點(diǎn)差法，結(jié)合是線段的中點(diǎn)，斜率為，即可求出橢圓的離心率．17.四棱錐中，平面，，，，已知是四邊形內(nèi)部一點(diǎn)，且二面角的平面角大小為，若動(dòng)點(diǎn)的軌跡將分成面積為的兩部分，則________.參考答案：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)Q的軌跡與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為Q（0，b，0）（b＞0）．由題意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．設(shè)平面APD的法向量為=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量為=（x2，y2，z2）則即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小為，∴cos＜＞=即解得b=．∴S△ADQ=．S梯形ABCD﹣S△ADQ=．∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案為（3﹣4）：4．點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)Q的軌跡在四邊形ABCD內(nèi)的部分，它就是一條線段DQ，確定點(diǎn)Q在y軸上的位置,由于本題的背景比較適宜用坐標(biāo)系和空間向量來解答.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D為AC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AB1∥面BDC1；（Ⅱ）求二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）在側(cè)棱AA1上是否存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1？并證明你的結(jié)論．參考答案：考點(diǎn)：二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．專題：計(jì)算題；證明題．分析：（I）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD，我們由三角形的中位線定理，易得OD∥AB1，進(jìn)而由線面平行的判定定理得到AB1∥面BDC1；（Ⅱ）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面C1BD和平面BDC的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角C1﹣BD﹣C的余弦值；（Ⅲ）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在點(diǎn)P，使得CP⊥面BDC1，我們可以設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而構(gòu)造方程組，若方程組有解說明存在，若方程組無解，說明滿足條件的P點(diǎn)不存在．解答： 證明：（I）連接B1C，與BC1相交于O，連接OD∵BCC1B1是矩形，∴O是B1C的中點(diǎn)．又D是AC的中點(diǎn)，∴OD∥AB1．∵AB1?面BDC1，OD?面BDC1，∴AB1∥面BDC1．解：（II）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則C1（0，0，0），B（0，3，2），C（0，3，0），A（2，3，0），D（1，3，0）設(shè)=（x，y，z）是面BDC1的一個(gè)法向量，則即，令x=1則=（1，，）．易知=（0，3，0）是面ABC的一個(gè)法向量．∴cos＜，＞=．∴二面角C1﹣BD﹣C的余弦值為．（III）假設(shè)側(cè)棱AA1上存在一點(diǎn)P（2，y，0）（0≤y≤3），使得CP⊥面BDC1．則，即∴方程組無解．∴假設(shè)不成立．∴側(cè)棱AA1上不存在點(diǎn)P，使CP⊥面BDC1．點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角及求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是證得OD∥AB1，（II）（III）的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題和線面垂直問題轉(zhuǎn)化為空間向量夾角問題．19.已知拋物線的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M.

（1）若M點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0），求拋物線的方程；

（2）過點(diǎn)M的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)P、Q，若（其中F是拋物線的焦點(diǎn)），求證：直線l的斜率為定值.參考答案：解析：（1）

，∴拋物線方程為（2）設(shè)P（x-1,y1），Q（x2,y2）l的斜率為k.

①l的方程為聯(lián)立y2=2px，得

②又

③聯(lián)立①②③得經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，l與拋物線交于兩個(gè)點(diǎn).證畢.20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）如果當(dāng)且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：解：由題，（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，，，函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為；（Ⅱ）設(shè)①當(dāng)時(shí)，故增區(qū)間為；若設(shè)設(shè)兩根分別為，②當(dāng)時(shí)，，所以增區(qū)間為；③當(dāng)時(shí)，，所以增區(qū)間為，增區(qū)間為；綜上，當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，增區(qū)間為；（Ⅲ）可化為，設(shè)由（Ⅱ）可知：①若有，由單調(diào)性，對(duì)，此時(shí)，，同理，對(duì)，此時(shí)，，所以符合題意；②若有，可知?jiǎng)t對(duì)，此時(shí)，，不符合題意；綜上，符合題意的略21.（本題滿分14分）定義：若，使得成立，則稱為函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)(1)下列函數(shù)不存在不動(dòng)點(diǎn)的是（

）---（單選）A.

（）

B.(b>1)C.

D.(2)設(shè)

(),求的極值(3)設(shè)

().當(dāng)>0時(shí)，討論函數(shù)是否存在不動(dòng)點(diǎn)，若存在求出的范圍，若不存在說明理由。參考答案：解.（1）C┅┅4分（2）①當(dāng)a=0時(shí)，，在上位增函數(shù)，無極值；②當(dāng)a<0時(shí)，>0恒成立，在上位增函數(shù)，無極值；③當(dāng)a>0時(shí),=0,得，列表如下：X0_增極大值減當(dāng)時(shí)，有極大值=綜上，當(dāng)時(shí)無極值，當(dāng)a>0時(shí)有極大值=.┅┅10分（3）假設(shè)存在不動(dòng)點(diǎn)，則方程有解，即有解。設(shè)，（a>0）有（2）可知極大值，下面判斷極大值是否大于0，設(shè)，（a>0）,,列表如下：Ae0—P(a)增極大值減當(dāng)a=e時(shí)，極大值=p(e)=<0,所以恒成立，即極大值小于零，所以無不動(dòng)點(diǎn)。┅┅14分22.（14分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)x∈（0，e]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)時(shí)，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0，得f′（x）=，從而f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）由f′（x）=，當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)時(shí)，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）≤0得a范圍是（﹣∞，）；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a≤0，0＜＜e，≥e的情況，從而得出答案．【解答】解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=x2+x﹣lnx，x＞0∴f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：x＞，x＜﹣1（舍），令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在（0，）遞減，在（，+∞）遞增；（Ⅱ）∵f′（x）=，當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，2]上是減函數(shù)時(shí)，得f′（1）=2+a﹣1≤0①，f′（2）=8+2a﹣1≤0②，由①②得：a≤﹣，∴a的范圍是（﹣∞，﹣]；（Ⅲ）∵f（x）=x2+ax﹣lnx，∴g（x）=f（x）﹣x2=ax﹣ln