2022-2023學(xué)年江西省宜春市航天中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.同時(shí)具有性質(zhì)：①圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是；②在[﹣，]上是增函數(shù)的一個(gè)函數(shù)為（）A．y=sin（+） B．y=cos（2x+） C．y=sin（2x﹣） D．y=cos（﹣）參考答案：C【考點(diǎn)】三角函數(shù)的周期性及其求法．【分析】由題意求出函數(shù)周期，可知滿足條件的函數(shù)是選項(xiàng)B或C，再由在[﹣，]上是增函數(shù)進(jìn)一步判斷只有C符合．【解答】解：由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離是，可知，T=π，選項(xiàng)B、C滿足．由x∈[﹣，]，得2x∈[0，π]，函數(shù)y=cos（2x+）為減函數(shù)，不合題意．由x∈[﹣，]，得2x﹣∈[，]，函數(shù)y=sin（2x﹣）為增函數(shù)，符合合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．2.下列說法錯(cuò)誤的是(

)A．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心B．兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1C．在回歸直線方程中,當(dāng)解釋變量每增加1個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位D．對(duì)分類變量與,隨機(jī)變量的觀測(cè)值越大,則判斷“與有關(guān)系”的把握程度越小參考答案：D試題分析：根據(jù)相關(guān)定義分析知A、B、C正確；C中對(duì)分類變量與的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說，越大，“與有關(guān)系”的招把握程度越大，故C不正確，故選D．考點(diǎn)：命題真假的判斷．3.已知實(shí)數(shù)x，y滿足，則的取值范圍是（

）A．[0,5] B． C． D．[0,5)參考答案：D畫出不等式組所表示的區(qū)域，如圖陰影部分所示，作直線：，平移可知，，即的取值范圍是，故選D．4.如果若干個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“同簇函數(shù)”．給出下列函數(shù)：

①；

②；③；

④．其中“同簇函數(shù)”的是A.①②

B.①④

C.②③

D.③④參考答案：D5.設(shè)，則不等式的解是

A.

B．

C．

D．或參考答案：D略6.設(shè)集合，，則（

）

A．

B．

C．

D．

參考答案：、A略7.復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C8.已知函數(shù),若有,則的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B9.設(shè)函數(shù)，若，（

）A．2 B．－2 C．2019 D．－2019參考答案：B因?yàn)椋?，因此函?shù)為奇函數(shù)，又，所以．故選B．10.下列說法正確的是（

）A．“為真”是“為真”的充分不必要條件；B．已知隨機(jī)變量，且，則；C．若，則不等式成立的概率是；D．已知空間直線，若，，則．參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f（x）=sinxcosx的最小正周期是．參考答案：π考點(diǎn)：二倍角的正弦；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：根據(jù)二倍角的正弦公式，化簡(jiǎn)可得f（x）=sin2x，再由三角函數(shù)的周期公式即可算出函數(shù)f（x）的最小正周期．解答：解：∵sin2x=2sinxcosx∴f（x）=sinxcosx=sin2x，因此，函數(shù)f（x）的最小正周期T==π故答案為：π點(diǎn)評(píng)：本題給出三角函數(shù)式，求函數(shù)的周期，著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)和三角函數(shù)周期的求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．12.如果直線和函數(shù)的圖象恒過同一個(gè)定點(diǎn)，且該定點(diǎn)始終落在圓的內(nèi)部或圓上，那么的取值范圍

.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)．B6

H3【答案解析】[]．

解析：函數(shù)f（x）=mx+1+1的圖象恒過點(diǎn)（﹣1，2），代入直線2ax﹣by+14=0可得﹣2a﹣2b+14=0，即a+b=7．∵定點(diǎn)始終落在圓（x﹣a+1）2+（y+b﹣2）2=25的內(nèi)部或圓上，∴a2+b2≤25設(shè)=t，則b=at，代入a+b=7，∴a=代入a2+b2≤25可得，∴12t2﹣25t+12≤0，∴．故答案為：[]．【思路點(diǎn)撥】求出函數(shù)恒過的定點(diǎn)，代入直線方程，及圓的方程，再換元，轉(zhuǎn)化為t的不等式，即可求出的取值范圍.13.（2009福建卷理）某校開展“愛我海西、愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委為參賽作品A給出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示。記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后，算的平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清。若記分員計(jì)算失誤，則數(shù)字應(yīng)該是___________參考答案：解析：觀察莖葉圖，可知有。14.正方體的棱長(zhǎng)為，是它的內(nèi)切球的一條弦（我們把球面上任意兩點(diǎn)之間的線段稱為球的弦），為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是

．參考答案：因?yàn)槭撬膬?nèi)切球的一條弦，所以當(dāng)弦經(jīng)過球心時(shí)，弦的長(zhǎng)度最大，此時(shí).以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖.根據(jù)直徑的任意性，不妨設(shè)分別是上下底面的中心，則兩點(diǎn)的空間坐標(biāo)為，設(shè)坐標(biāo)為，則,,所以，即.因?yàn)辄c(diǎn)為正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，，所以根據(jù)的對(duì)稱性可知，的取值范圍與點(diǎn)在哪個(gè)面上無(wú)關(guān)，不妨設(shè)，點(diǎn)在底面內(nèi)，此時(shí)有，所以此時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)最小，當(dāng)?shù)挥谡叫蔚乃膫€(gè)頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)有，所以的最大值為2.，所以，即的取值范圍是15.若函數(shù)是奇函數(shù),則

參考答案：略16.若復(fù)數(shù)滿足（i為虛數(shù)單位），則

；

．參考答案：；；17._________參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=lnx﹣x，g（x）=ax2﹣a（x+1）（其中a∈R），令h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)y=h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)a＜0時(shí)，若f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立，求a的最小整數(shù)值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】計(jì)算題；分類討論；分類法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用．【分析】（1）求導(dǎo)，分別判斷導(dǎo)函數(shù)在定義域上各區(qū)間的符號(hào)，可得函數(shù)y=h（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）①當(dāng)﹣=1，即a=﹣1時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立；②當(dāng)﹣＞1，即﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立；當(dāng)﹣1＜＜0，即a＜﹣1時(shí)，考慮h（﹣a）＜0時(shí)，a的取值，進(jìn)而可得答案．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=（1﹣x）（+a），∵a＞0，∴+a＞0，∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＞0；當(dāng)x＞1時(shí)，h′（x）＜0；故函數(shù)y=h（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，1），單調(diào)減區(qū)間為（1，+∞）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=，令h′（x）=0，則x=1，x=﹣，①當(dāng)﹣=1，即a=﹣1時(shí)，h′（x）＞0在x∈（0，1）上恒成立，則h（x）在x∈（0，1）上為增函數(shù)，h（x）＜h（1）=﹣＜0，∴f（x）＜g（x）恒成立；②當(dāng)﹣＞1，即﹣1＜a＜0時(shí)，h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，此時(shí)0＜﹣a＜1，故h（x）在（0，﹣a）上是增函數(shù)，h（x）＜h（﹣a）＜h（1）=﹣1＜0，解得：a＜∴﹣1＜a＜0時(shí)，f（x）＜g（x）恒成立；③當(dāng)﹣1＜＜0，即a＜﹣1時(shí)，故h（x）在（0，﹣）上是增函數(shù)，在（﹣，1）上是減函數(shù)，在（1，﹣a）是增函數(shù)；由===＜0，故只需考慮h（﹣a）＜0，∵h(yuǎn)（﹣a）==＜0，下面用特殊整數(shù)檢驗(yàn)，若a=﹣2，則h（2）=ln2+4﹣8=ln2﹣4＜0若a=﹣3，則h（3）=ln3+﹣15=ln3﹣＜0若a=﹣4，則h（4）=ln4+32﹣24=ln4+8＞0令u（x）=，則u′（x）=，當(dāng)x≤﹣4時(shí)，u′（x）＜0恒成立，此時(shí)u（x）為減函數(shù)，故u（x）≥u（4）＞0再由a≤﹣4時(shí)，ln（﹣a）＞0，故a≤﹣4時(shí)，h（﹣a）＞0恒成立，綜上所述，使f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立的a的最小整數(shù)值為﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，存在性討論，分類討論思想，難度較大，屬于難題．19.在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且．（1）求角A的大??；（2）若，△ABC的面積為，求b+c的值．參考答案：(1)由已知及正弦定理得：，，(2)又所以，．20.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點(diǎn)．（I）求橢圓的方程；（II）直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，在、上分別存在異于點(diǎn)的點(diǎn)、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．參考答案：（I）依題意，可設(shè)橢圓的方程為．

由

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則，解得∴橢圓的方程為······························································································（II）聯(lián)立方程組，消去整理得··························∵直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，解得

①·············································∵原點(diǎn)在以為直徑的圓外，∴為銳角，即．而、分別在、上且異于點(diǎn)，即···············································設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則

解得

，

②·····················································綜合①②可知：

21.（本小題滿分12分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，是橢圓

上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與的斜率乘積，動(dòng)點(diǎn)滿足,（其中實(shí)數(shù)為常數(shù)）。問是否存在兩個(gè)定點(diǎn),，使得為定值？若存在，求,的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點(diǎn)在第一象限，且點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)在軸上的射影為，連接并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)．證明：．參考答案：（I）有題設(shè)可知：∴

(2分)又，∴，(3分)∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為（4分）（II）設(shè)P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則由得(x，y)＝(x1，y1)＋(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2)，即x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2.（5分）因?yàn)辄c(diǎn)A、B在橢圓x2＋2y2＝2上，因此x1x2＋2y1y2＝0，所以x2＋2y2＝2＋2.即(7分)所以P點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，則由橢圓的定義|PF1|＋|PF2|為定值．又因c＝因此兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．所以存在兩個(gè)定點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)．使得|PF1|＋|PF2|（8分）（Ⅲ）設(shè)，有題設(shè)可知：由題意可知：，∴③（9分）④（10分）將③代入④可得：⑤

點(diǎn)A，D在橢圓x2＋2y2＝2上，∴（11分）∴，∴