經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)極限的性質(zhì)與運算法則第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五一、極限的性質(zhì)定理1（唯一性）若極限定理2（有界性）若極限存在，則函數(shù)在某個空心鄰域內(nèi)有界。定理3（保號性）若，則在的某空心鄰域內(nèi)恒有。若且在的某空心鄰域內(nèi)恒有則

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則存在，則極限值唯一。第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則二、設(shè),,則.(1)代數(shù)和的極限存在,且(2)乘積的極限存在,且..特別地,有(i)常數(shù)因子可提到極限符號的前面,即(ii)若是正整數(shù),有.二、極限的四則運算法則第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC設(shè),,則(3)

若,商的極限存在,且.要注意極限的四則運算法則使用的前提條件！

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC和的極限=極限的和求例1.解由極限的四則運算法則

原式

常數(shù)因子可提到極限符號之前.由該題計算結(jié)果知，對多項式有,

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC不能直接用極限的四則運算法則解顯然,分子與分母的極限都是0.原式

求例2應(yīng)將分子分母分解因式,約去極限為0的公因子商的極限=極限的商

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五例3求解：當(dāng)時，分子分母都是無窮大，不能直接利用商的極限運算法則，此時可將分子分母同時除以得到分子分母同時除以分母的最高次項

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五例4求解：當(dāng)時，分子分母都是無窮大，不能直接利用商的極限運算法則，此時可將分子分母同時除以得到分子分母同時除以分母的最高次項

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五一般地，當(dāng)時，有理分式（）的極限有以下結(jié)果：練習(xí)：求下列極限

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則，，．第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則解原式例6解：原式例5求第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則例7解：原式練習(xí)：求下列極限第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC

一.極限的性質(zhì)與四則運算法則答案：第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC二.無窮大量與無窮小量

定義1.5

若函數(shù)在自變量的某個變化過程中以零為極限，則稱在該變化過程中,

為無窮小量．簡稱無窮?。?，當(dāng)時，，，是無窮小量；當(dāng)時，是無窮小量；當(dāng)時，，是無窮小量．第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五

ESC我們經(jīng)常用希臘字母，，來表示無窮小量．定理4函數(shù)以為極限的充分

必要條件是：可以表示為與一個無窮小量之和．即其中．二.無窮大量與無窮小量

第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC二.無窮大量與無窮小量

定義1.6若在自變量的某個變化過程程中,函數(shù)是無窮小量,即，則稱在該變化過程中，為無窮大量，簡稱無窮大，記作．第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC二.無窮大量與無窮小量

例如，當(dāng)時，是無窮大量；當(dāng)時，，是無窮大量；當(dāng)時，，是無窮大量．當(dāng)時，是無窮小量，而是無窮大量；當(dāng)時，是無窮大量，而是無窮小量．這說明無窮小量和無窮大量存在倒數(shù)關(guān)系．第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC二.無窮大量與無窮小量

例8

求．

解

先求分母的極限．,先考慮原來函數(shù)倒數(shù)的極限.第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC二.無窮大量與無窮小量

即是時的無窮小．由無窮小量與無窮大量的倒數(shù)關(guān)系，得到．第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC三.無窮小量的性質(zhì)

性質(zhì)1.1

有限個無窮小量的代數(shù)和仍然是無窮小量．性質(zhì)1.2

有界變量乘無窮小量仍是無窮小量．性質(zhì)1.3

常數(shù)乘無窮小量仍是無窮小量．性質(zhì)1.4

無窮小量乘無窮小量仍是無窮小量．第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC例7

求．解因為，所以是有界變量；根據(jù)性質(zhì)1.2，乘積是無窮小量．即．三.無窮小量的性質(zhì)

第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC四.無窮小量的比較

我們記，，，它們都是時的無窮小量．但，，．第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC，，趨于零的情況110100100010000

10.10.010.0010.0001

20.20.020.0020.000210.010.00010.0000010.00000001四.無窮小量的比較

第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC定義1.7

設(shè)、是同一變化過程中的兩個無窮小量，

(1)若,則稱是比高階的無窮小量．也稱是比低階的無窮小量．

(2)若(是不等于零的常數(shù))，則稱與是同階無窮小量．若，則稱與是等價無窮小量．記為～。四.無窮小量的比較

第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC思考：1.當(dāng)時，相比哪一個是高階無窮小？2、當(dāng)時，無窮小是否同階？是否等價？3.下列變量，在趨于何值時是無窮小？在趨于何值時是無窮大？四.無窮小量的比較

第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC內(nèi)容小結(jié)

1.極限四則運算法則（注意使用條件）2.求函數(shù)極限的方法分式函數(shù)極限求法時,用代入法(分母不為0)時,對型,約去零因子時,對型，分子分母同除以分母的最高次冪第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC內(nèi)容小結(jié)

（3）無窮小量與無窮大量的關(guān)系3.無窮小量與無窮大量（2）無窮小量的性質(zhì)（1）無窮小量與無窮大量的定義4.無窮小量的比較第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期五ESC課堂練習(xí)1.求下列函數(shù)的極限2.指出下列變量，當(dāng)