xOD11

D4

2D2yD3是由極點O和極軸OA組成,其中r為點P到極點O的距離,OAP(r,q)rq

y

=

r

sinqr

=常數(shù),（同心圓族）q

=常數(shù),（從O出發(fā)射線族）q為OA到OP的夾角,0

￡

r

<+￥

,0

￡

q

￡

2p極坐標系點P坐標(r,q)若令極點與xoy直角坐標系的原點重合,x軸取為極軸，則直角坐標與極坐標的關(guān)系為：

x

=r

cosq

f(x,

y)dsDds

==

?rdrdq極坐標下面積元素用極坐標曲線網(wǎng)r

=常數(shù),（同心圓族）q

=常數(shù),（射線族）來劃分積分域，規(guī)則的子域Dsi

的面積弧長rdq12iDs

=2=

rDrDq

+

1

(Dr)2

Dq?

rDrDq高階項略去DrDqDs

iOxy[(r

+

Dr)2

Dq

-

r2Dq]D二重積分在極坐標下的形式

f

(

x,

y)ds

=

f

(r

cos

q,

r

sin

q)rd

rdqD

D由直角坐標和極坐標的對應關(guān)系，得到于是得到在極坐標下二重積分化為二次積分的公式：

f

(x,

y

)dsf

(r

cosq,

r

sinq

)d

r]dqb j2

(q

)a

j1

(q

)=

[D若積分區(qū)域D：j1

(q)￡

r

￡

j2

(q),a

￡

q

￡

bAODr

=

j1

(q)ab2Dbj

(q

)aj1

(q

)f

(r

cos

q,

r

sin

q

)rd

r

f

(x,

y

)ds

=

dq

或?qū)懽鰽r

=

j2

(q)Or

=

j2

(q)Dr

=

j1

(q)ab0

￡

q

￡

2p(

)00f2pj

(q

)dqf

(r

cosq,

r

sinq)rdrx,

y

ds

=

D若極點在D的內(nèi)部

則D可以用不等式表示:Dr

=

j

(q)0

￡

r

￡

j

(q),這時有AOr

=

r(q)(

)0f2p

j

(q

)r

(q

)f

(r

cosq,

r

sinq)rdrx,

y

ds

=

dq

D若D由兩條封閉曲線圍成（如圖），則何時采用極坐標系？當積分區(qū)域為扇形，圓形，環(huán)形等易于用極坐標表示的區(qū)域而且被積函數(shù)中有類似y

,

x2

+

y2

,

1

-

x2

-

y2x時用極坐標可能會帶來方便！DD的邊界計算

(x

+y)dxdy,D

:x2

+y2

￡

x

+y解2

2

21

1

1(x

-

)2

+(y

-

)2

=圓周在(0,

0)的切線斜率為y

=

-1故4

4a

=

-p

,

b

=

3p4cosq

+sinq

r

2dr0I

=

(cosq

+

sinq

)dq3pp-

4=43p4-p4(cosq

+

sinq

)

dq

=1343p444sin

(43-ppq

+

)dq極點在D的邊界上a

,b

是邊界在極點處的切線的極角例3（和差化積）小結(jié)二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇積分次序）f

(x,y)dy

.［Y－型］

j

2

(

x

)j1

(

x

)Dbaf

(

x,

y)ds

=

dxf

(

x,

y)dx［.Ddcj

2

(

y

)j1

(

y

)

f

(

x,

y)ds

=

dy

X－型］二重積分在極坐標下的計算公式

f

(r

cosq

,

r

sinq

)rdrdq（在積分中注意使用對稱性）Df

(r

cosq,r

sinq)rdr.1j

(q

)b j2

(q

)=adqf

(r

cosq

,

r

sinq

)rdr.0j

(q

)baq

,

r

sinq

)rdr.f

(r

cos02p0j

(q

)=dq=

dq

計算步驟及注意事項畫出積分域選擇坐標系確定積分序?qū)懗龇e分限計算要簡便積分區(qū)域被積函數(shù)積分區(qū)域圖示法不等式充分利用對稱性利用極坐標變換被積函數(shù)計算二重積分的幾點說明：化二重積分為二次積分的關(guān)鍵是：確定二次積分的上、下限，而二次積分中的上、下限又是由區(qū)域D的幾何形狀確定的，因此計算二重積分應先畫出積分區(qū)域D

的圖形.第一次積分的上、下限是函數(shù)或常數(shù)，而第二次積分中的上、下限一定是常數(shù)，且下限要小于上限.積分次序選擇的原則是兩次積分都能夠積出來，且區(qū)域的劃分要盡量地簡單.當二重積分的被積函數(shù)中含有絕對值函數(shù)、取大或取小函數(shù)(max或min)等特殊函數(shù)時，如何計算二重積分的值？一般是將積分區(qū)域適當分塊，使被積函數(shù)在各子塊上都表示為初等函數(shù)形式，然后分別計算.例D解先去掉絕對值符號，如圖計算|

y

-x2

|ds

.其中D

:-1

￡

x

￡

1,0

￡

y

￡

1.D12DD3

y

-

x2

ds22D3D=

(

x

-

y)ds

+

(

y

-

x

)dsD1

+D2=-1-112(

y

-

x

)dy1x202(

x

-

y)dy

+12dxdxx1511=

.利用積分域和被積函數(shù)的對稱性計算二重積分設f

(x,y)在D

上連續(xù),如果D

關(guān)于y

軸對稱,那么對任意點(x,y)?

D

,當f

(-x,y)=-f

(x,y)時,I

=0.對任意點(x,y)?

D

,當f

(-x,y)=f

(x,y)時,I

=2

f

(x,y)ds

.D1其中：D1

=

{(

x,

y)

?

D

|

x

?

0}

.(2)

如果D

關(guān)于x

軸對稱,那么當f

(x,-y)=-f

(x,y)時,I

=0.(ii)

對任意點(x,y)?

D

,當f

(x,-y)=f

(x,y)時,I

=2

f

(x,y)ds

.D2其中：D2

=

{(

x,

y)

?

D

|

y

?

0}

.(i)

對任意點(x,y)?

D

,(3)

如果D

關(guān)于原點對稱,那么對任意點(x,y)?

D

,當f

(-x,-y)=-f

(x,y)時,I

=0.對任意點(x,y)?

D

,當f

(-x,-y)=f

(x,y)時,I

=

2

f

(

x,

y)ds

=

2

f

(

x,

y)ds

.D1

D2(4)

如果D

關(guān)于直線y

=x

對稱,那么

f

(

x,

y)ds

=

f

(

y,

x

)ds

.D

D(5)

如果

D1、D2

兩個區(qū)域關(guān)于直線y

=x

對稱,那么

f

(

x,

y)ds

=

f

(

y,

x

)ds

.D1

D2

(

x2

-

2

x

+

3

y

+

2)dsDD關(guān)于

x

,

y

軸及原點及

y

=

x

對稱D

:

x2

+

y2

￡

a2解故

(-2

x

+3

y)ds

=0D

x2ds

=

y2ds

=2

D

(

x2

+

y2

)ds1D

D=極坐標031

2p

apa4dq

r

dr

=042

2ds

=

2pa2D故(x

-2x

+3y

+2)dsD22pa4=

4

+2pa例 計算對稱性性質(zhì)區(qū)域面積問題的提出求分布在W

內(nèi)的物質(zhì)的質(zhì)量M

.為了求V的質(zhì)量，仍采用：分割、近似代替、求和、取極限四個步驟.§3

三重積分首頁×引例:設在空間有限閉區(qū)域W

內(nèi)分布著某種不均勻的物質(zhì),

密度函數(shù)為f

(x,

y,

z)

?

C,WDvi(xi

,hi

,zi

)其次,在每個小塊Vi

上任取一點(xi

,

hi

,

Vi

)n則

Vi

的質(zhì)量

DMi

?

f

(xi

,

hi

,

Vi

)

DVi然后對每個小塊Vi

的質(zhì)量求和：M

?

f

(xi

,

hi

,

Vi

)

DVii

=1最后，取極限n||T

||fi

0

i

=1M

=

lim

f

(xi

,

hi

,

Vi

)

DVi0￡i

￡n其中

||

T

||=

max{

Vi

的直徑}首先,把V分成n個小塊V1

,V2

,...,Vn

,Vi

的體積記為DVi首頁×設

f

(

x

,

y

,

z

)

是空間有界閉區(qū)域W

上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域W

任意分成n

個小閉區(qū)域D

v1

，

Dv2

,

,

D

vn

，其中D

v

i

表示第i

個小閉區(qū)域，也表示它的體積,

在每個D

vi

上任取一點(xi

,h

i

,

z

i

)作乘積

f

(xi

,h

i

,

z

i

) D

vi

，(

i

=

1,2,

,

n

)，并作和,如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l

趨近于零時，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù)f

(x

,y

,z

)在閉區(qū)域W

上的三重積分，記為

f

(

x

,

y

,

z

)dv

,W一、三重積分的定義Wnlfi

0

i

=1即

f

(x,y,z)dv

=lim

f

(xi

,hi

,zi

)Dvi

.其中dv

叫做體積元素.三重積分的物理背景以

f

(

x,y,

z

)

為體密度的空間物體的質(zhì)量一般的三重積分無幾何解釋，但當被積函數(shù)為1時，表示區(qū)域的體積。直角坐標系中的三重積分在直角坐標系中,如果用平行于坐標面的平面來劃分W,則Dvi=Dxi

DyiDzi,因此也把體積元素記為dv=dxdydz,三重積分記作

f

(x,

y,

z)dv

=

f

(x,

y,

z)dxdydz

.W

W三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類似.二、直角坐標系中三重積分的計算方法1

.

先單后重(“投影法”)方法2

.

先重后單

(“截面法”)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束具體計算時應根據(jù)被積函數(shù)及積分域的特點靈活選擇.yzoWDz2

S2z1

S1(

x,

y)z

=

z1z

=

z2

(

x,

y)aby

=

y1

(

x)y

=

y2

(

x)(

x,

y)如圖，閉區(qū)域W

在xoy面上的投影為閉區(qū)域D,S1

:

z

=

z1

(

x,

y),S2

:

z

=

z2

(

x,

y),過點(x,y)?

D

作直線,從z1

穿入，從z2

穿出．x方法①:先單后重（投影法）先將x,y

看作定值，將f

(x,y,z)只看作z

的函數(shù)，則F

(

x,

y)

=1z2

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)f

(

x,

y,

z)dz計算F

(x,y)在閉區(qū)間D

上的二重積分f

(

x,

y,

z)dz]ds

.1

z2

(

x

,

y

)z

(

x

,

y

)D

DF

(

x,

y)ds

=

[a

￡

x

￡

b,

得

D

:

y1

(

x)

￡

y

￡

y2

(

x),=

f

(

x,

y,

z)dvWf

(

x,

y,

z)dz.z2

(

x

,

y

)1

1

ab y2

(

x

)y

(

x

)z

(

x

,

y

)dydx注意平行于z軸且穿過閉區(qū)域W

內(nèi)部的直線與閉 區(qū)域W

的邊界曲面S

相交不多于兩點情形．若平行于z軸且穿過閉區(qū)域W

內(nèi)部的直線與 閉區(qū)域W

的邊界曲面S

相交多于兩點時，把

W

分若干個小區(qū)域來討論．三重積分化為三次積分的過程：xyzoDW

向xoy

面上投影，得到D。D向x

軸投影，得到aba

￡

x

￡

b,1

2

y

(

x)

￡

y

￡

y

(

x).D

:

(3)過點(x,y)?

D

作直線,得到1z

(

x,

y)

￡

z

￡

z

(

x,

y).2a

￡

x

￡

b,z1z2W(

x,

y)z1(

x,

y)

￡

z

￡

z2

(

x,

y).事實上，W

:y1(

x)

￡

y

￡

y2

(

x),f

(x,

y,

z)dv

=W22b y

(

x)

z

(

x,

y

)y1(

x)z1(

x,

y

)f

(x,

y,

z)dz.adxdy

x1

(

y)

￡

x

￡

x2

(

y),D

:c

￡

y

￡

d.(3)過點(x,y)?

D

作直線,得到z1(x,y)￡

z

￡

z2

(x,y).z1(

x,

y)

￡

z

￡

z2

(

x,

y).事實上，W

:c

￡

y

￡

d

,x1(

y)

￡

x

￡

x1(

y),xyW

向xoy

面上投影，得到D。zD向y

軸投影，得到oDcdz1z2W(

x,

y)f

(x,

y,

z)dv

=W22d x

(

y

)x1

(

y

)z1

(

x,

y

)z

(

x,

y

)f

(x,

y,

z)dz.cdydx

例

1

計算三重積分

xdxdydz

，其中W

為三個坐標W面及平面x

+2

y

+z

=1所圍成的閉區(qū)域.1

21ozy1

DxW

向xoy

面上投影，得到D。0

￡

y

￡D

:

1

-

x20

￡

x

￡

1,.過點(

x,

y)

?

D

作平行與z

軸的直線,

得到0

￡

z

￡

1

-

x

-

2

y.解于是，x

dxdydz

=W10002dx1-xdy1-x-2

yxdz利用“投影法”來計算三重積分需要作圖,對于簡單的圖形還比較方便,但復雜一些的問題容易出錯.下面我們介紹的“截面法”是比較簡單的方法,有時可以不作空間圖形.先重后單，就是先求關(guān)于某兩個變量的二重積分再求關(guān)于另一個變量的定積分若

f(x,y,z)

在

W

上連續(xù)W

介于兩平行平面

z

=

c1

,

z

=

c2

(c1

<

c2

)

之間用任一平行且介于此兩平面的平面去截

W

得區(qū)域D(z),(c1

￡z

￡c2)則②先重后單Wc2

f

(

x,

y,

z)dv

=

dz

f

(

x,

y,

z)dxdyc1

D(

z

)易見，若被積函數(shù)與x

,y無關(guān)，或二重積分容易計算時，用截面法較為方便，尤其當

f

(

x

,

y

,

z

)

與

x

,

y

無關(guān)時dxdyD(

z

)就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計算截面法的一般步驟：把積分區(qū)域W

向某軸（例如z

軸）投影，得投影區(qū)間[c1

,c2

]；對z

?

[c1

,c2

]用過z軸且平行xoy平面的平面去截W

，得截面Dz;(3)計算二重積分

f

(x,y,z)dxdyDz其結(jié)果為z

的函數(shù)F

(z)；(4)最后計算單積分2c1F

(z)dz

即得三重積分值.cz例2

dxdydz,W

:

z

=

x2

+

y2

,

z

=

1W解一先重后單W

介于z

=0,z

=1之間D(z):

x2

+

y2

￡z1

dxdydz

=

dz

dxdyW0

D(

z

)10p=

pzdz

=

2解二

先單后重將W

投影到

xoy

面得D1x2

+

y2

￡1dz

]dxdyx

2

+

y

2

dxdydz

=

[W

D1p2=

(1

-

x2

-

y2

)dxdy

=

4

dq(1

-

r2

)rdr

=D

0

0（用極坐標，用對稱性）2px例3

計算I

=

z2

dxdydz.-

c

￡

z

￡

cz

2解

V

:

x

2

y2Dz

:

a2

+

b2

￡

1

-

c2ab

yz

Dzcz其中V

是橢球體2

2a2

b2

c2￡1.x

+

y

+

zV

2z

dxdydz

=V2-czDcz

dxdydz2z

2

dz

dxdy-c=zDcpab(1

-ccz

22

)

dz

=02=

2

zpabc3154首頁×特殊的：當積分區(qū)域是長方體的時候,三重積分的積分限最容易安排dxfcb

da

Wdye

g(x,

y,

z)dzg(x,

y,

z)dV

=即把一個三重積分化為三個定積分的積.如果積分函數(shù)可分離變量g(x,y,z)=g1

(x)g2

(y)g3

(z)1fg2

(

y)dye

g3

(z)dz.dcbag(x,

y,

z)dV

=

g

(x)dx

W例4

將

f

(

x,

y,

z)dVW其中W

為長方體，各邊界面平行于坐標面化成三次積分解將W

投影到xoy面得D，它是一個矩形在D內(nèi)任意固定一點（x

,y)作平行于

z

軸的直線交邊界曲面于兩點，其豎坐標為

l

和

m

（l

<

m)xyzmla

obcd。D(x,y)

f

(x,

y,z)dVWm=

[

f

(x,

y,

z)dz]dsD

lb

d

m=

dxdy

f

(x,

y,

z)dza

c

l柱坐標計算三重積分規(guī)定：0

￡

r

<+￥

,0

￡

q

￡

2p,-

￥

<

z

<

+￥

.一、利用柱面坐標計算三重積分xy設M

(x,y,z)為空間內(nèi)一點，并設點M

在xoy

面上的投影P

的極坐標為r,q，則這樣的三個數(shù)r,q

,z

就叫點M

的柱面坐標．zoM

(

x,

y,

z)P(r,q)rz＝常數(shù)（水平平面）r＝常數(shù)（圓柱面）q

＝常數(shù)（半平面）由圖可知柱面與直角坐標的關(guān)系是x

=rcosqy

=rsinq

(0￡r

<+￥,0￡q

￡2p,-￥

<z

<+￥)z

=z三組柱坐標面：zOxyrqP(r,q)zM

(r,q,

z)一小塊的體積Dv可以近似看成以rdrdq為底，dz

為高的柱體體積。體積元素dv

=

rdrdqdz

f

(x,

y,

z)dv

=

f

(r

cosq,

r

sinq,

z)rdrdqdzW

Wdqrxy三組坐標面族去分割空間區(qū)域W

，其任zodzdrrdq

f

(x,

y,

z)dv

=

f

(r

cosq,r

sinq,

z)rdrdqdzW

W2Drqj

(r,q)f

(r

cosq,r

sinq,

z)dzj1

(r,q)W

f

(x,

y,

z)dv

=

rdrdq設W

:z1

(x,y)￡

z

￡

z2

(x,y),(x,y)?

Dxy則積分區(qū)域在柱面坐標系下的表示為：W

:j1

(r,q)￡

z

￡j2

(r,q),(r,q)?

Drq因此在柱面坐標系下若Drq

:r1

(q)￡

r

￡

r2

(q),a

￡q

￡

b則三重積分化為柱面坐標的三次積分：

f

(

x,

y,

z)dvW2Drqj

(

r

,q

)f

(r

cosq,

r

sinq,

z)dzj1

(

r

,q

)W

f

(

x,

y,

z)dv

=

rdrdq

(

)j2

(

r

,q

)11j

(

r

,q

)f

(r

cosq,

r

sinq,

z)dzr

qdqrdrr2

(q

)ba=例1

計算

zdxdydz,

其中W

是由曲面Wz

=x2

+y2

與平面z

=4圍成的區(qū)域.解

在xoy面上的投影區(qū)域為圓域:WD

:

x2

+

y2

￡

4xy0

￡r

￡2,0

￡q

￡2pz

=

r

2xzyz

=

x2

+

y2Dz

=

4所以2rrdrdq

zdzzdxdydz

=

W

DW

:

r2

￡

z

￡4,0

￡r

￡2,0

￡q

￡2p422p2

400rdqrdrzdz=2p220012r(16-

r

)drdq=2201646r

2=

2p[8r

-

]23=

p例2

計算

I

=

(x2

+

y2

)dv其中xDrqyW

由錐面x2

+

y2W

=

z2

,

x

=

0,

y

=

0和z

=a

(a

>0)所圍成第一卦限zaz

=

a部分.解

采用柱面坐標

x2

+

y2

=

z2z

=

r,W

:

r

￡

z

￡

a,

(r,q

?

Drq

,

20￡r￡a,0￡q

p￡2200a

ardqrdrr

dz=30r

(a

-

r)drapWp=2

4

5a4

a52p=

[a

-

]

=a5

.40p2W

:

r

￡

z

￡

a, 0

￡

r

￡

a,

0

￡

q

￡

p

,I

=

(x2

+

y2

)dv思考題xy在柱面坐標系下求三重積分可以看作在直角坐標系對

z

作單積分，然后在投影區(qū)域D

上用極坐標作二重積分呢？答：可以當被積函數(shù)含x^2+y^2，積分區(qū)域的邊界曲面含柱坐標曲面時，常用柱坐標計算三重積分。球面坐標系下三重積分的計算1、球面坐標在球面坐標系中,空間點P(x,y,z)用(r,q,j

)表示.oxyzqr其中r

=r

sinj\

x

=

r

cosq

=

r

sinj

cosq,y

=

r

sinq

=

r

sinj

sinq.z

=

r

cosjrPj?其中0

￡

r

<+￥

,0

￡q

￡

2p

,0

￡

j

￡

p.當r

=常數(shù)：中心在原點的球面；當q

=常數(shù)：過z軸的半平面；當j

=常數(shù)：頂點在原點，中心軸為z軸的圓錐面；Pz2、體積元素當用三族坐標面去劃分(V

):dv

=

r2

sinjdqdrdj\

(V

)

f

(

x,

y,

z)dv=

(V

)f

(r

sinj

cosq,

r

sinj

sinq,

r

cosj

)r2

sinjdrdqdj.xyzojdjrdrdqr

sin

jdvr

=

r,

r

=

r

+

dr;q

=q,q

=q

+

dq;j

=

j

,j

=

j

+

dj則體積元素dv

:rdjdrdv

=

r

sinjdq3、化為累次積分(1)用x

=

r

sin

j

cosq,

y

=

r

sin

j

sinq,z

=

r

cosj化被積函數(shù)為球坐標系下形式r

=r(q,j

);(2)任取q、j作一射線交(V

)于兩點，x即得單積分：2r

(q

,j

)r1

(q

,j

)f

(r

sin

j

cosq,

r

sin

j

sinq,

r

cosj

)r2

sin

jdr(3)再對j、q作積分.\

(V

)

f

(x,

y,

z)dv

=2j1q

jq12

djdqyzor

=

r1

(q,j

)r

=

r2

(q,j

)??例1

計算

(

x2

+

y2

+

z2

)

dv.W其中W

由曲面z

=

x2

+

y2和x2

+

y2

+

z2

=

R2將W

向xoy

面投影，得0

￡q

￡

2p

.過z0

￡

f

￡.4p任取一q

?

[0,2p

],軸作半平面，得p在半平面上，任取一

j

?

[0,

4

],過原點作射線，得0

￡

r

￡

R.解xy圍成。(R

>0)zoR即0

￡

q

￡

2p

,W

:p

,0￡

f

￡

40

￡

r￡

R.r2r2

sinf

dr

df

dqW=

=R040

0dj

r

sinj

drdqp

42pxyzoR

(

x

2

+

y2

+

z2

)

dvWx

=

r

sin

f

cosq,

y

=

r

sinf

sinq,z

=

r

cosf.dv

=

r2

sin

fdrdfdq5=

1

pR5

(2

-

2

).在半平面上，任取一j

?

[0,p

],40

￡

r

￡

R.過原點作射線，得2

2

2(V

)I

=zdv,其中(V

)

:

x

+

y

+

z

￡

2z.例2

試用三種坐標系分別計算三重積分oxyz解法1直角坐標系(截面法)2s

zz(s

)

:

x2

+

y2

￡

2z

-

z2

;0

￡

z

￡

2.\

I

==

20

(s

z

)

zds

dzz20zs

dzzp

(2z=202-

z

)dz=

4p

.31oxyzs

xy112解法2(V

)zdv柱面坐標系計算xoy面上投影為(s

):x2

+y2

￡

1;xy則z的范圍:1

-

1

-

r2

￡

z

￡

1

+

1

-

r2

.\

I

=102p0dq

dr1+

1-r21-

1-r2zrdzr

2 1

-

r2

dr=

2p10=

4p

.3x2

+

y2

+

(z

-1)2

=

1???oyz

2x2

+

y2

+

z2

=

2z球面為:r

=2

cosj

,其中20

￡

q

￡

2p

,0

￡

j

￡

p

,0

￡

r

￡

2

cosj.xr

cosj

r2

sinjdr\

I

=0p

/

202pdjdq2

cosj0=

2p0p

/

254

cos

j

sinjdj3=

4p

.解法3(V

)zdv球面坐標系計算jq補充：利用對稱性化簡三重積分計算奇偶對稱性時應注意：１、積分區(qū)域關(guān)于坐標面的對稱性；２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標軸的

奇偶性．比如，當積分區(qū)域W

關(guān)于xoy平面對稱，且被積函數(shù)f

(x,y,z)是關(guān)于z

的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù)f

(x,y,z)是關(guān)于z

的偶函數(shù)，則三重積分為W

在xoy平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩

倍.輪換對稱性：積分區(qū)域D關(guān)于坐標軸的輪換是對稱性的（x變y，y變z，z變x時，區(qū)域不變），則∫∫∫f(x,y,z)dV＝∫∫∫f(y,z,x)dV＝∫∫∫f(z,x,y)dVW面z

=x2

+y2和球面x2

+y2

+z2

=2所圍成的空間閉區(qū)域.解

(

x

+

y

+

z)2=

x2

+

y2

+

z2

+

2(

xy

+

yz

+

zx)其