第六節(jié)微分中值定理第一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第六節(jié)微分中值定理一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、羅爾(Rolle)定理1.引理（費(fèi)馬(Fermat)定理）

(或稱(chēng)為臨界點(diǎn)，穩(wěn)定點(diǎn))第三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證明:第四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.羅爾（Rolle）定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()=0.設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).3)f(a)=f(b)第五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證第六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.羅爾（Rolle）定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使f()=0.設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).3)f(a)=f(b)第七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五物理解釋:變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.幾何解釋:第八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、羅爾定理還指出了這樣的一個(gè)事實(shí)：若f(x)可導(dǎo)，則f(x)=0的任何兩個(gè)實(shí)根之間，至少有f(x)=0的一個(gè)實(shí)根.例2不求導(dǎo)數(shù),判斷函數(shù)f(x)=(x1)(x2)(x3)的導(dǎo)數(shù)f(x)有幾個(gè)零點(diǎn)及這些零點(diǎn)所在的范圍.第九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五4.注意1)若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿(mǎn)足,其結(jié)論可能不成立.例如第十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2)羅爾定理的三個(gè)條件是充分不必要的,即若有一個(gè)不滿(mǎn)足,其結(jié)論也可能成立.例如,第十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五羅爾定理的主要應(yīng)用——證明中值的存在.

例3例4說(shuō)明:證明

在

內(nèi)有根用零點(diǎn)定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4證由Rolle定理知說(shuō)明:證明

在

內(nèi)有根用零點(diǎn)定理.證明

在

內(nèi)有根用羅爾定理.第十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五關(guān)鍵技巧:根據(jù)題意會(huì)知道如何構(gòu)造輔助函數(shù).若希望用Rolle定理證明方程f(x)=0根的存在性，則構(gòu)造的輔助函數(shù)F(x)應(yīng)滿(mǎn)足關(guān)系式F(x)=f(x)及Rolle定理?xiàng)l件.例5第十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例6第十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、拉格朗日(Lagrange)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

f(b)f(a)=f'()(ba)((a,b)).Lagrange中值定理設(shè)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).第十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五作輔助函數(shù)證明：拉格朗日中值公式注意拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.第十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五幾何解釋:例1第十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五增量

y的精確表達(dá)式拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱(chēng)有限增量定理.拉格朗日中值定理也稱(chēng)為微分中值定理第十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五兩個(gè)結(jié)論:(1)設(shè)f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=0，則在(a,b)內(nèi)f(x)=C.(2)設(shè)f(x),g(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=g(x)，則f(x)=g(x)

C.(1')設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且f

(x)=0，則在[a,b]上f(x)=C.第二十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五拉格朗日中值定理的應(yīng)用:1、用Lagrange中值定理證明等式：說(shuō)明欲證時(shí),只需證在I

上練習(xí)：例2第二十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、用Lagrange中值定理證明不等式：Step1找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)f(x)及區(qū)間,Step2驗(yàn)證f(x)滿(mǎn)足Lagrange中值定理?xiàng)l件,Step3對(duì)f()作適當(dāng)放大或縮小，推出所要證的結(jié)果.例4例3第二十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例4證由上式得第二十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、柯西(Cauchy)中值定理則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

Cauchy中值定理設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)滿(mǎn)足條件：1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù).2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)且

g(x)

0.第二十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證作輔助函數(shù)第二十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五Lagrange中值定理是Cauchy中值定理的特例.第二十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五思考:柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同錯(cuò)!上面兩式相比即得結(jié)論.第二十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例分析:結(jié)論可變形為第二十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五例1證第二十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、小結(jié)1.微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理費(fèi)馬引理中值定理的數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔表述:P125第三十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五2.微分中值定理的應(yīng)用(1)證明恒等式(2)證明不等式(3)證明有關(guān)中值問(wèn)題的結(jié)論關(guān)鍵:利用逆向思維設(shè)輔助函數(shù)第三十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五中值定理的數(shù)學(xué)符號(hào)簡(jiǎn)潔表述:P125第三十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書(shū)并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.第三十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第三十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫(xiě)的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠基人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書(shū)7本,第三十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五1.填空題思考與練習(xí)函數(shù)在區(qū)間[1,2]上滿(mǎn)足拉格朗日定理?xiàng)l件,則中值第三十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第三十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)：試證至少存在一點(diǎn)，使解令則f(x)在[1,e]上滿(mǎn)足羅爾中值定理?xiàng)l件,使因此存在第三十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五提示:由結(jié)論可知,只需證即驗(yàn)證在上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)且在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使2.設(shè)第四十頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證：設(shè)輔助函數(shù)顯然在[0,1]上滿(mǎn)足羅爾定理?xiàng)l件,因此至少存在使得求證存在使3.設(shè)f(x)在[0,1]連續(xù),在(0,1)可導(dǎo),且即第四十一頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五證：不妨設(shè)有4.設(shè),證明對(duì)任意第四十二頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五5.試舉例說(shuō)明拉格朗日中值定理的條件缺一不可.解不滿(mǎn)足在閉區(qū)間上連續(xù)的條件；且不滿(mǎn)足在開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)的條件；以上兩個(gè)都可說(shuō)明問(wèn)題.第四十三頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)題第四十四頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十五頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五第四十六頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五練習(xí)題答案第四十七頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛(ài)好.他興趣廣泛,博覽群書(shū)并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛(ài)好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來(lái)的.第四十八頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年，星期五拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.第四十九頁(yè)，共五十頁(yè)，編輯于2023年