山東省青島市第六十四中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1..已知i為虛數(shù)單位，若，則A.1 B. C. D.2參考答案：C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)相等得，再代入求結(jié)果.【詳解】由，得，所以.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)相等以及指數(shù)運(yùn)算，考查基本分析求解能力，屬基本題.2.將2個(gè)相同的和2個(gè)相同的共4個(gè)字母填在的方格內(nèi)，每個(gè)小方格內(nèi)至多填1個(gè)字母，若使相同字母既不同行也不同列，則不同的填法種數(shù)為

（

）

A．196

B．197

C．198

D．199參考答案：C略3.在△ABC中，AC=7，∠B=,△ABC的面積S=，則AB=A、5或3

B、5

C、3

D、5或6參考答案：A略4.某企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種型號(hào)的產(chǎn)品，每年的產(chǎn)量分別為10萬支和40萬支，為了擴(kuò)大再生產(chǎn)，決定對(duì)兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)線進(jìn)行升級(jí)改造，預(yù)計(jì)改造后的A、B兩種產(chǎn)品的年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率分別為50%和20%，那么至少經(jīng)過多少年后，A產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過B產(chǎn)品的年產(chǎn)量（?。?

)A.6年 B.7年 C.8年 D.9年參考答案：B【分析】依題求出經(jīng)過年后，產(chǎn)品和產(chǎn)品的年產(chǎn)量分別為，，根據(jù)題意列出不等式，求出的范圍即可得到答案.【詳解】依題經(jīng)過年后，產(chǎn)品的年產(chǎn)量為產(chǎn)品的年產(chǎn)量為，依題意若產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過產(chǎn)品的年產(chǎn)量，則化簡(jiǎn)得，即，所以，又，則所以至少經(jīng)過年產(chǎn)品的年產(chǎn)量會(huì)超過產(chǎn)品的年產(chǎn)量.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)模型，解指數(shù)型不等式，屬于基礎(chǔ)題.5.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則的值分別為（

）A.2，0

B.2，

C.2，

D.2，參考答案：D6.已知集合A={1,2,3,4,5,6}，B={x2－3x≤0}，則A∩B=（

）A.[0,3]

B.[1,3]

C.{0,1,2,3}

D.{1,2,3}參考答案：D所以7.函數(shù)的大致圖象是（

）參考答案：C8.奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象分別如圖1、2所示，方程，的實(shí)根個(gè)數(shù)分別為、，則等于

（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：B

9.設(shè)α是第二象限角，p（x，4）為其終邊上的一點(diǎn)，且cosα=x，則tan2α=(

)A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】二倍角的正切；任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】三角函數(shù)的求值．【分析】由三角函數(shù)的定義可得x的方程，解方程可得cosα，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得tanα，由二倍角的正切公式可得．【解答】解：由三角函數(shù)的定義可得cosα=，又∵cosα=x，∴=x，又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x=﹣3∴cosα=﹣，sinα==，∴tanα==﹣∴tan2α==故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的正切公式，涉及三角函數(shù)的定義和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．10.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的虛部是

A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知關(guān)于x的不等式（4kx﹣k2﹣12k﹣9）（2x﹣11）＞0，其中k∈R，對(duì)于不等式的解集A，記B=A∩Z（其中Z為整數(shù)集），若集合B是有限集，則使得集合B中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的實(shí)數(shù)k的取值范圍是．參考答案：{2，3，4，5}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】對(duì)k分類討論，利用一元二次不等式的解法求出已知不等式的解集確定出A，根據(jù)B=A∩Z（其中Z為整數(shù)集），集合B為有限集，即可得出．【解答】解：分情況考慮：①當(dāng)k＜0，A={x|++3＜x＜}；②當(dāng)k=0，A={x|x＜}；③當(dāng)0＜k＜1或k＞9，A={x|x＜，或x＞++3}；④當(dāng)1≤k≤9，A={x|x＜++3，或x＞}；∵B=A∩Z（其中Z為整數(shù)集），集合B為有限集，只有k＜0，B={2，3，4，5}．故答案為：{2，3，4，5}12.．雙曲線的漸近線方程為______；離心率為______．參考答案：，；

由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，，所以，。所以雙曲線的漸近線方程為，離心率。

13.已知函數(shù)上的奇函數(shù)，且的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，

．參考答案：略14.已知f（x）=lg（2x﹣4），則方程f（x）=1的解是

，不等式f（x）＜0的解集是．參考答案：7；（2，2.5）．【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【分析】由f（x）=1，利用對(duì)數(shù)方程，可得結(jié)論；由f（x）＜0，利用對(duì)數(shù)不等式，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵f（x）=1，∴l(xiāng)g（2x﹣4）=1，∴2x﹣4=10，∴x=7；∵f（x）＜0，∴0＜2x﹣4＜1，∴2＜x＜2.5，∴不等式f（x）＜0的解集是（2，2.5）．故答案為：7；（2，2.5）．15.已知定義域?yàn)?0，＋∞)的函數(shù)f(x)滿足：(1)對(duì)任意x∈(0，＋∞)，恒有f(2x)＝2f(x)成立；(2)當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)＝2－x.給出如下結(jié)論：

①對(duì)任意m∈Z，有f(2m)＝0；②函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0，＋∞)；

③存在n∈Z，使得f(2n＋1)＝9；④“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減”的充要條件是“存在k∈Z，使得(a，b)?(2k,2k＋1)”．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．參考答案：①②④f(2m)＝2f(2m－1)＝22f(2m－2)＝…＝2m－1f(2)＝0，故①對(duì)；∵f(2x)＝2f(x)，∴f(x)＝f(2x)，

則f＝f＝f＝f＝…＝f(x)(k∈Z)，∴f(x)＝2k

f.

當(dāng)x∈(2k,2k＋1]時(shí)，∈(1,2]，

∴f＝2－，即f(x)＝2k＝2k＋1－x∈[0，＋∞)，故②對(duì)．

假設(shè)存在n∈Z滿足f(2n＋1)＝9，由2n<2n＋1≤2n＋1，f(2n＋1)＝2n＋1－(2n＋1)＝9，即2n＝10，又n∈Z，故不存在，③錯(cuò)；

∵x∈(2k,2k＋1]時(shí)，f(x)＝2k＋1－x，單調(diào)遞減，

故當(dāng)(a，b)?(2k,2k＋1)時(shí)，f(x)在(a，b)上單調(diào)遞減，故④對(duì)．

16.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最大值為_____參考答案：【分析】作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，通過平移即可求的最大值．【詳解】解：作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）由的得，平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，直線的截距最大，此時(shí)最大．由解得．代入目標(biāo)函數(shù)得．即的最大值為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．利用平移確定目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解的條件是解決本題的關(guān)鍵．17.如圖，在△ABC和△ACD中，∠ACB=∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，⊙O是以AB為直徑的圓，DC的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．若EB=6，EC=6，則BC的長(zhǎng)為

．參考答案：2考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段．專題：直線與圓．分析：連接OC，由弦切角定理推導(dǎo)出OC∥AD．由AD⊥DC，得到DC⊥OC，由切割線定理得到EC2=EB?EA．再由已條件推導(dǎo)出△ECB∽△EAC，由此能求出BC長(zhǎng)．解答： 解：∵AB是⊙O的直徑，∠ACB=90°，∴點(diǎn)C在⊙O上．連接OC，由弦切角定理得∠OCA=∠OAC=∠DAC，∴OC∥AD．又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC．∵OC為⊙O半徑，∴DC是⊙O的切線．∵DC是⊙O的切線，∴EC2=EB?EA．又∵EB=6，EC=6，∴EA=12，AB=6．又∵∠ECB=∠EAC，∠CEB=∠AEC，∴△ECB∽△EAC，∴==，∴AC=BC．又∵AC2+BC2=AB2=36，∴BC=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查與圓有關(guān)的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意切割線定理、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)的合理運(yùn)用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知矩陣，其中，若點(diǎn)在矩陣的變換下得到點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)a的值；（2）求矩陣的特征值及其對(duì)應(yīng)的特征向量.參考答案：（1）由=，∴.

（2）由（1）知，則矩陣的特征多項(xiàng)式為令，得矩陣的特征值為與4.當(dāng)時(shí)，∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為;

當(dāng)時(shí)，∴矩陣的屬于特征值的一個(gè)特征向量為.

19.已知,,.

1.求與的夾角;2.求;參考答案：1.因?yàn)?

所以.

因?yàn)?,

所以,

解得,所以.

2.,

所以,同樣可求.

20.在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，bcos2+acos2=c．（1）求證：a，c，b成等差數(shù)列；（2）若C=，△ABC的面積為2，求c．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用正弦定理、二倍角公式、誘導(dǎo)公式，證得sinB+sinA=2sinC，可得a，c，b成等差數(shù)列．（2）根據(jù)C=，△ABC的面積為2，求得ab的值，再利用余弦定理求得c的值．【解答】解：（Ⅰ）證明：△ABC中，∵bcos2+acos2=c，由正弦定理得：sinBcos2+sinAcos2=sinC，即sinB?+sinA?=sinC，∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC，∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC，∴sinB+sinA+sinC=3sinC，∴sinB+sinA=2sinC∴a+b=2c，∴a，c，b成等差數(shù)列．（Ⅱ）∵C=，△ABC的面積為S=ab?sinC=2，∴ab=8，又c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24，∴c2=8，可得c=2．21.某班為了活躍元旦晚會(huì)氣氛，主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲，第一輪游戲中，主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2，3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中，每人依次從中取出一張卡片，取到標(biāo)有數(shù)字2，3的卡片的同學(xué)留下，其余的淘汰；第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué)，最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.已知同學(xué)甲參加了該游戲.（1）求甲獲得獎(jiǎng)品的概率；（2）設(shè)為甲參加游戲的輪數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.參考答案：（1）設(shè)甲獲得獎(jiǎng)品為事件，在每輪游戲中，甲留下的概率與他摸卡片的順序無關(guān)，則.（2）隨機(jī)變量的取值可以為1,2,3,4.,,,.的分布列為所以數(shù)學(xué)期望.22.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4，點(diǎn)P為面ADD1A1的對(duì)角線AD1上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）．PM⊥平面