第十二章能量法§12—1概述§12—2桿件變形能的計算§12—3變形能的普遍形式§12－4單位力法(莫爾積分)§12—5互等定理§12－6卡氏定理§12—7能量法解超靜定問題§12—8圖乘法§12—9能量法中其它原理的簡介小結(jié)第十二章能量法1第一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—1概述一、變形能（應變能）：

變形固體在外力作用下由變形而儲存的能量。

1、彈性變形能具有可逆性。2、塑性變形能不具有可逆性。彈性變形能：變形固體在外力作用下由于產(chǎn)生彈性變形而儲存的能量。

第十二章能量法2第二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、變形能的計算：

利用能量守恒原理三、能量法：利用功能原理和功、能的概念進行計算的方法。能量守恒原理：

變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形而儲存的能量，在數(shù)值上等于外力所作的外力功。

常見的能量法——功能原理、單位力法（莫爾積分法）、卡氏定理、圖乘法。第十二章能量法3第三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—2桿件變形能的計算一、軸向拉壓桿的變形能在線彈性范圍內(nèi)：FL△LFΔL1F1dΔL1dF1第十二章能量法4第四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、扭轉(zhuǎn)軸的變形能φΤφ1T1dφ

1dT1mmL在線彈性范圍內(nèi)：第十二章能量法5第五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五三、彎曲梁的變形能θM四、注意1、同種類型荷載的變形能不能疊加。2、變形能的大小與加載次序無關(guān)，只與最終值有關(guān)。在線彈性范圍內(nèi)：第十二章能量法6第六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五證11）共同作用下：F1LF2L2）單獨作用下：3）單獨作用下：證畢。F1LF2第十二章能量法7第七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五證21）若先加1F3）此過程總的變形能2）在加完后再加F2證畢F1LF2第十二章能量法8第八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—3變形能的普遍形式一、對線性彈性體的一般受力情況：——克拉貝依隆原理（——廣義力，——廣義位移）F1F2F3FiΔ1Δ2Δ3Δi第十二章能量法9第九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、對線性彈性體的組合變形桿：FFmmmTmT第十二章能量法10第十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例1：圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力F

的作用。求A點的垂直位移。EI，GIp已知解：用能量法（外力功等于應變能）①、求內(nèi)力FMTAPjBntFFs第十二章能量法11第十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五③、外力功等于變形能②、變形能：第十二章能量法12第十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例2：用能量法求C點的撓度。梁為等截面直梁。EI已知在應用對稱性，得：解：①、求內(nèi)力③、外力功等于變形能②、變形能：F第十二章能量法13第十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五LaBCAF例3：圖示桁架結(jié)構(gòu)，已知BC桿的長度為L，兩桿的抗拉壓剛度均為EA，在B點受鉛垂力F。求B點的垂直位移。

解、①、求內(nèi)力FFN1FN2xy③、外力功等于變形能②、變形能：第十二章能量法14第十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例4：已知剛架的EI、GIp，力F鉛垂。求C點的鉛垂位移。

解、①、求內(nèi)力③、功等于變形能②、變形能：FABCbx1ax2第十二章能量法15第十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12－4單位力法(莫爾積分法)一、問題的提出：桿件在外力作用下，任意截面沿任意方向的位移如何確定？二、單位力法的原理欲求任意點A的位移wAq（x）w

AA圖aF第十二章能量法16第十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五w

AAF=1圖dF第十二章能量法17第十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五——單位力法（莫爾積分）的基本計算公式。結(jié)論：普遍形式的單位力法原理（莫爾定理）第十二章能量法18第十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五三、注意的問題1、此種方法存在兩個力系：一個為實際的力系；另一個為單位力系。2、單位力必須與所求位移相對應：求線位移——在所求點沿所求位移方向加單位集中力求角位移——在所求點沿所求位移方向加單位集中力偶4、結(jié)果為“+”說明所加單位力方向與實際位移方向相同；“-”說明所加單位力方向與實際位移方向相反。四、公式的使用條件：線彈性的小變形、各種力引起的位移各自獨立。3、內(nèi)力的坐標系必須一致，每段桿的坐標系可自由建立。莫爾積分必須遍及整個結(jié)構(gòu)。第十二章能量法19第十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例5：用單位力法求等截面直梁C點的撓度和轉(zhuǎn)角，（EI已知）③、積分求變形解：①、求載荷作用下的內(nèi)力②、虛加單位力，再求內(nèi)力aaACBF=1xxwc第十二章能量法20第二十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五m=1④、求轉(zhuǎn)角，重建坐標系（如圖）x1x2x1x2第十二章能量法21第二十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例6：折桿A處為一軸承，允許桿在軸承內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，但不能上下移動，已知：E=210Gpa，G=0.4E，求B點的垂直位移500300F=1BACC20510解：①、畫單位載荷圖②、求內(nèi)力Fxx1第十二章能量法22第二十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五③、變形②、求內(nèi)力若用疊加法？第十二章能量法23第二十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例7：用單位力法求C點的水平位移。（EI已知）③、變形解：①、畫單位載荷圖②、求內(nèi)力bx2ABCax1Fx2ABCx11第十二章能量法24第二十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例8：用單位力法求剛架AD兩點的相對水平位移。（EI已知）③、變形解：①、畫單位載荷圖②、求內(nèi)力FFADBCLLLx1x1x311ADBCx1x1x3第十二章能量法25第二十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例9：用單位力法求桁架BD兩節(jié)點的相對位移。（EA已知）FADBCLLLLF=1ADBCF=1③、變形解：①、畫單位載荷圖②、求內(nèi)力（如圖所示）000-F1第十二章能量法26第二十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—5互等定理一、前提條件：線彈性、小變形。二、基本原理：1、線彈性小變形物體在F1作用下，F(xiàn)1點處對應的位移為Δ1。則外力功為：2、先加F1再加F2，且F2點處對應的位移為Δ2，F(xiàn)1點處增加的位移為Δ’1。此時外力功為：F1Δ1F1Δ1Δ’1Δ2F2第十二章能量法27第二十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五F1Δ1F2Δ2Δ／23、先加F2再加F1，同上相似F2點處在F2作用下對應的位移為Δ2，F(xiàn)1點處在F1作用下對應的位移為Δ1，F(xiàn)2點處由于F1的作用增加的位移為Δ／2。此時外力功為：4、因為變形能的大小與加載次序無關(guān)，只于外力的最終值有關(guān)，從而可得——第十二章能量法28第二十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五三、功的互等定理：既：第一組力在第二組引起的位移上作的功，等于第二組力在第一組引起的位移上作的功。四、位移互等定理（令F1=F2）：既：F1作用點沿F1作用方向因F2引起的位移，等于F2作用點沿F2作用方向因F1引起的位移。F1Δ1Δ／1Δ2F2F1Δ1F2Δ2Δ／2第十二章能量法29第二十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

例10：圖示等截面直梁，EI已知，求：B點的支座反力ABCFaL解：1、去掉B支座，用支座反力代替。ABCFFBY2、第一組力為F、FBY；第二組力為F=1。

3、在第一組力作用下B處的位移為

wB1；在第二組力作用下B處的位移為

wB2，C處的位移為wC2。4、利用功的互等定理：ABCF=1第十二章能量法30第三十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12－6卡氏(Castigliano)定理一、問題的提出利用功能原理——ABFLwA=？L/2L/2CABFwC=？第十二章能量法31第三十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、卡氏定理（使用條件：線彈性、小變形結(jié)構(gòu)）三、證明F1ΔiF2F

iΔ1Δ2δΔ1δΔ2δΔiδFi在δFi上完成的功為：其余各力完成的功共為：變形能的增量為第十二章能量法32第三十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五3、根據(jù)互等定理有：——（1）——（2）4、比較（1）、（2）兩式得——卡氏定理證畢。第十二章能量法33第三十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五四、注意的問題⑤、結(jié)果為正時，說明Δi與F

i的方向相同；結(jié)果為負時，說明Δi與的F

i方向相反。①、Vε——整體結(jié)構(gòu)在外載作用下的線彈性變形能。②、Fi

視為變量，結(jié)構(gòu)反力和變形能等都必須表示為F

i的函數(shù)③、Δi

為F

i

作用點的、沿F

i

方向的變形。④、Δi處要有相應的荷載，當無與Δi對應的Fi時，可采用附加力法進行計算。既先加一沿Δi方向的

F

i

（在所求位移處沿所求位移的方向加上相對應的附加力）

，求偏導后，再令其為零，結(jié)果即為實際荷載作用的位移。第十二章能量法34第三十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五五、用卡氏定理計算桿件位移1、軸向拉壓桿：2、扭轉(zhuǎn)軸：3、彎曲梁、剛架：（，為廣義力、廣義位移。）4、組合變形的結(jié)構(gòu)：第十二章能量法35第三十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

例11圖示梁的材料為線彈性體，彎曲剛度為EI，不計剪力對位移的影響。試用卡氏定理求梁A端的撓度wA。

解：因為A截面處無與wA相應的集中力，不能直接利用卡氏定理，可在A截面上虛加一個與wA相應的集中力F，利用卡氏定理后，令F=0,即第十二章能量法36第三十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五梁的彎矩方程以及對F的偏導數(shù)分別為利用卡氏定理，得（和假設的F的指向一致）這種虛加F力的方法，也稱為附加力法。(↓)這是因為為n個獨立廣義力的二次齊次式,其中也可以作為一個廣義力。第十二章能量法37第三十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例12：用卡氏定理求A截面的撓度和轉(zhuǎn)角（EI已知）。AEI③、變形①、求內(nèi)力解：1、求撓度②、將內(nèi)力對F

A求偏導F第十二章能量法38第三十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、求轉(zhuǎn)角A①、求內(nèi)力A沒有與A相對應的力（廣義力），加之?！柏撎枴闭f明A與所加廣義力MA反向。EIFLA22=q②、將內(nèi)力對MA求偏導后，令M

A=0③、求變形F第十二章能量法39第三十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

例13

圖示剛架各桿的彎曲剛度均為EI，不計剪力和軸力對位移的影響。試用卡氏定理求A截面的鉛垂位移DAy。

解：由于剛架上A,C

截面的外力均為F，求A截面的鉛垂位移時，應將A處的力F和C處的力F區(qū)別開（圖b），在應用卡氏第二定理后，令FA=F。

(a)FABll/2l/2FCD(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2第十二章能量法40第四十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五即AB段（0≤x≤l）

M(x)=?FAx,各段的彎矩方程及其對FA的偏導數(shù)分別為BC段（0≤y1≤l/2）

M(y1)=?FAl,(FA=F)

(b)xFAABCDFy1y2第十二章能量法41第四十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五CD段（0≤y2≤l/2）

M(y2)=?FAl?Fy2,令以上各彎矩方程中的FA=F，由卡氏第二定理得（↓）第十二章能量法42第四十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例14

懸臂梁受力如圖所示，在兩力F共同作用下，1,2兩截面的撓度分別為w1

和w2。試證明：w11FF2w2

證明：設作用在1,2兩截面的外力分別為F1和F2，且F1

=F

,F2＝F，則梁的應變能為Ve=Ve(F1,F2)。根據(jù)復合函數(shù)求導法則，有第十二章能量法43第四十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五因此，若結(jié)構(gòu)上有幾個外力的字符相同時，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用點沿該力方向的位移時，應將該力與其它力區(qū)分開。w11FF2w2第十二章能量法44第四十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例15：結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求B截面的垂直位移和水平位移。（EI已知）。①、求內(nèi)力：解：令B截面的水平荷載F=F0②、將內(nèi)力對F

求偏導求垂直位移；

將內(nèi)力對F0

求偏導求水平位移：③、求變形（注意最后令F0=F）oABFFRφ——B截面的垂直位移——B截面的水平位移→F0第十二章能量法45第四十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例16：用卡氏定理求B截面兩側(cè)的相對轉(zhuǎn)角。EI已知）。BLLqACBmB/LqL+mB/Lxx2mB+qL2/2mBmB解：1、內(nèi)力方程2、將內(nèi)力對m

B求偏導后，令其為零3、求變形（注意最后令m

B=0

）第十二章能量法46第四十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例17：結(jié)構(gòu)如圖，用卡氏定理求開口截面兩側(cè)的相對位移。（EI已知）。解：1、內(nèi)力方程2、將內(nèi)力對F求偏導3、求變形（利用對稱性）FFRφ第十二章能量法47第四十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例18：圖示半圓形等截面曲桿位于水平面內(nèi)，在A點受鉛垂力F

的作用。求A點的垂直位移（EI、GIp已知）。解：1、求內(nèi)力2、將內(nèi)力對F求偏導3、求變形FMTAPjABntFFs第十二章能量法48第四十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例19：求C點的水平及垂直位移。（EA已知）FADBCLLLL2、內(nèi)力對外力F求偏導（如圖）解：方法一、水平位移1、求內(nèi)力（如圖所示）000-FFADBCLLLL000-13、求變形第十二章能量法49第四十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、內(nèi)力對外力F0求偏導（如圖所示）解：垂直位移1、求內(nèi)力（如圖所示）3、求變形（最后令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-F-F0000-10第十二章能量法50第五十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、內(nèi)力對外力F、F0求偏導（如圖所示）1、求內(nèi)力（如圖所示）3、求變形（并令F0=0）FADBCLLLLF0FADBCLLLLF0000-10解：方法二、水平位移；垂直位移FADBCLLLLF0000-100-F-F00第十二章能量法51第五十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—7能量法解超靜定問題步驟——1、去掉多余約束，建立原超靜定結(jié)構(gòu)的靜定基；2、在多余約束處根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，確定變形幾何方程；3、利用能量法把變形幾何方程轉(zhuǎn)化為力的補充方程（物理條件），確定多余的約束反力；4、根據(jù)靜力平衡方程，確定所有的未知力。第十二章能量法52第五十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例20：等截面梁如圖，求C支座的反力。①、求內(nèi)力解：1、取靜定基（如圖）②、將內(nèi)力對F

CY求偏導2、變形幾何方程3、求支反力FxFFCY第十二章能量法53第五十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五③、變形第十二章能量法54第五十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五a/2a/2a=5mABCDq=10kN/mm=50kNm例21：如圖所示結(jié)構(gòu)，求B支座的反力。①、求內(nèi)力解：1、取靜定基（如圖）②、將內(nèi)力對F

BY求偏導2、變形幾何方程3、求支反力ABCDFBYxx第十二章能量法55第五十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五③、變形第十二章能量法56第五十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五對稱及反對稱性質(zhì)的利用1、對稱結(jié)構(gòu)——結(jié)構(gòu)的幾何形狀、尺寸、材料和約束，對稱于某一軸線。第十二章能量法57第五十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、對稱荷載——荷載的位置、大小和方向?qū)ΨQ于結(jié)構(gòu)的對稱軸，

產(chǎn)生對稱變形。

約束力、內(nèi)力分量以及變形和位移都是對稱的;

反對稱的內(nèi)力分量必為零;

某些對稱分量也可等于零或變?yōu)橐阎５谑履芰糠?8第五十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

根據(jù)約束性質(zhì)分析約束力

A、B二處均為鉸鏈，各有兩個約束力。

確定超靜定次數(shù)4－3＝1

對稱性分析

A、B二處的約束力大小相等、方向相反。

建立變形協(xié)調(diào)方程A、B二處的水平相對位移等于零

應用卡氏定理第十二章能量法59第五十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

根據(jù)約束性質(zhì)分析約束力

確定超靜定次數(shù)：3

對稱性分析

建立變形協(xié)調(diào)方程

應用卡氏定理內(nèi)約束，通過截開使其變?yōu)殪o定的。對稱面上反對稱內(nèi)力分量等于零第十二章能量法60第六十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

建立變形協(xié)調(diào)方程另一種解法

根據(jù)約束性質(zhì)分析約束力

確定超靜定次數(shù)：3

對稱性分析解除內(nèi)約束，通過截開使其變?yōu)殪o定的。對稱面上反對稱內(nèi)力分量等于零

應用卡氏定理第十二章能量法61第六十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

怎樣判斷什么樣的載荷是反對稱的？將對稱面（軸）一側(cè)的載荷反向，若變?yōu)閷ΨQ的，則原來的載荷便是反對稱的。

其約束力、內(nèi)力分量、變形和位移等必須是反對稱的；

對稱的內(nèi)力分量、約束力必為零；

某些反對稱約束力和反對稱的內(nèi)力分量也可能為零。3、反對稱荷載——荷載的位置、大小對稱，方向是反對稱的。第十二章能量法62第六十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五第十二章能量法63第六十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五ll2l2lll2l2l第十二章能量法64第六十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五對稱結(jié)構(gòu)的一般變形一般變形對稱變形反對稱變形第十二章能量法65第六十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—8圖乘法一、基本原理1、分析：（EI=常數(shù)）設：為線性。圖是直線或由折線組成。令。若中有一個為線性的，則上述積分就可以得到簡化如下。xxM（x）M（x）L第十二章能量法66第六十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、結(jié)論：——圖乘法的基本計算公式。M（x）xdxM（x）ALxxCxcM0c第十二章能量法67第六十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、計算步驟2、計算M（x）的面積

A。1、畫出圖。4、利用公式求出位移。三、注意的問題1、所加的單位力與莫爾積分的方法相同。2、M（x）圖的正、負影響“A”的符號。（兩者所取符號相同）4、結(jié)果若為“+”，說明所加的單位力方向與實際位移方向相同。反之為“-”，說明所加的單位力方向與實際位移方向相反。5、圖中必須至少有一個是直線組成的圖形。3、計算M(x)圖形心對應位置的數(shù)值

的大小。3、若由幾段直線組成的折線而成，需分段計算，疊加求和。第十二章能量法68第六十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五L/2qL/2CAB例圖示結(jié)構(gòu)中，EI已知。求wc。CABF0=1qL2/8xM（x）A1A2（3/8）L/2解：1、畫M（x）圖3、利用圖乘法求變形2、加單位力并畫xL/4第十二章能量法69第六十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例：圖示變截面直梁，求：B點的撓度。Faa2EIEIABC解：1、畫M(x)圖3、利用圖乘法求變形ABCF0=1M（x）2FaFaC1C3C22、加單位力并畫2aa第十二章能量法70第七十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例：剛架受力如圖示，已知：橫桿彎曲剛度為2EI，豎桿彎曲剛度為EI、拉伸剛度為EA、載荷集度q、長度l。求：B點的水平位移載荷系統(tǒng)1單位力系統(tǒng)第十二章能量法71第七十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五載荷系統(tǒng)內(nèi)力圖第十二章能量法72第七十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五單位力系統(tǒng)內(nèi)力圖1第十二章能量法73第七十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五圖形互乘1第十二章能量法74第七十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五結(jié)果與比較軸力與彎矩引起的位移比較對于矩形截面：第十二章能量法75第七十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五

平面結(jié)構(gòu)空間受力，AB和BC兩桿具有相同的剛度，且EI、GIP、l、F等均為已知。求：1.A端的鉛垂位移；2.A端繞BC軸線的轉(zhuǎn)角。求A端鉛垂位移求A端繞BC軸線的轉(zhuǎn)角解：單位力系統(tǒng)第十二章能量法76第七十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五載荷系統(tǒng)內(nèi)力圖第十二章能量法77第七十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五單位力偶系統(tǒng)內(nèi)力圖第十二章能量法78第七十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五圖形互乘求A端的鉛垂位移第十二章能量法79第七十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五圖形互乘求A端繞BC軸線的轉(zhuǎn)角第十二章能量法80第八十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五§12—9能量法中其它原理的簡介一、變形能的一般表達式及余能：dΔdεΔFOΔ1F11、變形能（應變能）——σεOε1σ1第十二章能量法81第八十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、余能——ΔFOΔ1F1σεOε1σ1dFdσ第十二章能量法82第八十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例：某結(jié)構(gòu)承受荷載P，其相應的位移為Δ=CF2，計算此結(jié)構(gòu)的應變能和余能。ΔFΔ=CF2解：由定義得——第十二章能量法83第八十三頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例：原為水平位置的桿系如圖，試計算在荷載F1作用下的應變能和余能。兩桿長度均為L，橫截面面積均為A，材料相同，彈性模量為E，且均為線彈性材料。LLF1ΔααA解：1、確定外力與變形的關(guān)系FFNFNXYOΔF第十二章能量法84第八十四頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五2、變形能、余能的計算第十二章能量法85第八十五頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五二、卡氏第一定理：假設第i荷載Fi方向上的位移有一微小增量dΔi，則結(jié)構(gòu)中應變能的變化為————應變能對位移Δi的變化率因只有Fi方向上的位移有一微小增量，其余各荷載方向上相應的位移保持不變，所以外力功的變化量為————卡氏第一定理F1ΔnF2F

nFiΔ1Δ2Δi第十二章能量法86第八十六頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五——余能定理對線性彈性結(jié)構(gòu)，因為力與變形成正比，結(jié)構(gòu)的應變能在數(shù)值上等于余能，所以上式可表達為————卡氏第二定理第十二章能量法87第八十七頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五例：由兩根橫截面面積均為A的等直桿組成的平面桁架，在結(jié)點B處承受集中力F，兩桿的材料相同，彈性模量為E，且均為線彈性材料。試按卡氏第一定理，求節(jié)點B的水平和垂直位移。LFABC450ABCΔ1B1ABCΔ2B2解：1、設節(jié)點B只產(chǎn)生水平位移時，各桿的變形2、設節(jié)點B只產(chǎn)生垂直位移時，各桿的變形第十二章能量法88第八十八頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五3、設節(jié)點B在水平和垂直位移同時發(fā)生時，各桿的變形4、桁架的應變能為5、應用卡氏第一定理求變形第十二章能量法89第八十九頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五小結(jié)（一）、變形能：變形固體在外力作用下由變形而儲存的能量。彈性變形能：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的彈性變形而儲存的能量。

（二）、變形能的計算：利用能量守恒原理能量守恒原理：變形固體在外力作用下產(chǎn)生的變形而儲存的能量，在數(shù)值上等于外力所作的外力功。

“”。1、彈性變形能具有可逆性。2、塑性變形能不具有可逆性。（三）、能量法：利用功能原理和功、能的概念進行計算的方法。常見的能量法——功能原理、單位力（莫爾積分）、卡氏定理、圖乘法、互等定理。一、基本概念第十二章能量法90第九十頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五（一）、軸向拉壓桿的變形能二、各桿在線彈性范圍工作時的變形能的計算（二）、扭轉(zhuǎn)軸的變形能（三）、彎曲梁的變形能注意問題：1、同種類型荷載的變形能不能疊加。2、變形能的大小與加載次序無關(guān)，只與最終值有關(guān)。（四）、組合變形桿：重點第十二章能量法91第九十一頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五三、單位力法（莫爾積分）的基本計算公式重點第十二章能量法92第九十二頁，共一百頁，編輯于2023年，星期五注意的問題1、此種方法存在兩個力系：一個為實際的力系；另一個為單位力系。2、單位力必須與所求位移相對應：若求線位移——則單位力必須作用在所求點沿所求位移方向加單位的集中力；若